연속성 방정식

연속성 방정식 또는 운송 방정식은 어떤 양의 운송을 설명하는 방정식이다. 보존수량에 적용할 경우 특히 단순하고 강력하지만, 광범위한 수량에 적용할 수 있도록 일반화할 수 있다. 질량, 에너지, 운동량, 전하 및 기타 자연량은 각각의 적절한 조건에 따라 보존되기 때문에, 다양한 물리적 현상을 연속성 방정식을 사용하여 설명할 수 있다.

연속성 방정식은 더 강력하고 지역적인 형태의 보존법이다. 예를 들어, 에너지 보존 법칙의 약한 버전은 에너지가 생성되거나 파괴될 수 없다고 명시한다. 즉, 우주의 총 에너지는 고정되어 있다. 이 진술은 한 지점에서 에너지의 양이 동시에 다른 지점에서 나타날 수 있는 가능성을 배제하지 않는다. 더 강력한 진술은 에너지가 국지적으로 보존된다는 것이다. 에너지는 생성되거나 파괴될 수 없으며, 한 장소에서 다른 장소로 "텔레포트"할 수 없다. 에너지는 연속적인 흐름에 의해서만 움직일 수 있다. 연속성 방정식은 이런 종류의 진술을 표현하는 수학적 방법이다. 예를 들어, 전하를 위한 연속성 방정식은 공간의 어떤 부피에서 전하의 양은 그 경계를 통해 부피로 또는 부피 밖으로 흐르는 전류의 양에 의해서만 변할 수 있다고 명시한다.

연속성 방정식은 더 일반적으로 "원본"과 "싱크" 용어를 포함할 수 있는데, 화학 반응에 의해 생성되거나 파괴될 수 있는 분자 종의 밀도와 같이 항상 보존되지는 않지만 자주 보존되는 양을 설명할 수 있다. 일상의 예에서는, 살아있는 사람의 수에 대한 연속성 방정식이 있다; 그것은 태어나는 사람을 설명하는 "출처 용어"와 죽는 사람을 설명하는 "싱크 용어"를 가지고 있다.

모든 연속성 방정식은 유한 영역에 적용되는 "적분형"(융제 적분) 또는 한 지점에 적용되는 "차분형"(분산 연산자의 경우)으로 표현할 수 있다.

연속성 방정식은 대류-확산 방정식, 볼츠만 운송 방정식 및 Navier와 같은 보다 구체적인 운송 방정식의 기초가 된다.-스토크 방정식.

연속성 방정식으로 관리되는 흐름은 Sankey 다이어그램을 사용하여 시각화할 수 있다.

일반 방정식

플럭스의 정의

연속성 방정식은 플럭스를 정의할 수 있을 때 유용하다. 플럭스를 정의하기 위해서는 먼저 질량, 에너지, 전하, 운동량, 분자수 등과 같이 흐르거나 움직일 수 있는 수량 $q$ 가 있어야 한다. $ρ$ 이 수량의 부피 밀도, 즉 단위 부피 당 $q$ 의 양이 되게 한다.

이 수량 $q$ 가 흐르는 방식은 그 유동성에 의해 설명된다. $q$ 의 플럭스는 벡터장(vector field)으로, 우리는 이것을 j로 나타낸다. 다음은 플럭스의 몇 가지 예와 특성이다.

플럭스의 치수는 "단위 영역을 통과하는 단위 시간 당 $q$ 의 흐름량"이다. 예를 들어 흐르는 물의 질량 연속성 방정식에서 초당 1g의 물이 단면적이 1cm인² 파이프를 통해 흐르는 경우, 파이프 내부의 평균 질량 플럭스 $j$ 는 (1g/s)/cm이고², 그 방향은 물이 흐르는 방향으로 파이프를 따라 있다. 물이 없는 배관 밖은 유속이 0이다.
관련 흐름을 설명하는 속도장이 있는 경우( $즉$ , x 지점의 모든 수량 $q$ 가 속도 $u (x$ )로 이동하는 경우 $)$ 플럭스는 정의상 속도장의 밀도 곱과 같다. $\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}$ 예를 들어 흐르는 물의 질량 연속성 방정식에서 $u$ 는 각 지점의 물의 속도, $ρ$ 은 각 지점의 물의 밀도라면 j는 $질량$ 유량이 될 것이다.
잘 알려진 예에서 전하의 유동성은 전류 밀도다.

