격자(분해 부분군)

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학의 Lie 이론과 관련 영역에서, 국소적으로 콤팩트한 그룹의 격자는 인용 공간이 유한한 불변측정 특성을 갖는 이산형 부분군이다.R의ⁿ 부분군의 특수한 경우, 이것은 점의 주기적인 부분집합으로서 격자의 일반적인 기하학적 개념에 해당하며, 격자의 대수적 구조와 모든 격자의 공간의 기하학적 구조는 모두 비교적 잘 이해된다.null

그 이론은 반실현 Lie 그룹의 lattles에 특히 풍부하다. 또는 더 일반적으로 지역 분야에 걸쳐 반실현 대수집단에 있다.특히 이 설정에는 풍부한 경직성 결과가 있으며, 그리고리 마르굴리스의 유명한 정리에서는 대부분의 경우 모든 격자는 산술집단으로 얻어진다고 기술하고 있다.null

격자는 일부 다른 등급의 그룹, 특히 Kac-Moody 알헤브라와 관련된 그룹, 일반 나무의 자동화된 그룹(후자는 나무 격자로 알려져 있다)에서도 잘 연구된다.null

격자는 수학의 많은 분야에 관심이 있다: 기하학적 그룹 이론 (특히 이산 그룹의 좋은 예로서), 미분 기하학 (국소 동질 다지관의 건설을 통한), 수 이론 (산술 그룹을 통한), 에르고딕 이론 (인분적 공간의 동질적 흐름의 연구를 통한) 그리고 에 있다.조합(Cayley 그래프 및 기타 조합 객체를 확장하는 구조를 통해)null

선반 일반도

비공식 토론

격자는 연속적인 그룹(예: Lie 그룹)의 이산형 근사치로 가장 잘 알려져 있다.예를 들어, 정수 벡터의 부분군$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}{n$}$는 어떤 의미에서는$$ 실제 벡터 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이(가) "모양"인 반면, 두 그룹은 본질적으로 서로 다르며, 하나는 미세하게 생성되고 카운트 가능한 반면 c가 있다.연속체의 식도null

$예시{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ Z ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n$${\$displaystyle \mathb {Z}$^{$n}\subset \mathb {R}$^{$n}}}$을(를) 일반화하는 개념을 얻기 위해 앞 단락에서 "연속집단에 의한 연속집단의 근사치"의 의미를 엄격하게 정의하는 것은$$ 그것이 무엇을 달성하도록 설계된가의 문제다.아마도 가장 분명한 아이디어는 하위그룹이 "대략적으로" 더 큰 집단을 "대부분군"이라고 말하는 것일 것이다. 더 큰 집단은 하위집단에 있는 모든 요소들에 의해 "작은" 부분집합이라는 번역으로 다루어질 수 있다.국소적으로 콤팩트한 위상학 그룹에는 "소형"의 두 가지 개념이 즉시 있다: 위상학(소형 또는 상대적으로 콤팩트한 부분집합) 또는 측정 이론(유한 하르 측정의 부분집합)이다.하르 측정은 보렐 측정치로서, 특히 콤팩트 서브셋에 유한 질량을 주기 때문에, 두 번째 정의는 더 일반적이다.The definition of a lattice used in mathematics relies upon the second meaning (in particular to include such examples as ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$) but the first also has its own interest (such lattices are called uniform).null

다른 개념은 거친 등가성과 강한 준등산성이다.균일한 격자는 주변 집단에 준등각이지만, 균일하지 않은 격자는 그것과 거칠게 동등하지도 않다.null

