푸앵카레 디스크 모델

기하학에서, 정합 디스크 모델이라고도 불리는 푸앵카레 디스크 모델은 기하학적 점들이 단위 디스크 안에 있는 2차원 쌍곡 기하학의 모델이며, 직선은 디스크의 경계와 직교하는 그 디스크 안에 포함된 모든 원형 호와 디스크의 모든 직경을 더한 것으로 구성된다.

디스크 모델의 등각도를 보존하는 방향 그룹은 특수 단일 그룹 SU(1,1)에 의해 주어진다.

클라인 모델과 푸앵카레 하프 스페이스 모델과 함께, 쌍곡 기하학이 유클리드 기하학과 동일하다는 것을 보여주기 위해 이 모델을 사용한 유제니오 벨트라미에 의해 제안되었다. 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)의 이름을 따서 지은 것인데, 그가 14년 후 이 대표성을 재발견한 것이 벨트라미의 원작보다 더 잘 알려졌기 때문이다.^[1]

푸앵카레 볼 모델은 기하학의 포인트가 n차원 단위 볼에 있는 3차원 또는 n차원 쌍곡 기하학의 유사한 모델이다.

특성.

줄들

쌍곡선 직선은 디스크의 경계와 직교하는 디스크 내에 포함된 유클리드 원의 모든 호와 디스크의 모든 직경으로 구성된다.

나침반 및 직선 구조

경계 원의 직경이 아닌 두 점 P와 Q를 통과하는 고유한 쌍곡선은 다음을 통해 구성할 수 있다.

• P를 점 P의 경계 원 역행으로 한다.
• Q를 점 Q의 경계 원 역행으로 한다.
• M을 세그먼트 PP'의 중간점으로 한다.
• N을 세그먼트 QQ의 중간점으로 설정'
• 세그먼트 PP'에 수직인 선 m에서 M까지 그리기
• 세그먼트 QQ'에 수직인 선에서 N까지 그리기
• C는 선 m과 선 n이 교차하는 곳에 두도록 한다.
• 중심 C로 원을 그리고 P(및 Q)를 통과한다.
• 디스크 안에 있는 원 c의 부분은 쌍곡선이다.

P와 Q가 경계 원의 직경에 있는 경우 직경은 쌍곡선이다.

또 다른 방법은 다음과 같다.

• M을 세그먼트 PQ의 중간점으로 설정
• 세그먼트 PQ에 수직인 선 m에서 M까지 그리기
• P를 점 P의 경계 원 역행으로 한다.
• N을 세그먼트 PP'의 중간점으로 한다.
• 세그먼트 PP'에 수직으로 선 N부터 그리기
• C는 선 m과 선 n이 교차하는 곳에 두도록 한다.
• 중심 C로 원을 그리고 P(및 Q)를 통과한다.
• 디스크 안에 있는 원 c의 부분은 쌍곡선이다.

거리

이 모델의 거리는 Cayley-Klein 측정 기준이다. 디스크 내부에 두 개의 구별되는 p와 q가 주어진 경우, 이들을 연결하는 고유한 쌍곡선은 a와 b라는 두 이상적인 지점에서 경계를 교차하며, 점들이 순서대로 a, p, q, b, aq > ap과 pb > qb가 되도록 라벨을 붙인다.

그러면 p와 q 사이의 쌍곡선 $거리$는 d${\displaystyle (p,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle \ln \frac{q}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ p b ${\displaystyle \frac{a}{}}$ p ${\displaystyle \frac{q}{}}$ b $displaystyle d(p,q)=\ln {\frac}\pb\right \}{\좌측 pb\right \,\좌측 qb$

수직 막대는 원호를 따라가 아니라 모델에서 이들 사이의 점을 연결하는 선 세그먼트의 유클리드 길이를 나타내며, ln은 자연 로그다.

Another way to calculate the hyperbolic distance between two points is ${\displaystyle \operatorname {arcosh} \left(1+{\frac {2 pq ^{2} r ^{2}}{( r ^{2}- op ^{2})( r ^{2}- oq ^{2})}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle op$ $}$과(${\displaystyle 와)}$ o ${\displaystyle q}$ $}$은(는) 디스크의 중심에 대한 p 각 q의 거리, p${\displaystyle }{\displaystyle q}$와 q 사이의 거리$$$,$ r $displaystyle r}$ ${\displaystyle 디스크}$의 경계 원 반지름$$ 및 ${\displaystyle \mathrm{rocosh}}$ ${\displaystystyle \operato$}이다$$.$r이름 {oshosh}$}은 쌍곡 코사인 역 쌍곡 함수다.