수량 $q$ 의 플럭스 $j$ 가 열린 표면 $S$ ( $dS$ 는 미분 벡터 영역)를 통과하는 방법을 그림으로 나타내십시오.
상상의 $표면$ S가 있는 경우 $S$ 에 대한 플럭스의 표면 적분은 단위 시간 당 표면 $S$ 를 통과하는 $q$ 의 양과 같다.

${\displaystyle({\text{}}}}q{}\text{{}}이(가) 가상 표면을 흐르는 속도 }}=\iint_{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}}}}}$

여기서 ${\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }$ ${\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }$ ${\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }$ S ${\$ 은(는) 표면 적분이다 ${\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }$ .

(여기서 "flux"라고 불리는 개념은 일부 문헌에서 "flux density"라고 대안으로 불리며, 맥락에서 "flux"는 플럭스 밀도의 표면 적분을 나타낸다. 자세한 내용은 플럭스에 대한 주요 기사를 참조하십시오.)

적분형식

연속성 방정식의 통합 형태는 다음과 같이 명시한다.

추가 $q$ 가 지역 표면을 통해 내부로 흐를 때 해당 지역의 $q$ 의 양이 증가하며, 외부로 흐를 때 q의 양이 감소한다.
한 지역의 $q$ 의 양은 지역 내에서 새로운 $q$ 가 생성될 때 증가하고, $q$ 가 파괴될 때 감소한다.
이 두 과정을 제외하면 한 지역의 $q$ 의 양이 달라지는 다른 방법은 없다.

수학적으로, 볼륨 $V$ 내에서 $q$ 의 증가 속도를 나타내는 연속성 방정식의 통합 형식은 다음과 같다.

${\frac {dq}{dt}+$ $\oiint$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

연속성 방정식의 통합형에서

S

는 왼쪽의 어떤 표면처럼 V

볼륨

을 완전히 감싸는 닫힌 표면이다.

S

는 오른쪽의 것과 같이 경계가 있는 표면이 될 수 없다.(서페이스는 파란색, 경계가 빨간색이다.)

어디에

$S$ 는 V $볼륨$ 을 둘러싸는 상상의 닫힌 표면이다.
$\oiint$ $S$ $dS$ 는 닫힌 표면 위에 통합된 표면을 의미한다.
$q$ 는 V $볼륨$ 의 총 수량이다.
$j$ 는 $q$ 의 플럭스,
$t$ 는 시간이다,
$σ$ 은 $q$ 가 단위 시간 당 V $볼륨$ 내에서 생성되고 있는 순 속도다. $q$ 가 생성되고 있을 때, $q$ 의 출처라고 불리며, $σ$ 을 보다 긍정적으로 만든다. $q$ 가 파괴되고 있을 때, $q$ 의 싱크라고 불리며, $σ$ 을 더 부정적으로 만든다. 이 용어는 때때로 $dq/dt|_{\text{gen}}$ / $dq/dt|_{\text{gen}}$ t $dq/dt|_{\text{gen}}$ ${\$ 또는 $dq/dt|_{\text{gen}}$ 제어 볼륨 내에서 생성 또는 파괴된 q의 총 변화로 기록된다.

간단한 예로 $V$ 는 건물이 될 수 있고, $q$ 는 건물에 있는 사람의 수가 될 수 있다. 표면 $S$ 는 건물의 벽, 문, 지붕 및 기초로 구성될 것이다. 그리고 그 연속 방정식 때 사람들, 증가함에 따라 건물(표면을 밖으로 나가는 자속)밖으로 나오는 그 건물에 누군가가 출생(원천,Σ>0)를 제공할 건물 증가함에 따라 사람들이 건물(표면을 내면 자속)에 들어가면 사람들의 수와 중 누군가가 buildin을 감소시켜 감소한다.g 죽다(싱크, $σ$ < 0).

미분형

다이버전스 정리(diversity organization)에 의해 일반 연속성 방정식은 다음과 같은 "차이형"으로도 작성할 수 있다.