정의

Let ${\displaystyle G}$ be a locally compact group and ${\displaystyle \Gamma }$ a discrete subgroup (this means that there exists a neighbourhood ${\displaystyle U}$ of the identity element ${\displaystyle e_{G}}$ of ${\displaystyle G}$ such that ${\displaystyle \Gamma \cap U=\$${e_{G}\}}$ ).$$만약 추가에는 보렐 수단은 유한(즉 μ(G/ Γ)<>이 지수 우주 G/Γ{G/\Gamma\displaystyle}에 μ{\displaystyle \mu};+∞{\displaystyle \mu(G/\Gamma)<,+\infty}), 그리고 G{\displayst 존재하는 그리고 나서 Γ{\displaystyle \Gamma}G{G\displaystyle}에 있는 격자라고 불린다.Gyle$}}$ - 변동성$$(${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle g\in G}$ 및 열린$$ 하위 집합 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ G /${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ ${\displaystyle W/\subset G/\$G/\$Gamma }}}}$ 동등$$ $\mu {\displaystyle (G}$ ${\displaystyle W}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu (W}$) ${\displaystyle \mu(W$)=\$mu)}$이 충족됨을 의미한다.null

A slightly more sophisticated formulation is as follows: suppose in addition that ${\displaystyle G}$ is unimodular, then since ${\displaystyle \Gamma }$ is discrete it is also unimodular and by general theorems there exists a unique ${\displaystyle G}$-invariant Borel measure on ${\displaystyle G/\Gamma }$ up스케일링으로그러면 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$은(는) 이 측정이 유한한 경우에만 격자가 된다$$.null

이산형 부분군의 경우 이 불변성 측정치는 Haar 측정치와 국소적으로 일치하므로 국소 소형 $그룹{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G}$의 이산형 부분군은$$ Haar 측정값에 대한 유한 부피의 기본 영역(좌측 변환에 의한$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대한 작용의 경우)을 갖는 것과 동일하다.리

lat ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset G}$은(는)${\displaystyle }지수{\displaystyle }$ ${\displaystyle 공간\mathrm{}}$ G /$display$ {\$displaystyle$G/\$Gamma$}이(가) 소형일$$ 때 균일하다고 불린다.Equivalently a discrete subgroup ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ is a uniform lattice if and only if there exists a compact subset ${\displaystyle C\subset G}$ with ${\displaystyle G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma }$. Note that if ${\displaystyle \Gamma }$ is any discrete su$G{\displaystyle \mathrm{}}$ /${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ ${\displaystyle G/\$$Gamma$}이$($가) 압축된 G ${\$$displaystyle G}$의 bgroup이 자동으로 $G{\displaystyle }${\$displaystyle$ G$}$의 격자가 된다$$$.$

첫 번째 예

근본적이고 가장 간단한 예는 Lie 그룹 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$displaystyle \mathb{Z}{n}}}{$n}}의 격자인$$ ${\displaystyle {}^{}}$ Z n {\$displaystyle \mathb{R}{$n$\}\}\}\}\}\}.$ 약간 더 복잡한 예는 연속 하이젠베르크 그룹 내의 이산 하이젠베르크 그룹에 의해 주어진다.null

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 이산 그룹인 경우 $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $G}$의 격자는 정확히 유한 지수(즉, 지수 집합 $G{\displaystyle }$ / ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle G/\Gamma })$의 부분군 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$displaystyle G}이다$$$$.null

이 예들은 모두 균일하다.A non-uniform example is given by the modular group ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ inside ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$, and also by the higher-dimensional analogues ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z}$$)\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathb {R}$ $)\}.$

격자의 모든 유한 지수 부분군도 같은 그룹의 격자다.보다 일반적으로 격자에 준하는 부분군은 격자형이다.null

어떤 그룹이 격자를 가지고 있는가?

모든 로컬 컴팩트 그룹이 격자를 포함하는 것은 아니며, 이를 위한 일반적인 그룹 이론적 충분한 조건은 없다.반면에, 그러한 기준이 존재하는 곳에는 훨씬 더 구체적인 설정들이 많이 있다.예를 들어, Lie groups에 lattles의 존재 또는 존재하지 않는 것은 잘 이해된 주제다.null

앞서 언급했듯이 어떤 집단이 격자를 담기 위해 필요한 조건은 그 집단이 반드시 단형이어야 한다는 것이다.이를 통해 예를 들어, 변위할 수 없는 상부 삼각형 행렬 그룹 또는 아핀 그룹과 같이 래티스가 없는 그룹을 쉽게 구성할 수 있다.또한 격자가 없는 단변성 집단을 찾는 것은 그리 어렵지 않다. 예를 들어 아래에서 설명한 것처럼 특정 영점성 거짓말 집단을 들 수 있다.null