When the disk used is the open unit disk and one of the points is the origin and the Euclidean distance between the points is r then the hyperbolic distance is: ${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\operatorname {artanh} r}$ where ${\displaystyle \operatorname {artanh}$$}$은 쌍곡 탄젠트의 역 쌍곡 함수다.

언제 이 원반이 열려 있는 장치 디스크와 포인트=′은)(r′, θ){\displaystyle x'=(r',\theta)}의 기원과 지점 사이의)=(r, θ){\displaystyle x=(r,\theta)}(두점 같은 반경에서는 같은 극지방의 각도와 1대리자고 있다;r>r′>0{\displaystyle 1>, r>, r'>0과 같은}), 그들의 있다.distan 쌍곡선ce is ${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2(\operatorname {artanh} r-\operatorname {artanh} r')}$. $이{\displaystyle {}^{}}$ 값은 r${\displaystyle 0}$ =$$0 {\$displaystyle r$'=0$}$인 경우 이전 공식으로 감소한다$.$

서클

원(특정 점, 그 중심에서 주어진 거리에 있는 평면의 모든 점들의 집합)은 원반 내부의 완전히 그 경계와 접촉하거나 교차하지 않는 원이다. 모델에서 원의 쌍곡선 중심은 일반적으로 원의 유클리드 중심과 일치하지 않지만 경계 원과 동일한 반지름에 있다.

하이퍼사이클

하이퍼사이클(주어진 선, 그 축으로부터 주어진 거리에 한쪽에 있는 평면의 모든 점들의 집합)은 경계 원을 오른쪽이 아닌 각도로 교차하는 경계 원의 유클리드 원호 또는 화음이다. 그것의 축은 같은 두 이상적인 점을 공유하는 쌍곡선이다. 이것은 등거리 곡선으로도 알려져 있다.

호로사이클

호로시클(정상 또는 수직 지오데오틱이 모두 무증상적으로 같은 방향으로 수렴되는 곡선)은 디스크 내부의 원형으로 디스크의 경계 원과 접촉하는 원이다. 그것이 경계 원에 닿는 지점은 호모세포의 일부가 아니다. 그것은 이상적인 지점이고 호모세포의 쌍곡선 중심이다.

유클리드 시놉시스

유클리드 원:

• 완전히 디스크 안에 있는 것은 쌍곡선이다.

(디스크의 중심이 원 안에 없을 때, 유클리드 중심은 쌍곡선 중심부가 있는 것, 즉 t< < h ${\$ holds)보다 항상 디스크 중심에 더 가깝다.)

• 그것은 원반 안에 있고 경계선에 닿아 있는 것은 호로사이클이다.
• 직교적으로 경계를 교차하는 것은 쌍곡선이다.
• 비직관적으로 경계를 교차하는 것은 하이퍼사이클이다.

경계 원의 유클리드 화음:

• 중앙을 통과하는 것은 쌍곡선이다.
• 중앙을 통과하지 않는 것은 하이퍼사이클이다.

미터법 및 곡률

u와 v가 둘 다 규범이 1보다 작은 일반적인 유클리드 규범을 가진 실제 n차원 벡터 공간 R의ⁿ 두 벡터라면, 우리는 다음에 의해 등축 불변성을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \delta(u,v)=2{\frac {\lVert u-v\rVert ^{2}}:{1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVvert v\rVert ^{2}}}}}}}$

여기서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$은 일반적인 유클리드 규범을 나타낸다$$. 그러면 거리 함수는

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\operatorname {arsinh} {\sqrt {\frac {\delta (u,v)}{2}}}\\\,&=2\ln {\frac {\lVert u-v\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\lVert v\rVert ^{2}-2u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}.\end{정렬}}}$

이러한 거리 함수는 1개 미만의 규범 벡터에 대해 정의되며, 그러한 벡터 집합을 일정한 곡률 -1의 쌍곡선 공간의 모델인 미터 공간으로 만든다. 모델은 쌍곡선 공간에서 두 교차 곡선 사이의 각도가 모델의 각도와 같다는 등각 특성을 가지고 있다.

Poincaré 디스크 모델의 관련 미터법 텐셔너는 다음과^[2] 같다.

${\displaystyle ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\lVert d\mathbf {x} \rVert ^{2}}{{\bigl (}1-\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}{\bigr )}^{2}}}}$

여기서 x는_i 주변 유클리드 공간의 데카르트 좌표다. 디스크 모델의 지오디컬은 경계구 S에ⁿ⁻¹ 수직인 원이다.

이 리만 미터법에 관한 정형화된 틀은 다음과 같다.