${\frac {\reship \rho }{\reshot t}+\cdla \cdot \mathbf {j} =\ma }$

어디에

$\nabla\cdot$ 은 발산이다,
$ρ$ 은 단위 부피당 수량 $q$ 의 양이다.
$j$ 는 $q$ 의 플럭스,
$t$ 는 시간이다,
$σ$ 은 단위 시간 당 단위 부피 당 $q$ 의 생성이다. $q$ (즉, $σ$ > 0) 또는 $remove$ < $0$ )을 생성하는 항을 각각 "소스"와 "싱크"라고 한다.

이 일반 방정식은 볼륨 연속성 방정식처럼 단순한 것에서부터 Navier처럼 복잡한 것까지 모든 연속성 방정식을 도출하는 데 사용될 수 있다.-스토크 방정식. 이 방정식은 또한 부속 방정식을 일반화한다. 가우스의 전기장 법칙, 가우스의 중력 법칙과 같은 물리학의 다른 방정식은 연속성 방정식과 유사한 수학적 형태를 가지고 있지만, 그러한 경우 $j$ 는 실제 물리량의 흐름을 나타내지 않기 때문에 보통 "연속성 방정식"이라는 용어로 언급되지는 않는다.

$q$ 가 생성되거나 파괴될 수 없는 보존 수량인 경우(예: 에너지), $σ$ = $0$ , 방정식은 다음과 같이 된다.

{\frac {\reship \rho }{\reshold t}+\cdla \cdot \mathbf {j} =0

전자기학

전자기 이론에서 연속성 방정식은 (현지) 전하 보존을 표현하는 경험적 법칙이다. 비록 전하 보존이 맥스웰 방정식보다 더 근본적이긴 하지만 수학적으로 그것은 맥스웰 방정식의 자동 결과물이다. 현재 밀도 $J$ (제곱미터당 암페어 단위)의 차이는 전하 밀도 $density$ (입방미터당 쿨롬브 단위)의 음의 변화율과 동일하다고 명시되어 있다.

\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}}

맥스웰 방정식과의 일관성

맥스웰의 방정식 중 하나인 암페어의 법칙(맥스웰의 정정)은 다음과 같이 말하고 있다.

\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D}{\partial t}}.

양쪽의 차이(시간 통근 시 차이 및 부분 파생)를 취하면 그 결과가 나타난다.

\nabla \cdot(\nabla \time \mathbf {H} )=\nabla \mathbf {J} +{\frac {\partial(\nabla \cdot \mathbf {D})}{\partial t},},},},

하지만 컬의 차이는 0이기 때문에

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial(\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}=0.

그러나 가우스의 법칙(다른 맥스웰 방정식)은 다음과 같이 말하고 있다.

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,

연속성 방정식을 산출하기 위해 이전 방정식에서 대체될 수 있다.

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho}{\partial t}=0.

전류는 전하의 이동이다. 연속성 방정식은 전하가 차등 부피 밖으로 이동하면(즉, 전류 밀도의 차이가 양수) 그 부피 내의 전하량이 감소하므로 전하 밀도의 변화율은 음수라고 한다. 따라서 연속성 방정식은 전하 보존에 해당한다.

자기 단극이 존재한다면 단극 전류에도 연속성 방정식이 있을 것이다. 배경은 단극 기사와 전류와 자기 전류 사이의 이중성을 참조하라.

유체 역학

유체 역학에서, 연속성 방정식은 질량이 시스템으로 들어가는 속도는 질량이 시스템을 떠나는 속도와 시스템 내에 질량이 축적되는 속도와 동일하다고 말한다.^[1]^[2] 연속성 방정식의 차등 형태는 다음과 같다.^[1]

{\frac {\reship \rho }{\reshold t}+\cdla \cdot(\rho \mathbf {u} )=0

어디에

$ρ$ 은 유체 밀도,
$t$ 는 시간이다,
$u$ 는 유속 벡터장이다.

시간 파생상품은 시스템 내 질량의 축적(또는 손실)으로 이해할 수 있는 반면, 발산항은 흐름 대 흐름의 차이를 나타낸다. 이런 맥락에서 이 방정식은 오일러 방정식(유체 역학)의 하나이기도 하다. 더 나비에–스토크 방정식은 선형 운동량의 보존을 설명하는 벡터 연속성 방정식을 형성한다.