비정형성보다 더 강한 조건은 단순성이다.이것은 Lie 그룹에 격자의 존재를 암시하기에 충분하지만, 로컬 컴팩트 그룹의 보다 일반적인 설정에는 격자가 없는 단순한 그룹이 존재하는데, 예를 들어 "네레틴 그룹"^[1]과 같다.null

해결 가능한 Lie 그룹의 격자

Nilpotent Lie 그룹

nilpotent 그룹의 경우, 그 이론은 일반적인 경우로부터 많은 것을 단순화하고, 아벨리아 그룹의 경우와 유사하게 유지된다. 멱영원의 매복하여 그룹의 모든 lattices 및 동일한 것이 있다고 한다면 N{N\displaystyle}은 연결된 단일 연결 멱영원의:리 군 다음 분리된 서브 그룹은 격자 만일 그것은 본래 연결되어 subgroup[2]에 포함되지 않습니다(이것이 사실은, discre generalises(동등하게 그것이 중요한 콤팩트 서브 그룹을 함유하고 있지 않).기벡터 공간의 부분군은 벡터 공간에 걸쳐 있는 경우에만 격자(lattice)이다.null

nilpotent Lie 그룹 G는 이성들을 통해 G의 Lie 대수 𝓰을 정의할 수 있는 경우에만 격자를 포함한다.즉, 𝓰의 구조 상수가 합리적인 수인 경우만 해당된다.^[3]더 정확히 말하자면:리 대수학에서 합리적인 구조 상수만 가지고 있는 영점 그룹에서 래티스는 리 대수에서 래티스의 지수적 지도(더 기본적인 의미에서 라티체(그룹)의 의미)를 통한 영상이다.null

nilpotent Lie 그룹 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 격자는 항상 미세하게 생성되며(${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ nilpottent이기 때문에 미세하게 표시됨${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle \mathrm{사실}}$ fin(G ) {\$displaystyle \dim(G)}$ 원소에$$ 의해 생성된다.^[4]null

마지막으로, nilpotent 그룹은 비틀림이 없고 미세하게 생성되는 유한 지수의 부분군을 포함하는 경우에만 nilpotent Lie 그룹에서 격자에 이형화된다.null

일반적인 경우

영약성 Lie 그룹이 위에 주어진 격자를 갖도록 하는 기준은 보다 일반적인 해결 가능한 Lie 그룹에는 적용되지 않는다.해결 가능한 Lie 그룹의 격자는 균일하고^[5] 해결 가능한 그룹의 격자는 정밀하게 제시되는 것이 사실이다.null

정확히 생성된 모든 해결 가능한 그룹이 Lie 그룹의 래치인 것은 아니다.대수학적 기준은 집단이 다순환적이라는 것이다.^[6]null

Semisimply Lie 그룹의 선반

산술 그룹 및 격자의 존재

If ${\displaystyle G}$ is a semisimple linear algebraic group in ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ which is defined over the field ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ of rational numbers (i.e. the polynomial equations defining ${\displaystyle G}$ have their coefficients in ${\d$$isplaystyle \mathbb {Q} }$) then it has a subgroup ${\displaystyle \Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$. A fundamental theorem of Armand Borel and Harish-Chandra states that ${\displaystyle \Gamma }$ is always a lattice in ${\displaystyle G}$; the simplest example of this is the subgroup${\displaystyle {}_{}S\mathbb{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{L}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2\mathbb{}{}_{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrmat {SL} _{2}(\mathb {Z} )\subset \matrmatrm {SL} _{2}(\mathb {R}$ $)\}.$

위의 구성을 일반화하면 반이행 Lie 그룹에서 산술 격자의 개념을 얻는다.모든 semisimple Lie 그룹은 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐 정의될 수 있으므로, 산술구성의 결과는$$ 모든 semisimple Lie 그룹이 격자를 포함한다는 것이다.null

