봉투(범주론)

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수학의 범주 이론과 관련 분야에서, 봉투는 국소 볼록한 공간의 완성이나 위상학적 공간의 스톤-젝 압축과 같은 "외부 완성"의 운영을 일반화하는 구조다.이중구조는 정제라고 불린다.

정의

XK{K\displaystyle}의 개체{X\displaystyle} K{K\displaystyle}는 범주,,, K{K\displaystyle}에 Ω{\displaystyle \Omega}과 morphisms의Φ{\displaystyle \Phi}두 수업 시간. X{X\displaystyle}의 클래스 Ω에 봉투{\displaystyl의 definition[1].e)$Ⅱ급{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi$}에 대한$$ 오메가$$}은(는) 두 단계로 구성된다$$.

• A morphism ${\displaystyle \sigma :X\to X'}$ in ${\displaystyle K}$ is called an extension of the object ${\displaystyle X}$ in the class of morphisms ${\displaystyle \Omega }$ with respect to the class of morphisms ${\displaystyle \Phi }$, if ${\displaystyle \sigma \in \Omega }$, andfor any morphism ${\displaystyle \varphi :X\to B}$ from the class ${\displaystyle \Phi }$ there exists a unique morphism ${\displaystyle \varphi ':X'\to B}$ in ${\displaystyle K}$ such that ${\displaystyle \varphi =\varphi '\circ \sigma }$.

• An extension ${\displaystyle \rho :X\to E}$ of the object ${\displaystyle X}$ in the class of morphisms ${\displaystyle \Omega }$ with respect to the class of morphisms ${\displaystyle \Phi }$ is called an envelope of ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle \Omega }$ with respect to ${\d$$isplaystyle \Phi }$, if for any other extension ${\displaystyle \sigma :X\to X'}$ (of ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle \Omega }$ with respect to ${\displaystyle \Phi }$) there is a unique morphism ${\displaystyle \upsilon :X'\to E}$ in ${\displaystyle K}$ such that ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle =}$ $\upsilon {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \circ }$ ${$ {\$displaystyle$ \$rho$=\$upsilon$ \$circ \sigma$ {$$${\displaystyle \$$Phi$}에 관해서$E{\displaystyle }${\displaystyle \$Oomega}$의 X ${\\displaystysty$ X$}$의 봉투라고도 불린다$$$.$

공지사항:

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{\Phi }^{\Oomega }X,\qquad E={\text{Env}_{\\파이 }^{\오메가 }X.}$

$특별$한 경우,$Ω$ {\displaystyle $\Oomega}$이($)$ K {\displaystyle $K}$에서 주어진 등급의 개체 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에 속하는 모든 형태론의 클래스인$$ 경우, $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$을(및 용어)에서$$ $L{\displaystyle }$ ${\\displaystystystylease L}$로 대체하는 것이$$ 편리하다.

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{\Phi }^{L}X,\qquad E={\text{Env}_{\\Phi }^{L}X.}$

마찬가지로, $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$이(가) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 지정된 등급의 $개체{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$M}에 속하는 모든 형태론의 클래스인 경우, 다음과$$ 같은 표기(및 용어)에서$$ $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $\Phi}$을($으)$로 대체하는 것이 편리하다.

${\displaystyle \rho ={\text{env}_{M}^{\Oomega }X,\qquad E={\textEnv}}^{M}^{\Oomega}X.}$

예를 들어 객체 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 클래스와 관련하여 $객체{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$의 클래스에 $있는{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X$}의 엔벨롭에 대해 말할 수 있다$.$

${\displaystyle \rho ={\text{env}}_{M}^{L}X,\qquad E={\text{Env}_{M}^{L}X.}$

경구망과 경구망

Suppose that to each object ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({K})}$ in a category ${\displaystyle {K}}$ it is assigned a subset ${\displaystyle {\mathcal {N}}^{X}}$ in the class ${\displaystyle \operatorname {Epi} ^{X}}$ of all epimorphisms of the category ${\displa$$ystyle {{K$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$부터$$시작되며, 다음과 같은 세 가지 요구 사항이 충족된다.

• 각 개체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대해 설정된$$ $N{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$는 비어 있지 않으며$$ ${\displaystyle {\mathrm{Epi}}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$에서 상속된 사전 순서와 관련하여 왼쪽으로 향한다.