유체가 압축할 수 없는 경우(체적 변형률 0) 질량 연속성 방정식은 볼륨 연속성 방정식으로 단순화된다.^[3]

\cdot \mathbf {u} =0,

속도장의 차이가 0이라는 뜻이지 물리적으로 이것은 국부적 팽창률이 0이라고 말하는 것과 같으며, 따라서 수렴 파이프를 통한 물의 흐름은 물이 대체로 압축할 수 없기 때문에 그 속도를 증가시킴으로써만 조정될 것이다.

컴퓨터 비전

컴퓨터 시야에서 광학 흐름은 시각적 장면에서 물체의 외관상 움직임의 패턴이다. 움직이는 물체의 밝기가 두 영상 프레임 사이에서 변하지 않았다는 가정 하에 다음과 같이 광학 흐름 방정식을 도출할 수 있다.

{\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0

어디에

$t$ 는 시간이다,
$영상$ 의 $x$ , y 좌표
$I$ 는 영상 좌표(x, y) 및 시간 t에서의 영상 강도,
$V$ 는 영상 좌표(x, y) 및 시간 t에서 $(V_{x},V_{y})$ 광학 흐름 속도 벡터 $(V_{x},V_{y})$ $(V_{x},V_{y})$ , $(V_{x},V_{y})$ $(V_{x},V_{y})$ ) ${\displaystyle(V_{x}, V_{y}})$ 임

에너지 및 열

에너지 보존은 에너지가 생성되거나 파괴될 수 없다고 말한다. (일반 상대성 관련 뉘앙스는 아래를 참조하십시오.) 따라서 에너지 흐름에 대한 연속성 방정식이 있다.

{\frac {\preason u}{\put t}+\cdla \cdot \mathbf {q} =0

어디에

$u$ , 국부 에너지 밀도(단위 부피당 에너지),
$q$ . 에너지 플럭스(단위 시간당 단면 면적당 에너지의 전달),

중요한 실제적인 예는 열의 흐름이다. 고형 내부에 열이 흐를 때 연속성 방정식은 푸리에의 법칙(열속은 온도 구배에 비례함)과 결합해 열 방정식에 도달할 수 있다. 열 흐름의 방정식은 또한 다음과 같은 선원 항을 가질 수 있다. 에너지는 생성되거나 파괴될 수 없지만 마찰이나 줄 가열 등을 통해 다른 유형의 에너지로 열을 생성할 수 있다.

브라운 운동으로 용해된 단일 분자의 위치처럼 확률적(랜덤) 과정에 따라 연속적으로 움직이는 양이 있다면 그 확률 분포에 대한 연속성 방정식이 있다. 이 경우 플럭스는 입자가 표면을 통과하는 단위 시간당 단위 면적당 확률이다. 연속성 방정식에 따르면, 이 플럭스의 음의 차이는 확률 밀도의 변화 속도와 같다. 연속성 방정식은 분자가 항상 어딘가에 있다는 사실(확률 분포의 적분은 항상 1과 같음)과 연속적인 움직임(텔레포트 없음)에 의해 움직인다는 사실을 반영한다.

양자역학

양자역학은 확률의 보존과 관련된 연속성 방정식이 존재하는 또 다른 영역이다. 방정식의 용어는 다음과 같은 정의가 필요하며, 위의 다른 예에 비해 약간 덜 명백하므로 여기에서 개략적으로 설명한다.

(운동량 공간이 아닌) 위치 공간에 있는 단일 입자에 대한 파동 함수 $ψ$ , 즉 $위치$ r과 $시간$ t, = = $((r,$ $t$ )의 함수 $.$
확률밀도함수는 $\rho(\mathbf {r},t)=\PSI ^{*}(\mathbf {r},t)\PSI(\mathbf {r},t)= \Psi(\mathbf {r},t) ^{2}.$
$t$ 에서 V $내$ 에서 입자를 찾을 확률은 다음과 같이 표시되고 정의된다. $P=P_{\mathbf {r}\int V}(t)=\int_{V}\PSI ^{*}\PSI dV=\int_{V}\PSI ^{2}dV.$
확률 전류(일명 확률 플럭스)는 $\mathbf {r},t)={\frac {\hbar }{{2mi}\\\Psi ^{*}\왼쪽(\nabla \Psi \right)-\Psi \pileft(\nabla \{*}\rig)\rig)\right)\right].$

이러한 정의를 통해 연속성 방정식은 다음과 같이 읽는다.