무reducibility

When the Lie group ${\displaystyle G}$ splits as a product ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ there is an obvious construction of lattices in ${\displaystyle G}$ from the smaller groups: if ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}}$ a$\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G}$도 격자다$$.대략 격자는 이 구조에서 나오지 않으면 다시 고칠 수 없다고 한다.null

More formally, if ${\displaystyle G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}}$ is the decomposition of ${\displaystyle G}$ into simple factors, a lattice ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ is said to be irreducible if either of the following equivalent conditions hold:

• 모든 요인 ${\displaystyle {Gi{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}\times }$ … ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {Gi{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$ ${\$에 대한 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ g_${$k}}의 투영은 밀도가 높다$$.
• ${\displaystyle \Gamma }$과(와) $요인{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{Gi\mathrm{}}_{}}_{}}$ 1${\displaystyle {{}_{}}_{}\times }$ …${\displaystyle }$× ${\displaystyle {{Gi}_{}}_{}}$ k$${\$displaystyle G_{1}}\times \times G_{i_{k}}}}}}}$의 교차점은 격자가 아니다$$.

An example of an irreducible lattice is given by the subgroup ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ which we view as a subgroup ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ via the map ${\displaystyle g\mapsto (g,}$${\displaystyle g\mapsto (g,\sigma (g))}$ where ${\displaystyle \sigma }$ is the Galois map sending a matric with coefficients ${\displaystyle a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}}$ to ${\displaystyle a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}}$.

1위 대 상위 순위

Lie 그룹의 실제 순위는 반실행 요소만을 포함하는 아벨리안 서브그룹의 최대 차원이다.콤팩트한 요인이 없는 실제 순위 1의 반실행 Lie 그룹은 다음 목록에 있는 그룹이다(이질화까지). (단순 거짓말 그룹 목록 참조)null

• $직교{\displaystyle }$ 그룹 $S{\displaystyle \mathrm{}}$ $($ , 1 ) {\$displaystyle$ $\mathrm {SO}(n,1$)의$$ n${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle$ n$\geq$ 2$}$에 대한 실제 2차 서명 형식${\displaystyle (n}$ ,${\displaystyle 1}$ )$${\$displaystystyle (n,$1$);$
• $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n$${\displaystyle \backslash }$geq 2}에 대한$$ Emidantian 서명 형식$({\displaystyle }$n$$ ,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle )}$의$$S $(,$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle(n,$1)$${\displaystyle n$\geq 2$
• $그룹$ $S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$(${\displaystyle \mathrm{n}}$, 1$$) ${\$$displaystyle$ $\mathrm {Sp} (n,1$$)}($$n{\displaystyle 2}$ 2에 $대한$ 서명$({\displaystyle n}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$)의$$"$쿼터니온계수$(quaternionic $2ratic$ form$)"$를 보존하는 쿼터니온 계수가 있는 행렬 그룹$;$
• 예외적인 Lie 그룹 $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}^{}}$- ${\displaystyle {20}_{}^{}}$ ${\$예외적인 Lie 대수학 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 해당하는 순위 1의 실제 형태).$$

거짓말 그룹의 실제 순위는 거짓말 그룹에 포함된 격자의 행동에 상당한 영향을 미친다.특히, 처음 두 집단의 격자(그리고 후자의 격자)의 행동은 상위 집단의 격자집단의 격자집단과 많이 다르다.예를 들면 다음과 같다.

