다항식 펑터

대수학에서 다항식 펑터는 벡터 공간에 다항식으로 의존하는 유한 차원 벡터 공간의 ${\mathcal {V}}$ ${\mathcal {V}}$ ${\$ 범주에서 엔도프론터다.For example, the symmetric powers $V\mapsto \operatorname {Sym} ^{n}(V)$ and the exterior powers $V\mapsto \wedge ^{n}(V)$ are polynomial functors from ${\mathcal {V}}$ to ${\mathcal {V}}$ ; these two are also슈어 펑커스.

그 개념은 범주 이론(환자의 미적분학)뿐만 아니라 표현 이론에서도 나타난다.특히, 도 n의 동종 다항식 functors의 범주는 특성 0의 영역에 걸쳐 $S_{n}$ 대칭군 ${\$ 의 유한차원 표현 범주와 동등하다.^[1]

정의

k를 특성 0의 장으로 하고 ${\mathcal {V}}$ ${\$ {\ $mathcal{V}$ 유한 차원 k-벡터 공간과 k-선형 지도의 범주로 ${\mathcal {V}}$ 한다.그 후 Endofunctor $F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}$ : $F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}$ → $F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}$ ${\$ 은(는) 다항식 functor이다 $F\colon {\mathcal {V}}\to {\mathcal {V}}$ .

For every pair of vector spaces X, Y in ${\mathcal {V}}$ , the map $F\colon \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ is a polynomial mapping (i.e., a vector-valued polynomial in linear forms).
선형 지도 $f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r$ : $f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r$ → $f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r$ , $f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r$ $f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r$ $f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r$ $f_{i}:X\to Y,\,1\leq i\leq r$ r ${\displaystyle f_{i}:$ $X\to Y,\,1\leq i\leq r}$ in ${\mathcal {V}}$ , the function $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r})\mapsto F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})$ defined on $k^{r}$ is a polynomial function with $\operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ $\operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ $\operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ ( X $\operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ ) $\operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ , $\operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ ( Y $\operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$ ) ${\displaystyle \operatorname {Hom}(F(X),F(Y)})$ 의 계수 $\operatorname {Hom} (F(X),F(Y))$

A polynomial functor is said to be homogeneous of degree n if for any linear maps $f_{1},\dots ,f_{r}$ in ${\mathcal {V}}$ with common domain and codomain, the vector-valued polynomial ${\displaystyle F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +$ $\lambda _{r}f_{r}}}$ 은 $F(\lambda _{1}f_{1}+\cdots +\lambda _{r}f_{r})$ (는) n의 동종이다.