\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frabla \frac \partial t=0}{\partial t=0} \nabla \cdot \mathbf{j} +{\frac}}}}{\partial t=0}}}}}}}}{\partial t=0.

어느 형태든 인용될 수 있다. 직관적으로 위의 수량은 이것이 확률의 흐름을 나타낸다. $어떤$ 위치에서 입자를 찾을 $확률$ r과 시간 t는 유체처럼 흐른다. 따라서 확률 전류라는 용어는 벡터장이다. 이 벡터장에서는 입자 자체가 결정적으로 흐르지 않는다.

슈뢰딩거 방정식과의 일관성

3-d 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식과 복합 결합방정식( $i$ → $-i$ 전체)은 각각 다음과 같다.^[4]

{\displaystyle{\begin{정렬}-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}};=i\hbar{\frac{\partial \Psi}{\partial지}},\\-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}& \nabla, =-i\hbar{\frac{\partial\Psi ^{*}}{\partial지}},\\\end{정렬}}}{\displaystyle{\begin{정렬}-{\frac{\hbar ^{2}}{2m}}^{2}\Psi +U\Psi 및 \nabla, =i\hbar ^{2}\Psi +U\Psi 및 \nabla.{\frac{\partial \Psi }{\partial t},\-{\\frac {\hbar ^{2}}:\nabla ^{2}}\\psi ^{*}+U\psi ^{*&=-i\hbar {\partial \psi ^{*}}}{partial t,\partial t}

여기

서 U는 잠재적 기능이다.

t

에 관한

ρ

의 부분파생상품은 다음과 같다.

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial  \Psi  ^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.

Ψ*으로Ψ*.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.m을 위한 문제 해결 방법은 슈뢰딩거 방정식 Multiplying.W-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}∂Ψ/∂t과 이 단지, 또한 multiplying한 것 Ψ 다음Ψ ∂Ψ*/∂t을 위한 문제 해결 방법에 의해;슈뢰딩거 방정식 conjugated.

{\displaystyle{\begin{정렬}\Psi ^{*}{\frac{\partial \Psi}{\partial지}}&={\frac{1}{i\hbar}}\left[-{\frac{\hbar ^{2}\Psi{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi+U\Psi ^{*}\Psi\right^],\\\Psi{\frac{\partial\Psi ^{*}}{\partial지}}&=-{\frac{1}{i\hbar}}\left[-{\frac{\hbar ^{2}\Psi}{2m}}\nabla ^{2}\Psi^{*}+U\Psi\Psi ^{*}\right],\\\end{정렬했다.}}}

derivative의 시간 $파생상품$ 으로 대체:

{\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\end{정렬}}

위의 결과에서 라플라시안 연산자( $2$ 1993)는 $오른손$ 은 j의 발산이며, 용어 순서의 역순은 이것이 모두 $j$ 의 음수임을 암시한다.

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}\왼쪽[\PSI ^{*}\왼쪽(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\{*}\right)\\\\\\\\\\\\\\]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}\왼쪽[\psi \left(\nabla ^{2}\{*}\right)-\psi ^{*}\{nabla ^{2}\ipla \right)\\\\\\\\\\\\\\\\\end{정렬}}

따라서 연속성 방정식은 다음과 같다.

{\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}

통합형식은 일반방정식에 대하여 다음과 같다.

반도체

반도체의 총 전류 흐름은 전도 대역의 전자와 발랑 대역의 구멍 양쪽의 드리프트 전류와 확산 전류로 구성된다.

1차원 전자에 대한 일반 형태:

{\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})

여기서:

n은 전자의 국소 농도다.
$\mu _{n}$ ${\$ 는 $\mu _{n}$ 전자 이동성이다.
E는 고갈 지역을 가로지르는 전기장이다.
D는_n 전자에 대한 확산 계수다.
G는_n 전자의 생성 속도다.
R은_n 전자의 재조합 비율이다.

마찬가지로 구멍의 경우:

{\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})

여기서:

p는 구멍의 국소 농도다.
$\mu _{p}$ ${\$ 는 $\mu _{p}$ 구멍 이동성이다.
E는 고갈 지역을 가로지르는 전기장이다.
D는_p 홀에 대한 확산 계수다.
G는_p 구멍 생성 비율이다.
R은_p 구멍의 재조합 비율이다.