${\displaystyle \sigma ,\sigma '\mathcal {N}^{X}\quad \exists \rho \in {\mathcal{N}^{X}}\rho \to \sigma \&\rho \sigma,},}$

• 각 객체 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대해 $N{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ ${\$에 의해 생성된 형태론의 공변량 시스템

${\displaystyle \{\iota _{\rho }^{\sigma };\rho ,\sigma \in {\mathcal{N}^{X},\rho \to \sigma \}}}}}}}$

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 콜리밋 ${\displaystyle \underset{}{림}}$lim${\displaystyle N^{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\$이$($$가{\displaystyle }$) 있으며$,$ X {\$displaystyle$ X$}$에서 로컬 한계라고 한다$.$

• 각 형태론${\displaystyle \alpha }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \alpha :X\to Y}$ 및$$ 각 원소에 대해${\displaystyle }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle Y^{}}${\$displaystyle \tau \in${\$mathcal{N}^{{}}{$$Y}}$ there are an element ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {N}}^{X}}$ and a morphism ${\displaystyle \alpha _{\sigma }^{\tau }:\operatorname {Cod} \sigma \to \operatorname {Cod} \tau }$^[2] such that

$\\displaystyle \tau \tau \tau \tau \tau \properties.}$

$그런{\displaystyle }$ 다음 $세트{\displaystyle \mathcal{}}$N${\displaystyle }$= {${\displaystyle N^{}}$ X${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \text{X}\mathrm{ob}}$ Ob${\displaystyle (}$ (${\displaystyle K}$ ${\displaystyle )\}}${\$displaystyle${\$mathcal{N}=\{\mathcal{N}^{X};\ X\in \operatorname {Ob}{K}\}\$in $\$의 범주에서 인식의 그물이라고 한다$$.

예

1. ⊆ X이 커널 때로(U)ε 을 ⋂ 생각해 보자{\displaystyle U\subseteq X}각 지역적으로 볼록 위상 벡터 공간 X{X\displaystyle}과의 경우 각 문을 닫볼록 제로 U의;0ε⋅ U{\displaystyle \operatorname{때로}U=\bigcap _{\varepsilon>0}\varepsilon(U}과 지수 스파 인근의 균형을 유지했다.ce${\displaystyle X/\operatorname {Ker} U}$ endowed with the normed topology with the unit ball ${\displaystyle U+\operatorname {Ker} U}$, and let ${\displaystyle X/U=(X/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }}$ be the completion of ${\displaystyle X/\o$$peratorname {Ker}$ U$}($확실히 $X{\displaystyle /U}$ ${\displaystyle X/U}$은 Banach 공간이며, $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에 의해 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 지수 Banach 공간이라고 불린다.$$자연 매핑 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$/ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X\to$ X$/U}$의 시스템은$$ ${\displaystyle \text{LCS}}${\$displaystyle${\$text}$ 범주에서 인식의 그물이다.국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간의$$ $LCS}.$
2. 각 국소 볼록형 위상 대수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ 영 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$의 각 하위 볼록형 닫힌 볼록 균형 이웃에 대하여$,$

${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle$ U\$cdot$U\$subseteq$ U$\},$

다시는 커널 때로(U)ε 을 ⋂을 고려해 보세요;0ε⋅ U{\displaystyle \operatorname{때로}U=\bigcap _{\varepsilon>0}\varepsilon(U}과 지수 대수 A/때로 ⁡ U{\displaystyle A/\operatorname{때로}U}은normed 토폴로지도록 제품을 공을 가지고 U+때로⁡ U{\displaystyle U+\operatorname{때로자.}U}, and let ${\displaystyle A/U=(A/\operatorname {Ker} U)^{\blacktriangledown }}$ be the completion of ${\displaystyle A/\operatorname {Ker} U}$ (obviously, ${\displaystyle A/U}$ is a Banach algebra, and it is called the quotient Banach algebra of ${\displaystyle X}$ by${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ $$.자연 매핑 $A{\displaystyle }$→ ${\displaystyle A}$/ U ${\displaystyle A\to A/U}$의 시스템은$$ ${\displaystyle \text{LCS}}${\$displaystyle${\$text}$ 범주에서 인식의 그물이다.$국소$ 볼록한$$ 위상학적 알헤브라의 LCS$}}.$

정리^[3] $내부$에 ${\$$displaystyle {\mathcal{N}}$ 형태론 클래스 {{\$displaystyle$$$\$varPhi}$을(를) 생성하는$$ $범주{\displaystyle }$ K ${\$ {$K}$에 있는 인식론의 그물이 되게$$ 두십시오.