${\displaystyle e_{i}={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(1- \mathbf {x}^{2}\오른쪽){\frac {\frac {}{\buffer x^{i}}}}}},}$

1인치 2중 코프레임하여

${\displaystyle \theta ^{i}={\frac {2}{1- \mathbf {x}^{2}}\,dx^{i}.}$

2차원으로

In two dimensions, with respect to these frames and the Levi-Civita connection, the connection forms are given by the unique skew-symmetric matrix of 1-forms ${\displaystyle \omega }$ that is torsion-free, i.e., that satisfies the matrix equation ${\displaystyle 0=d\theta +\omega \wedge \theta }$. Solving this equation $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$ 수익률용$$

${\displaystyle \omega ={\frac {2(y\,dx-x\,dy)}{1- \mathbf {x}^2}}:{\pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix},},}$

곡률 행렬이 있는 위치

${\displaystyle \D\omega +\omega \wedge \omega=d\0={\frac {-4\,dx\wedge dy}{2}^{2}}:{\begin{pmatrix}0&1\&0\end{pmatrix}}}.}$

따라서 쌍곡선 디스크의 곡률은

${\displaystyle K=\Oomega _{2}^{1}(e_{1}, e_{2}=-1).}$

쌍곡 기하학의 다른 모델과의 관계

클라인 디스크 모델과의 관계

클라인 디스크 모델(벨트라미-클레인 모델이라고도 함)과 푸앵카레 디스크 모델은 모두 디스크의 전체 쌍곡면을 투영하는 모델이다. 이 두 모델은 반구 모델 위 또는 반구 모델에서 투영을 통해 관련된다. 클라인 디스크 모델은 반구 모델에 대한 직교 투영이고 푸앵카레 디스크 모델은 입체 투영이다.

클라인 디스크 모델의 장점은 이 모델의 선이 유클리드 직선 코드라는 것이다. 단점은 클라인 디스크 모델이 일정하지 않다는 점이다(원 및 각도가 왜곡됨).

두 모델에서 동일한 라인을 하나의 디스크에 투영할 때 두 라인은 동일한 두 개의 이상적인 지점을 거친다. (이상적인 점은 같은 지점에 남아 있다) 또한 클라인 디스크 모델에서 화음의 극은 푸앵카레 디스크 모델에서 호를 포함하는 원의 중심이다.

Poincaré 디스크 모델의 포인트(x,y)는 (${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$x 1 +${\displaystyle \frac{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}{}}$ + y ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$,${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\text{2}\frac{\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ )에 매핑되며, ${\$1+x^{$2}+y^{$2}+y^{$2$)에 매핑된다$.{\displaystyle }$$}}}\,\\\frac {2y}{1+x^{2}+y^{2$$}$$}}}\오른쪽)}$클라인 모델의 경우$$.

A point (x,y) in the Klein model maps to ${\displaystyle \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\ ,\ \ {\frac {y}{1+{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\right)}$ in the Poincaré disk model.

이상적인 점 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$= 1 ${\displaystyle$ x$^{2}+y^{2}=1}$의 경우 공식이 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle x\text{,}}$ ${\displaystyle \text{y}}$= $,$ y = y = y, y = y = $x=x\,\$y=y$$$}$가 되어 점이 고정된다.

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) Poincaré 디스크 모델의 한 점을 나타내는 하나보다 작은 표준 벡터인 경우, 클라인 디스크 모델의 해당 지점은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle s={\frac {2u}{1+u\cdot u}}.}$

반대로, Beltrami-Klein 모델의 한 점을 나타내는 하나 미만의 표준의$$ $벡터{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$에서 Poincaré 디스크 모델의 해당 지점은 다음과 같다.

${\displaystyle u={\frac {s}{1+{\sqrt{1-s\cdot s}}}={\frac {1-s\cdot s}}}{s\cdot s}}}.}$

푸앵카레 반평면 모델과의 관계

푸앵카레 디스크 모델과 푸앵카레 하프플레인 모델 모두 앙리 푸앵카레의 이름을 딴 것이다.