파생

이 절은 전자에 대해 위의 방정식을 도출한다. 구멍에 대한 방정식에 대해서도 유사한 파생법을 찾을 수 있다.

전자의 수가 X축을 따라 단면적 A, 길이 dx를 가진 반도체 물질의 부피에 걸쳐 보존된다는 사실을 생각해 보자. 더 정확히 말하자면 다음과 같은 말을 할 수 있다.

{\displaystyle{\text{전자 밀도의 변화율}=({\text{Electron flux in}-{\text{Electron flux out})+{\text{{Net generation in a volume}}}}

수학적으로 이 평등은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

{\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=[J(x+dx)-J(x)]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[3pt]{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[3pt]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}

여기서 J는 반도체에서 고려된 부피 내의 전자 흐름으로 인한 전류 밀도(관습에 의한 전자 흐름과 반대되는 방향)를 나타낸다. 전자 전류 밀도라고도 한다.

총 전자 전류 밀도는 드리프트 전류와 확산 전류 밀도의 합이다.

J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}}

그러므로, 우리는

{\dplaystyle {\frac {dn}{dn}{dn}={\frac {1}{1}{dx}}\좌측(en\mu_{n}E+eD_{n}{dn}}}{dn}}\우측)+(G_{n}-R_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

제품 규칙을 적용하면 최종 식이 생성된다.

{\dplaystyle {\frac {dn}{dn}}{dn}}=\mu _{n}{dn}{dx}}+{n}{n}{n}{d^{d^{d}}{d^{n}}}}}}{d^{d}-R_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

해결책

실제 기기에서 이러한 방정식을 푸는 열쇠는 가능한 경우 언제든지 대부분의 메커니즘이 무시될 수 있는 영역을 선택하여 방정식을 훨씬 단순한 형태로 줄이는 것이다.

상대론적 버전

특수상대성

특수상대성이론의 표기법과 도구, 특히 4-벡터, 4-Grades는 어떤 연속성 방정식이라도 쓸 수 있는 편리한 방법을 제공한다.

수량 $ρ$ 과 그 현재 $j$ 의 밀도는 4-전류라고 하는 4-벡터로 결합할 수 있다.

J=\왼쪽(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\오른쪽)

여기서

c

는 빛의 속도다. 이 전류의 4차원 전류는 다음과 같다.

\partial \mu \j^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}+\nabla \cdot \mathbf {j}}}

여기서

μ

μ는 4㎛,

μ

는 스페이시메디멘션(spacetimedimension )을 표기한 지수다. 그 다음 연속성 방정식은 다음과 같다.

\partial _{\mu }J^{\mu }=0

공급원이나 싱크대가 없는 일반적인 경우, 즉 에너지나 전하와 같이 완벽하게 보존된 양에 대한 경우. 이 연속성 방정식은 명백하게("확실히") 로렌츠 불변성이다.

이러한 형태로 작성된 연속성 방정식의 예에는 전하 보존이 포함된다.

\partial _{\mu }J^{\mu }=0

여기서

J

는 전기 4전류 및 에너지-모멘텀 보존

\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0

여기서

T

는 스트레스-에너지 텐서다.

일반상대성

스페이스타임이 곡선인 일반상대성에서는 에너지, 전하 또는 기타 보존수량에 대한 연속성 방정식(미분형)이 일반적인 발산 대신 공변량 분산을 수반한다.

예를 들어, 응력-에너지 텐서는 질량 에너지 분포의 에너지-모멘텀 밀도, 에너지-모멘텀 플럭스 및 전단 응력을 포함하는 2차 텐서 장이다. 일반 상대성 이론의 에너지-모멘텀 보존의 차등 형태는 응력 에너지 텐서의 공변량 차이가 0이라고 명시한다.

{T^{\mu }}{\nu ;\mu }=0.

이것은 아인슈타인 필드 방정식이 일반 상대성 이론에서 취하는 형태에 대한 중요한 제약조건이다.^[5]

그러나 스트레스-에너지 텐서의 일반적인 차이가 반드시 사라지는 것은 아니다.^[6]

\partial \mu \t^{\mu \nu }=-\gamma \mu \lambda }^{\mu \lambda }{\lambda }-\ma _{\mu \lambda }}}}}}}}}

오른쪽은 평면 기하학에서만 엄격히 사라진다.

