완전하고 충실한 functor

카테고리 이론에서 충실한 펑터(존중적으로 완전한 펑터)는 홈 세트에 주입(존중적으로 굴욕적)인 펑터(functor)이다.

형식 정의

명시적으로 C와 D를 (로컬적으로 작은) 범주로 하고 F : C → D를 C에서 D까지의 functor로 한다.functor F는 함수를 유도한다.

${\displaystyle F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}(X,Y)\오른쪽 화살표 \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}(X),F(Y)}}$

모든 개체 쌍에 대해 C의 X와 Y.functor F는 ~라고 한다.

• F가_X,Y 주입되면^[1][2] 충실한.
• F가_X,Y 허탈하면^[2][3] 배가 부르다.
• F가_X,Y 비열한 경우에는 완전히 충실하다.

각 X와 Y의 C에 대해.

특성.

충실한 펑터는 물체나 형태론에 주입될 필요가 없다.즉, 두 객체 X와 X′는 D의 동일한 객체에 매핑할 수 있으며(이 때문에 완전하고 충실한 functor의 범위가 반드시 C에 이형화되지 않는다), 두 형태 f : X → Y와 f′ : X′ → Y′ (다른 도메인/코도메인을 가진)는 D의 동일한 형태론에 매핑할 수 있다.마찬가지로, 완전한 펑터는 물체나 형태론에 굴욕적일 필요가 없다.C의 일부 X에 대한 FX 형식이 아닌 D에 물체가 있을 수 있다.그러한 물체들 사이의 형태론은 분명히 C의 형태론에서 나올 수 없다.

충만하고 충실한 방광자는 반드시 이등형성에 이르는 물체에 주입된다.즉, F : C → D가 완전하고 충실한 $functor$이고 F${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ F${\displaystyle }$( ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle F(X)\cong F(Y)}$이면 $X$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\cong$ Y$}$이다$.$

예

• 건망증이 심한 functor U : Grp → Set는 동일한 도메인을 가진 두 집단 동음이의어로서 충실하며, 코도메인은 기초 집합의 동일한 함수로 주어지면 동일하다.그룹 동형성이 아닌 기본 그룹 집합 사이에 함수가 있기 때문에 이 펑터는 가득 차지 않는다.세트에 충실한 펑터가 있는 범주는 (정의상) 구체적인 범주로, 일반적으로 건망증이 심한 펑터가 가득 차지 않는다.
• 포함 펑터 Ab → Grp는 완전히 충실하다. 왜냐하면 Abbel 집단이 유도하는 Grp의 완전한 하위 범주이기 때문이다.

범주로 일반화(일반화, 1)

functor가 'full' 또는 'faithful'이라는 개념은 a(ful, 1) 범주의 개념으로 해석되지 않는다.(1998, 1) 범주에서, 두 물체 사이의 지도는 호모토피까지의 공간에 의해서만 주어진다.주입과 주입의 개념은 호모토피 불변성 개념(실수에 포함된 간격 대 점에 대한 구간 매핑을 고려)이 아니기 때문에, 우리는 펑터가 "충분하다"거나 "충실하다"는 개념을 가지고 있지 않다.단, C의 모든 X와 Y에 대해 $지도{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle Y_{}}$ ${\$가 약한 등가라면 준 범주의 펑터를 완전히 충실하도록 정의할 수 있다.

참고 항목

• 전체 하위 카테고리
• 범주의 등가성

메모들

참조

• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.