• 에는non-arithmetic lattices SO(n, 1){\displaystyle \mathrm{접형골 후두골 연골 결합}(n,1)}, SU(2,1)에서, SU},[7][8]고 SU(n, 1)에, n4{\displaystyle \mathrm{SU}(n,1),n\geq 4}(마지막은 미결 문제이다.)지만 모든 irr ≥(2,1),\mathrm{SU}(3,1){\displaystyle \mathrm{SU}(3,1)모든 그룹에서 존재한다.educib나머지 부분에서의 lattle은 산술적이다.^[9][10]
• 순위 1 Lie 그룹의 격자에는 무한 지수 정규 부분군이 있는 반면, 상위 랭크에 있는 모든 정규 부분군은 유한 지수 또는 그 중심에 포함된다.^[11][12]
• 추측적으로 상위 그룹의 산술 격자는 일치 부분군 속성을^[13] 가지지만, 비 일치$$ 유한 지수 부분군을 가진 $S{\displaystyle \mathrm{}}$ $($ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{S}}$ ${\displaystyle \mathrm{U}(,1}$) ${\displaystyle \mathrmat {SO}(n,1)$에는 많은 격자가 있다.^[14]

카즈단 재산(T)

(T)라고 알려진 속성은 카즈단(Kazhdan)이 고전적이고 더 기하학적인 방법들이 실패하거나 적어도 효율적이지 않을 때 특정 리 집단에서 대수학적 구조 격자를 연구하기 위해 도입했다.격자를 연구할 때의 기본적인 결과는 다음과 같다.^[15]

로컬 컴팩트 그룹의 격자는 그룹 자체가 속성(T)을 가진 경우에만 속성(T)을 갖는다.null

조화 분석을 사용하면 반실행 Lie 그룹을 해당 속성을 가지고 있는지 여부에 따라 분류할 수 있다.그 결과 우리는 이전 절의 이분법을 더 자세히 설명하면서 다음과 같은 결과를 얻는다.

• $S{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{O}}$( ${\displaystyle \mathrm{n}}$, 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, S ${\displaystyle \mathrm{U}}$( ${\displaystyle \mathrm{n}}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrmat {SO}(n,1)의$래티에는 Kazhdan의 속성(T)이 없는$$ 반면 $다른$ 모든 단순 Lie 그룹의 수정 불가능한 래티에는 Kazhdan의 속성($T)$이 없다$.$

미세성 특성

Semisimple Lie 그룹의 lattles는 항상 정밀하게 제시되며, 실제로 더 엄격한 정밀도 조건을 만족시킨다.^[16]균일한 격자의 경우 이것은 cocompactity의 직접적인 결과물이다.균일하지 않은 경우에 이것은 감소 이론을 사용하여 증명될 수 있다.^[17]속성(T)을 가진 집단에 대해 유한한 현재성을 증명하는 것이 더 쉽지만, 모든 반실행 리 집단에 적용되는 기하학적 증거가 있다.^[18]null

Lie 그룹의 격자와 관련된 리만 다지관

좌불변량 메트릭

If ${\displaystyle G}$ is a Lie group then from an inner product ${\displaystyle g_{e}}$ on the tangent space ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (the Lie algebra of ${\displaystyle G}$) one can construct a Riemannian metric on ${\displaystyle G}$ as follows: if ${\displaystyle v,w}$ belong to the tangent space at a point ${\displaystyle \gamma \in G}$ put ${\displaystyle g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)}$ where ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ indicates the tangent map (at ${\displaystyle \gamma }$) of the diffeomorphism ${\displaystyle }$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mapsto {}^{}}$ - 1 ${\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle x\mapsto \gamma ^{-1}x$$}$ $of{\displaystyle }$ G {\$displaystyle G}$.

The maps ${\displaystyle x\mapsto \gamma x}$ for ${\displaystyle \gamma \in G}$ are by definition isometries for this metric ${\displaystyle g}$. In particular, if ${\displaystyle \Gamma }$ is any discrete subgroup in ${\displaystyle G}$ (so that it acts freely and properly discontinuously by left-t$G{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle G$에 대한 분포 ${\displaystyle \mathrm{quot}\mathrm{}}$G ${\displaystyle \Gamma \백슬래시$ G$}$은(는) $메트릭{\displaystyle }$ $g{\displaystyle }$ ${\displaysty$ g$}$을(를) 가진$$ 리만식 다지관이다$.$

$g{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle g}$과(와) 연관된 리만니안 볼륨 $형식$은 G$${\$displaystyle G$}에 대한 하르 측정값을$$ 정의하며$$, {$${\$displaystyle \Gamma}$이(가) 격자일$$ 경우에만 지수 다지수가 유한 리만 볼륨임을 알 수 있다.null