그 결과 연속성 방정식의 일체형 형태는 정의하기가 어려우며, 스페이스타임이 현저하게 휘어지는 지역(예: 블랙홀 주위 또는 전체 우주를 가로지르는 지역)에 대해서는 반드시 유효하지 않다.^[7]

입자물리학

쿼크와 글루온은 색전하가 있어 항상 전하와 같이 보존되며, 그러한 색전하 전류에 대한 연속 방정식이 있다(글루온 자기장 강도 텐서에서는 전류에 대한 명확한 표현이 제시된다).

입자물리학에는 종종 또는 항상 보존되는 많은 다른 양이 있다: 바리온 수(고고대 수에서 쿼크 수를 뺀 것에 비례),^[8] 전자 수, 뮤 수, 타우 수, 이소핀 등. 이들 각각에는 소스/싱크 항을 포함하여 해당하는 연속성 방정식이 있다.

노에더의 정리

물리학에서 보존 방정식이 자주 발생하는 한 가지 이유는 노에더의 정리 때문이다. 이것은 물리 법칙이 연속적인 대칭을 가질 때마다 일부 보존된 물리적 양에 대한 연속성 방정식이 존재한다고 말한다. 가장 유명한 세 가지 예는 다음과 같다.

물리 법칙은 시간 변환과 관련하여 불변한다. 예를 들어, 오늘날의 물리 법칙은 어제와 같다. 이 대칭은 에너지 보존을 위한 연속 방정식으로 이어진다.
물리 법칙은 우주 번역과 관련하여 불변한다. 예를 들어 브라질의 물리 법칙은 아르헨티나의 물리 법칙과 같다. 이 대칭은 운동량 보존을 위한 연속성 방정식으로 이어진다.
물리학 법칙은 방향성에 대해 불변한다. 예를 들어, 우주 공간에 떠 있는 것처럼, "어느 길이 위로 올라가느냐"라고 말할 수 있는 측정은 없다. 물리 법칙은 여러분이 어떻게 방향을 잡느냐에 상관없이 같다. 이 대칭은 각운동량 보존을 위한 연속성 방정식으로 이어진다.

참고 항목

단방향파 방정식

참고문헌

^ ^a ^b Pedlosky, Joseph (1987). Geophysical fluid dynamics. Springer. pp. 10–13. ISBN 978-0-387-96387-7.
^ Clancy, L.J.(1975) Aerodynamics, 섹션 3.3, Pitman Publishing Limited, London
^ Fielding, Suzanne. "The Basics of Fluid Dynamics" (PDF). Durham University. Retrieved 22 December 2019.
^ 이 파생에 대해서는 예를 참조하십시오.
^ D. McMahon (2006). Relativity DeMystified. McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-145545-0.
^ C.W. Misner; K.S. Thorne; J.A. Wheeler (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
^ Michael Weiss; John Baez. "Is Energy Conserved in General Relativity?". Retrieved 2014-04-25.
^ J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 558–559. ISBN 0-7167-0344-0.

추가 읽기

수력역학, H. 램, 캠브리지 대학 출판부, ISBN 978-0-521-45868-9
Electrodynamics(3판), D.J. Griffiths, Pearson Education Inc, 1999, ISBN 81-7758-293-3 소개
전자자기학(2판), I.S. 그랜트, W.R. 필립스, 맨체스터 물리학 시리즈, 2008 ISBN 0-471-92712-0
중력, J.A. 휠러, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[Pedlosky-1] Pedlosky, Joseph (1987). Geophysical fluid dynamics. Springer. pp. 10–13. ISBN 978-0-387-96387-7.

[2] Clancy, L.J.(1975) Aerodynamics, 섹션 3.3, Pitman Publishing Limited, London

[Fielding-3] Fielding, Suzanne. "The Basics of Fluid Dynamics" (PDF). Durham University. Retrieved 22 December 2019.

[4] 이 파생에 대해서는 예를 참조하십시오.

[5] D. McMahon (2006). Relativity DeMystified. McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-145545-0.

[6] C.W. Misner; K.S. Thorne; J.A. Wheeler (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

[7] Michael Weiss; John Baez. "Is Energy Conserved in General Relativity?". Retrieved 2014-04-25.

[8] J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 558–559. ISBN 0-7167-0344-0.

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