단방향파 방정식

이 기사는 주요 출처에 대한 언급에 너무 많이 의존하고 있다. 이차 또는 3차 소스를 추가하여 개선하십시오.(2020년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

단방향파 방정식은 지구물리학과 같은 과학 분야에서 사용되는 첫 번째 순서 부분미분방정식을 말하며, 그 해법은 - 반대 방향으로 이동하는 두 개의 파동으로 구성된 해법(사전 정의된 방향으로 이동하는 단일 전파파)과 대조적이다.1D 단위의 tion은 파형 속도의 부호로 정의된다.^[1][2]1차원의 경우 2차분차 방정식을 푸는 수학적 복잡성 없이 파장 전파를 계산할 수 있다.지난 수십 년 동안 3D 단방향파 방정식을 찾을 수 없었기 때문에 3D 지진 및 기타 지구물리학적 계산에 1D 단방향파 방정식에 기초한 수많은 근사 방법이 사용되었다. § 3차원 사례 섹션도 참조한다.^[3][4][1]

1차원 케이스

한 차원에서의 표준 2차선 파동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은 좌표, t ${\displaystyle t}$은 시간, s = ${\displaystyle s}$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ s$=s(x,t)}$은 변위, c ${\displaystyle c}$은 파형 속도다.

c ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$+ c${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle c{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ c$^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2$ 이 방정식은 파형 방향을 구속하지 않고, 따라서 앞쪽$(+$ {\$displaystyle$$+x$과 뒷쪽$(-x})$ 모두에서 용액이 전파된다$.$이 방정식의 일반적인 해법은 이 두 가지 방향의 해법은 다음과 같다.

여기서 $s{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$ 및 $s$ - ${\$은(는) 동일하고 반대되는 변위 값이다$$.

단방향파 문제가 공식화되면 일반적인 해법에서 두 용어 중 하나를 유지함으로써 파장 전파 방향을 임의로 선택할 수 있다.

이 방정식의 왼쪽에 있는 연산자를 인수하면 한 쌍의 단방향파 방정식이 산출되는데, 하나는 앞으로 전파되는 용액이 있고 다른 하나는 뒤로 전파되는 용액이 있다.^[5][6]

전진과 역행파가 각각 설명된다.

단방향 파동 방정식은 특성별 음향 임피던스에서 직접 도출할 수도 있다.종단면파에서 특정 임피던스는 $압력{\displaystyle }$p =${\displaystyle p}$ (${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle t}$)$${\$displaystyle$p$=$$p($${\displaystyle x}$$,$${\displaystyle t}$$)}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{입자}}$속도 $v{\displaystyle }$= v${\displaystyle (}$ x$$, t ) {\$displaystyle v=v$(x,t$)}$의 국소 비례성을 결정한다$.$^[7]

$농도{\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$ $$= 밀도 포함.

임피던스 방정식의 변환은 다음을 초래한다.^[8]

$${\displaystyle v-{\frac {1}{\rho c}p=0}$$

(⁎)

각도 주파수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$의 종단면 파형은 $변위{\displaystyle }$s = ${\displaystyle s}$(${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle t}$)$${\$displaystyle s$=${\displaystyle }$$(x,t)}$을(를) 가지고 있다$.$ $압력{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle$$p$} 및$$ 입자 $v$${\displaystylease$ $s$$\}($$E$}:탄성 계량:^{[9][better source needed]}

1D 사례의 경우, 이는 스트레인이 $\epsilon {\displaystyle }$=${\displaystyle }$${\displaystyle \Delta \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ L ${\$로 정의된 상태에서 역학에서 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$sigma$$\sigma$ = E$\displaystyle$ $\varepsilon }}}$을(를) 강조하는 것과 완전히 유사하다$.$

위의 방정식에 삽입된 이러한 관계는 다음과 같다.

국소파 속도 정의(음속):

단방향파 방정식의 1차 부분 미분 방정식을 직접 따른다.

$파형{\displaystyle }$ 속도 c ${\displaystyle c}$은(는) 파형 전파 방향에 따라$$ ${\displaystyle 이}$ ${\displaystyle \mathrm{파형}}$ 방정식 내에서${\displaystyle }$+ c ${\displaystyle +c}$ 또는$$${\displaystyle }$- c ${\displaystyle -c}$로 설정할 수 있다$$.

$+{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +c}$ 방향으로 파장을 전파하는 경우 고유한$$ 솔루션은

그리고${\displaystyle \mathrm{-c}}$ ${\displaystyle -c}$ 방향으로$$ 파장을 전파하는 경우 각 솔루션이^[11]

구면 좌표, 즉 방사방향으로 단극 음원의 파장 전파를 설명하는 구형 단방향파 방정식도 존재한다.방사형 나블라 연산자를 수정함으로써 구형 발산 연산자와 래플라스 연산자 사이의 불일치가 해결되고 그 결과 해결책은 베셀 함수를 나타내지 않는다(기존의 양방향 접근법의 알려진 해법과는 대조적으로).^[12]

3차원 케이스

3차원 사례의 일방향 방정식과 해법은 2차 미분 방정식의 수학적 분해(인자화)에 의해 1차원 사례와 유사한 방법으로 가정되었다.^[13]사실, 3D 단방향파 방정식은 첫 번째 원리: a) 임피던스 정리에서의 파생과 b) 필드 포인트의 텐서럴 임펄스 흐름 평형으로부터의 파생에서 도출될 수 있다.^[12]

비균질 미디어

위치 의존성 탄성 모듈 $E{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle E(x$ 밀도 $\rho {\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \rho(x)}$ 및$$ 파속 $c{\displaystyle (x}$) ${\displaysty c(x)}$이 있는 이종 매체의 경우, 단방향파 방정식의 분석 솔루션은$$ 새로운 필드 변수를 도입하여 도출할 수 있다.^[14]

추가 기계파 및 전자파

또한 PDE 인자화 방법은 다른 표준 2차 또는 4차 순서의 파동 방정식(예: 횡단 및 문자열, Moens/Korteweg, 벤딩, 전자파 방정식과 전자파로 변환될 수 있다.관련 일방향 방정식과 그 해결책이 제시되어 있다.^[14]

참고 항목

• 운송 방정식
• 파동 방정식 – 물리학에 중요한 2차 선형 미분 방정식
• 스탠딩 웨이브

참조