이 등급의 리만 공간의 흥미로운 예로는 콤팩트한 평면 다지관과 나일마니폴드가 있다.null

로컬 대칭 공간

$G{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 있는 천연 내과 제품은 킬링 양식에 의해 제공된다$$.If ${\displaystyle G}$ is not compact it is not definite and hence not an inner product: however when ${\displaystyle G}$ is semisimple and ${\displaystyle K}$ is a maximal compact subgroup it can be used to define a ${\displaystyle G}$-invariant metric on the homogeneous space ${\displaystyle X=G/K$$\}\}$ : 그러한 리만 다지관을 유클리드 인자가 없는 비 컴팩트 형식의 대칭공간이라고 한다.null

부분군 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}G}$ ${\displaystyle \Gamma \subset$ G$}$은(는$$) 이산형이고 비틀림이 없는 경우에만 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 $자유$롭고 적절하게 불연속적으로$$ 작용한다.$quot{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma \백슬래시 X}$의 인수를 로컬 대칭 공백이라고 한다$$.$따라서{\displaystyle }$ 국소적으로 대칭되는 X ${\displaystyle X}$과 유한 리만 부피에 대한 완전 국소 대칭 공간과 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 토션 없는 격자 사이에 편향적 대응 관계가 있다$.$ 이 대응은 기하학적 측면에 오비폴드를 추가함으로써 모든 격자로 확장될 수 있다.null

p-adic Lie 그룹의 격자

실제 semisimplement Lie 그룹과 유사한 속성을 가진 그룹의 클래스는 p-adic 필드 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 같은 특성 0의 로컬 필드 위에 반이 구현된 대수 그룹이다$.$실제 사례와 유사한 산술적 구성이 있고, 상위 계급과 상위 계급의 이분법도 이 경우에 더 두드러진 형태로 갖고 있다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 대수적 그룹이 되게$$ 한다$.$다음:

• r이 최소 2개일 경우 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 수정 불가능한 래티스는$$ 산술적인 것이다.
• r=1일 경우, 비고정 래치에는 헤아릴 수 없이 많은 유사성 클래스가 있다.^[19]

후자의 경우 모든 격자는 사실상 자유 그룹(유한 지수까지)이다.null

S-산술군

보다 일반적으로 격자를 양식 그룹으로 볼 수 있다.

${\displaystyle G=\prod _{p\in S}G_{p}}}$

여기서 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\$에 대한 반이행 대수군이며$$, $보통{\displaystyle }$p =${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle$ p$=\fty}$이 허용되며, 이 경우 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$은 진짜 Lie 그룹이다$$.그러한 격자의 예는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})}$.

이 산술 구조는 S-ar산술 집단의 개념을 얻기 위해 일반화할 수 있다.마굴리스 산술적 정리도 이 설정에도 적용된다.특히 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$인자 중 적어도 두 개가 비작성인 경우$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 모든 수정 불가능한 격자는 S-아산술이다$$.null

아델릭 그룹의 격자

If ${\displaystyle \mathrm {G} }$ is a semisimple algebraic group over a number field ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle \mathbb {A} }$ its adèle ring then the group ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )}$ of adélic points is well-defined (modulo some technicalities) and it is a locally$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$ -합리적$$ 점의$$ $G{\displaystyle \mathrm{}(F}$) ${\displaystyle \mathrm {G}(F)}$ 그룹을 이산 하위 그룹으로 포함하는 컴팩트 그룹.보렐-하리쉬-찬드라 정리는 이 ${\displaystyle 설정}$으로 확장되며, $G{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle F\mathbb{}}$) ${\displaystyle \subset }$ G${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrmat {G} (F)\subset \mathrmat$ {$G}$ (\mathb {$A} )}$은 격자형이다$$.^[20]null