${\displaystyle {\mathcal{N}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor}({K})\circle {\mathcal {N}.}$

그런 다음$$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 있는 모든 종류의 인식률 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varOomega$ ${\displaystyle \}}$에 대해 모든 로컬 제한 ${\displaystyle \underset{}{\lim }}$ N ${\displaystyle X^{}}$ ${\$

${\displaystyle \{\varprojlim {\mathcal {N}^{X};\X\in \operatorname {Ob}(K)\}\subseteq \varObega \subseteq \operatorname {Epi},}}}}$

다음 유지:

(i) for each object ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle {K}}$ the local limit ${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}}^{X}}$ is an envelope${\displaystyle \operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOmega }X}$ in ${\displaystyle \varOmega }$ with respect to ${\disp$$레이스타일 \varPhi }$:

${\displaystyle \varprojlim {\mathcal {N}^{X}=\operatorname {env} _{\varPhi }^{\varOomega }X,}$

(ii) ${\displaystyle {\mathrm{Env}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\phi }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$}^{\$varOomega }}}$ 봉투는 functor로 정의할 수 있다$$.

정리^[4] $내부$에 ${\$$displaystyle {\mathcal{N}}$ 형태론 클래스 {{\$displaystyle$$$\$varPhi}$을(를) 생성하는$$ $범주{\displaystyle }$ K ${\$ {$K}$에 있는 인식론의 그물이 되게$$ 두십시오.

${\displaystyle {\mathcal{N}\subseteq \varPhi \subseteq \operatorname {Mor}({K})\circle {\mathcal {N}.}$

그리고 epimorphisms의 어떤 monomorphicallycomplementable 수업에{K\displaystyle}K에서{\displaystyle \varOmega}Ω가 K{K\displaystyle}은 co-well-powered[5]에 Ω{\displaystyle \varOmega}은 봉투 Env ΦΩ{\displaystyle \operatorname{Env}_{\varPhi}^{\varOmega}}가 될 수 있다로 정의된 a 재미콕콕 찌르다

정리^[6] $범주{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$ 및$$ 개체 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ 클래스에 다음 속성이 있다고$$ 가정하십시오.

(i) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) cocomcomplete이고,

(ii) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) 노달 분해,

(iii) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{Epi}}$ ${\displaystyle \operatorname {Epi$^[7]

(iv) ${\displaystyle \mathrm{Mor}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle \operatorname {Mor} (K,L)}$은(는) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에서 다음과 같이 한다$.$

${\displaystyle \forall X\in \operatorname {Ob} (K)\quad \exists \varphi \in \operatorname {Mor} (K)\quad \operatorname {Dom} \varphi =X\quad \&\quad \operatorname {Cod} \varphi \in L}$,

(v) L ${\displaystyle L}$은(는) 외부에서 형태론을 달리한다$$. 두 가지 다른 병렬 형태론 $\alpha {\displaystyle \alpha \beta }$: X → ${\displaystyle Y}${\$displaystyle \alpha \neq \beta :X\to Y}$에 대해 형태론 $\phi {\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ Z$\displaystyle$ \$vi$:$Y$${\displaystyle \backslash }$$to$ Z$\in$ L$}$ $that$ ${\displaystyle \alpha }$ α${\displaystyle }$α${\displaystyle \beta }${\$displaystyle \varphi \circl \alpha \neq \circle \beta$ $\},$

(vi) $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 콜리밋에 대한 통로와 관련하여 닫힌다.

(vii) ${\displaystyle L}$ is closed with respect to passage from the codomain of a morphism to its nodal image: if ${\displaystyle \operatorname {Cod} \alpha \in L}$, then ${\displaystyle \operatorname {Im} _{\infty }\alpha \in L}$.

그러면 ${\displaystyle {\mathrm{Env}}_{}^{}}$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 봉투는 functor로 정의할 수 있다$$.

예

다음 목록에서 모든 봉투는 functor로 정의할 수 있다.