강한 근사치 정리는 $G{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle F\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ ${\displaystyle G\mathrm{}}$( A${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {G} (F)\backslash \mathrm \G}$(\$mathb {$A} $)}$을(를) 보다 고전적인 S-산술 시중에 관련시킨다.이 사실은 아델 집단을 자동형성 이론의 도구로서 매우 효과적으로 만든다.특히 현대적인 형태의 트레이스 공식은 일반적으로 리 그룹보다는 아델릭 그룹에 대해 진술되고 증명된다.null

경성

경직성 결과

반실행 대수군에서 격자와 관련된 또 다른 현상군은 집합적으로 강성으로 알려져 있다.여기 이 범주에 있는 세 가지 결과의 고전적인 예가 있다.null

국소 강성 결과는 대부분의 상황에서 격자(직관적인 의미에서 샤보티 위상 또는 문자 다양성의 위상에 의해 공식화됨)에 충분히 "가까운" 모든 부분군이 실제로 주변 Lie 그룹의 요소에 의해 원래의 격자로 결합된다는 것을 나타낸다.국부 경직성과 카즈단-마굴리스 정리의 결과는 왕씨의 정리다. 주어진 그룹(고정된 하르 측정값으로), 어떤 v>0에 대해서도 v에 의해 경계가 되는 공동 부피를 가진 (결합까지의) 격자만 미세하게 많다.

모스토우 강직성 ${\displaystyle {\mathrm{정리}}_{}}$는 ${\displaystyle {}_{}}$L ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ ( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrmatm {SL} _{$2}(\$mathb {R}$)}($$그룹 2 x 결정성 1)에 대한 단순 Lie 그룹의 모든 이형성은 본질적으로 그룹 간의 이형성에 의해 유도된다고 명시하고 있다.특히, Lie 그룹의 격자는 그룹 구조를 통해 주변 Lie 그룹을 "기억"한다.첫 번째 진술은 때로는 강한 경직성이라고 불리며 조지 모스토우와 고팔 프라사드 때문이다(모스토우가 코코막 격자용으로 증명했고 프라사드가 일반 사례로 확대했다).null

초강성(superriidity)은 대수 그룹 G의 격자에서 다른 대수 그룹 H로 임의의 동형성을 다루면서 국소적 강성과 강한 강성을 모두 강화한다.그리고리 마굴리스에 의해 증명되었으며 그의 산술 정리 증명에 필수적인 성분이다.null

저차원의 비강성

모스토우 강성이 보유하지 않는 유일한 반실행 Lie 그룹은 $P{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ S ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2}}_{}}$( ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathb {R} )$에 대한 국소적으로 이형적인 그룹이다$.$ 이 경우 실제로 많은 래티스가 계속 존재하며 Teichmüller 공간이 생기게 된다.null

그룹 $P{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{S}}_{}}$ L ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrmat {PSL} _{2}(\mathb {C}$)의 균일하지 않은 래티들은 국소적으로 경직되지 않는다$$.사실 그것들은 쌍곡선 딘 수술에서 증명된 바와 같이 작은 공동 체적의 격자의 축적 지점이다.null

상위 1위 p-adic 그룹의 격자는 사실상 자유로운 그룹이기 때문에 그들은 매우 엄격하지 않다.null

나무 선반

정의

예를 $들어{\displaystyle }$T {\$displaystyle$ T$}$을(를$$) cocompact 그룹의 자동화된 트리로 한다. 예를 들어$,$ $T{\displaystyle }$ {\$displaystyle T}$은(는) 일반 트리 또는 2경 트리일 수 있다$$.$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 자동화 ${\displaystyle \mathrm{}}$ A${\displaystyle \mathrm{u}}$ t (${\displaystyle T}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$은(콤팩트-오픈 토폴로지를 부여한 경우) 로컬 컴팩트 그룹이다$$(컴팩트-오픈 토폴로지를 부여한 경우, 이 토폴로지는 한정된 하위 트리의 스태빌라이저(compact)가 컴팩트함).일부 $A{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle }$T${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {Aut} (T)}$에서 격자인 그룹을 트리 격자라고 한다$$.null