1. 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간 ${\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X$$}$의 완료 $▾{\$$displaystyle X$$}$는 ${\displaystyle \text{LCS}}$ ${\$ 범주에서$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 봉투다$$.Banach 공간의 클래스$$ ${\displaystyle \text{Ban}}$ ${\$에 대한 $모든$ 로컬$$ 볼록 공간$:$^[8] ${\displaystyle {}^{}}$▾${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {\text{Env}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{Ban}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{LCS}}_{}^{}}$ X ${\displaystyle X}{\blacktriangledown }={\text{Env}_{\text}{Ban$}\text}}\text}\$text$}\text}{{{\text}}\text}\text}\text}\text}\text}\text}\text}\text}\text$}$$LCS}}X$ 분명히 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {▾}^{}}$ ${\$ X$^{\blacktrieangledown}}$은(는) Banach 지수의 반한계 $X{\displaystyle /U}$ ${\displaystyle$ X$/U}($위의$$ 정의):

${\displaystyle X^{\blacktriangledown}=\lim _{0\gets U}X/U.}$

2. Tikhonov 위상학적 공간 $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ X$$$}$의 스톤-체크 압축${\displaystyle }\beta {\displaystyle }$ :$$ X ${\displaystyle \x\to \beta$ X$}$은 ${\displaystyle \text{Tikh}}$ ${\$ 범주에서$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystystyle X}$의 봉투다.$Tikh}}}$ of all Tikhonov spaces in the class ${\displaystyle {\text{Com}}}$ of compact spaces with respect to the same class ${\displaystyle {\text{Com}}}$:^[8] ${\displaystyle \beta X={\text{Env}}_{\text{Com}}^{\text{Com}}X.$$}$

3. Arens-Michael 봉투^{[9][10][11][12]} ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{AM}}^{}}$ ${\$ A$^{\text{$국소 볼록한 위상 대수 $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$의 AM$}}}$별 연속 곱셈이 있는$$ 경우 ${\displaystyle \text{TopAlg}}${\$displaystyle${\$text{Top$} $범주$에서 A ${\displaystyle A}$의 봉투임$전체$(로컬 볼록하게 볼록하게 볼록하게$)$ ${\displaystyle \text{TopAlg}}$ ${\$} 클래스에 있는 위상학적 알헤브라스(별도로 연속적인 승수 포함)${\displaystyle \text{바나흐}}$ 알헤브라의 반$$ ${\$ 클래스에 대해 $알그$$}:$${\displaystyle$$text$$AM}}={\text{Env}_{\text{Ban}^{\text$${top}$$Alg}A}$.대수 A ${\displaystyle {\text{AM}}^{}}$ ${\$ A$^{\text{$$AM}}}$은(는) ${\displaystyle Banach}$ Algebras $A{\displaystyle }$/ U ${\displaystyle A/U}($위의 정의):

${\displaystyle A^{\text{AM}}=\lim _{0\gets U}A/U.}$

4. The holomorphic envelope^[13] ${\displaystyle {\text{Env}}_{\cal {O}}A}$ of a stereotype algebra ${\displaystyle A}$ is an envelope of ${\displaystyle A}$ in the category ${\displaystyle {\text{SteAlg}}}$ of all stereotype algebras in the class ${\displaystyle {\text{$모든 바나흐 알헤브라의 클래스$$ ${\displaystyle \text{Ban}}$ ${\$에 대해$$ ${\displaystyle \text{SteAlg}}$ ${\${Ban^[14]$}}}}}$에서 모든 조밀한 인식 중 $DEPI}:$${\displaystyle {\text{Env}_{\cal{O}A={\text{Env}_{\text}}^{\$$$$DEPI}A.$$}$

5. 고정관념 대수 $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle${$Env$$}_{\cal{E}A$$}$의 매끄러운^[15] ${\displaystyle {}_{}}$는 ${\displaystyle \text{InvSteAlg}}${\$displaystyle {\text}$ $범주$에서 A ${\displaystystyle$ A$}$의 봉투다$$.클래스 ${\displaystyle \text{DEPI}}${\$displaystyle${\$text${\text$}$에 있는 모든 비자발적 고정관념 알제브라의$$ $InvSteAlg}}$${\displaystyle \text{InvSteAlg}}$ ${\${\text$}$에 있는$$ 모든 조밀한 인식^[14] 중 $DEPI}}$$InvSteAlg}}$ 클래스의 ${\$ {\$text{DiffMor}}$과(와$$) 관련된 모든$$ 차동 동형성을 결합한 Nilpotent 요소가 있는 다양한 C*-algebrams${\displaystyle :}$ ${\displaystyle {Env}_{}}$ ${\displaystyle {\text{EA}}_{}^{}}$ = Env ${\displaystyle {\text{DiffMor}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{DEPI}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}.}$ ${\dapplaysty}{{{nv}}}}.$$A={\text{Env}_{\text{DiffMor}^{\text{\text}$$DEPI}A.$$}$

6. 고정관념 대수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle{Env$$}_{\cal{C}A$$}$의 연속 ${\displaystyle {}_{}}$는^[16][17] ${\displaystyle \text{InvSteAlg}}$ ${\$ 범주에서$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ A$}$의 봉투다.클래스 ${\displaystyle \text{DEPI}}${\$displaystyle${\$text${\text$}$에 있는 모든 비자발적 고정관념 알제브라의$$ $InvSteAlg}}$${\displaystyle \text{InvSteAlg}}$ ${\${\text$}$에 있는$$ 모든 조밀한 인식^[14] 중 $DEPI}}$$클래스{\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 $InvSteAlg}}$$모든$ C*알게브라 중 C$}^{*}}:$${\displaystyle {\text{Env}_{\cal{C}A={\text{Env}_{\$$$$C}}^{*}^{\text{$$DEPI}A.$$}$

적용들

봉투는 수학의 다양한 분야에서 표준적인 요소로 나타난다.위에 제시된 예시와는 별도로,

• Gelfand 변환 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$: ${\displaystyle A}$→ C${\displaystyle }$(${\displaystyle 규격}$ A${\displaystyle }$) ${\displaystyle G_{A:$$A\to C({\text{Spec}A)}$ 교감 비자발적 고정관념 $대수{\displaystyle }$ A$$${\displaystyle A}$는 A ${\displaystyle A}$의 연속적인 봉투다$.$^[18][19]

• 각$$ 로컬 소형 아벨 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 푸리에 변환 F ${\displaystyle A_{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$⋆ (${\displaystyle {}^{}G}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle G\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ )${\displaystyle F_{A}:$$C^{\star }(G)\to C({\widehat{G})}}$는 G$${\$displaystyle G$^[18]에 대한$$ 콤팩트한 지원을 가진 고정관념 그룹 대수 C $algebra{\displaystyle {}^{}}$ ($){\displaystyle$ C$^{\star }(G)}$의 연속된 봉투다.

추상적인 조화 분석에서 봉투의 개념non-commutative 그룹의 그룹의 폰트랴긴 쌍대성 theory[20]의 일반화에:중요한 역할은 부드러운, 고정 관념 algebras의 지속적인 봉투(위의 사례들은 주어진 에)은, smo 적인.의 건축으로 이어진다는 사실을 각각 적인. 친다.oth그리고 이러한 분야에서 고려되는 (상호응용적이지 않은) 위상학 그룹의 특정 클래스(대수학 그룹 및 일부 클래스 Lie 그룹과 Moore 그룹)에 대한 복잡한 기하학, 미분 기하학 및 위상학 분야의 연속적인 이중성.^{[21][18][20][22]}

참고 항목

• 정제

메모들

참조

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• Pirkovskii, A.Yu. (2008). "Arens-Michael envelopes, homological epimorphisms, and relatively quasi-free algebras" (PDF). Trans. Moscow Math. Soc. 69: 27–104. doi:10.1090/S0077-1554-08-00169-6.
• Akbarov, S.S. (2009). "Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity". Journal of Mathematical Sciences. 162 (4): 459–586. arXiv:0806.3205. doi:10.1007/s10958-009-9646-1. S2CID 115153766.
• Akbarov, S.S. (2010). Stereotype algebras and duality for Stein groups (Thesis). Moscow State University.
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• Akbarov, S.S. (2013). "The Gelfand transform as a C*-envelope". Mathematical Notes. 94 (5–6): 814–815. doi:10.1134/S000143461311014X. S2CID 121354607.
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