이 경우 정확하지 않은 점은 트리의 그룹 작업에서 쉽게 확인할 수 있다: 모든 정점 안정기가 유한한 그룹인 $경우$에만 A${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle t(}$T$$) {\$displaystyle \mathrmat$ {$Aut}(T)$의 하위 그룹이 이산이다$$.null

균일한 나무 선반들이 사실상 자유로운 집단이라는 것은 나무에 대한 집단 행동의 기본 이론에서 쉽게 알 수 있다.따라서 보다 흥미로운 트리 격자는 균일하지 않은 것으로, 동등하게 지수 그래프 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\setminus }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Gamma \백슬래시$ T$}$이 무한하다.그런 격자의 존재는 쉽게 알 수 없다.null

대수 그룹의 트리 격자

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) 양의 국부적 특성(${\displaystyle 예}$: 유한한 영역에 대한 곡선의 함수 필드 완료)인 경우(예: 공식 Laurent power ${\displaystyle {}_{}}$ $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ p${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$$\$$ft} _{p}(t$ 및 $G{\displaystyle }${\$displaysty$에 정의된$$ $대수$ 그룹$.$$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 $Le F}$ -split$$ 순위 1위, $그러면{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle$G}의 모든 격자는 Bruhat–에 대한 동작을 통해 나무 격자가 된다$$.이 경우 나무로 된 가슴의 건물.특성 0과 대조적으로 그러한 격자는 균일하지 않을 수 있으며, 이 경우 그러한 격자는 결코 정밀하게 생성되지 않는다.null

바스-세레 이론의 나무 선반

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) 그룹의 정점 그룹이 모두 유한한 그룹의 무한 그래프 기본 그룹인$$ 경우, 그리고 가장자리 그룹의 색인과 정점 그룹의 크기에 대한 추가적으로 필요한 가정에 따라 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$의 작업이 그루 그래프와 연관된 Bass-Serre 트리에서$$ 수행됨ps는 그것을 나무 격자로 인식한다.null

존재기준

보다 일반적으로 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$H}이($가)$ $u$ t$($의 닫힌 하위 그룹인 경우$,$ 어떤 조건에서 H ${\displaystyle H}$에 격자가 포함되어$$ 있는가?균일한 격자의 존재는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 일변수이고, $지수{\displaystyle }$ H${\displaystyle \mathrm{}}$∖ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H\backslash T}$은 유한한 것과 동등하다.일반적인 존재 정리는 보다 미묘하다: $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 일변도일변도일$$ 필요가 있고 충분하며, 지수 $H{\displaystyle }$ T {\$displaysty H}$이$($가) 적절한 의미(H$${\$displaystyle$ H}의 작용 측면에서 조합적으로 표현할 수 있음)에서 "완료 볼륨"이$$ 된다는 것이다.$$e 지분이 유한하다는 더 강한 조건(균일하지 않은 나무 격자의 존재에 의해 증명됨).null

메모들

참조

• Bass, Hyman; Lubotzky, Alexander (2001). Tree lattices With appendices by H. Bass, L. Carbone, A. Lubotzky, G. Rosenberg, and J. Tits. Progress in mathematics. Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-4120-3.
• Margulis, Grigory (1991). Discrete subgroups of semisimple Lie groups. Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. pp. x+388. ISBN 3-540-12179-X. MR 1090825.
• Platonov, Vladimir; Rapinchuk, Andrei (1994). Algebraic groups and number theory. (Translated from the 1991 Russian original by Rachel Rowen.). Pure and Applied Mathematics. Vol. 139. Boston, MA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7. MR 1278263.
• Raghunathan, M. S. (1972). Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. MR 0507234.
• Witte-Morris, Dave (2015). Introduction to Arithmetic Groups. Deductive Press. p. 492. ISBN 978-0-9865716-0-2.
• Gelander, Tsachik (2014). "Lectures on lattices and locally symmetric spaces". In Bestvina, Mladen; Sageev, Michah; Vogtmann, Karen (eds.). Geometric group theory. pp. 249–282. arXiv:1402.0962. Bibcode:2014arXiv1402.0962G.