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) Poincaré 디스크 모델의 점을 나타내는 벡터보다 작은 규범의 벡터인 경우, 하프 평면 모델의 해당 지점은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle s={\frac {u+i}{property+1}.}$

A point (x,y) in the disk model maps to ${\displaystyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\ ,\ {\frac {1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)\,}$ in the halfplane model.^[3]

하프플레인 모델의 점(x,y)은${\displaystyle }$(${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}^{}}{}}$2 +${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{1}{}}$ + ${\displaystyle \frac{y{}^{}}{}}$)${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$2 , ${\displaystyle \text{x}\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}^{}}{}}$2 +${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{1}{}}$ +${\displaystyle \frac{{}^{y\mathrm{}}}{}}$ ) 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$) $displaystyle \left({\frac {2x}{x^{2}+(1+y)^{2$에 매핑된다.$}}}\\\\{\x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}++(1+y)^{2$$}$$디스크$ 모델에서$}}\\,}$

하이퍼볼로이드 모델과의 관계

클라인 모델뿐만 아니라 푸앵카레 디스크 모델도 하이퍼볼로이드 모델과 프로젝트적으로 관련이 있다. 하이퍼볼로이드 모델의 하이퍼볼로이드 상면에 점 [t, x₁, x, ..., x_n]이 있어, 하이퍼볼로이드 모델의 점을 정의한다면, [-1, 0, ..., 0]을 통해 그려진 선과 교차시켜 하이퍼플레인 t = 0에 투영할 수 있다. 결과는 푸앵카레 디스크 모델의 해당 지점이다.

하이퍼볼로이드의 데카르트 좌표(t, x_i)와 평면의 (y_i)의 경우 변환 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle y_{i}={\frac {x_{i}}{1+t}}}$

${\displaystyle (t,x_{i}}={\frac {\frac(1+\sum {y_{i}^{2}},\,2y_{i}\오른쪽){1-\sum {y_{i}^{2}},\,\,}$

구와 평면 사이의 입체 투영 공식을 비교하십시오.

쌍곡면에서의 기하학적 구조 해석

분석 기하학의 기본적인 구조는 주어진 두 점을 통해 선을 찾는 것이다. 푸앵카레 디스크 모델에서, 평면의 선은 형태의 방정식을 가진 원의 부분으로 정의된다.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0\}$

이는 단위 원과 직교하는 원의 일반적인 형태 또는 직경이다. 직경에 놓여 있지 않은 디스크의 u와 v 두 점을 감안할 때, 우리는 두 지점을 통과하는 이 형태의 원을 해결할 수 있다.

${\displaystyle {\displaysty}x^{2}+y^{2}&gt;{}+{{}+{{v_{1}(u_{2}^{2}^{2}+v_{2})}^{2}+1)-v_{2}(u_{1}^{2}+v_{1}}^{2}+1){u_{1}v_{2}-u_{2}-u_{1}v_{1}x\\[8pt]\{}+{\frac {u_{2}(u_{1}^{2}+v_{1})}{1}}^{2}+1)-u_{1}(u_{2}^{2}^{2}+v_{2}}}^{2}+1){u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}y+1=0\,\end{정렬}}}$

u와 v 지점이 직경의 끝점에 놓여 있지 않은 디스크 경계의 점인 경우, 위 내용은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(v_{1}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x-{\frac {2(u_{2}-u_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0\,.}$

각도

단위 벡터 u와 v에 의해 엔드포인트(이상적 지점)가 주어지는 원형 호와, 공식에 의해 엔드포인트가 s와 t인 호 사이의 각도를 계산할 수 있다. 이상적인 포인트는 클라인 모델과 푸앵카레 디스크 모델에서 동일하기 때문에 각 모델마다 수식이 동일하다.

두 모델의 라인이 모두 직경이어서 v = -u와 t = -s가 되면, 우리는 단지 두 단위 벡터 사이의 각도를 찾고 있을 뿐이며, 각도 θ에 대한 공식은 다음과 같다.

$\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s\,}$

v = -u가 아니라 t = -s인 경우,${\displaystyle }$쐐기 제품( terms ${\displaystyle \wedge }$ )의 관점에서 공식은 된다.$$

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}:{{}}{{}}}}QR},}$

어디에

$P=u\cdot(s-t)\...}$

$Q=u\cdot u\...}$

$R=(s-t)\cdot(s-t)-(s\wedge t)\cdot(s\wedge t)\,}$

두 화음이 모두 직경이 아닌 경우, 일반 공식은 다음 사항을 얻는다.

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}:{{}}{{}}}}QR}\...}$

어디에

$[\displaystyle P=(u-v)\cdot(s-t)-(u\wedge v)\cdot(s\wedge t)\}$

$[\displaystyle Q=(u-v)\cdot(u-v)-(u\wedge v)\cdot(u\wedge v)\}$

$R=(s-t)\cdot(s-t)-(s\wedge t)\cdot(s\wedge t)\,}$

Binet-Cauchy ID와 이것이 단위 벡터라는 사실을 사용하여 우리는 위의 표현들을 순전히 도트 제품이라는 관점에서 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle P=(u-v)\cdot(s-t)+(u\cdot t)-(u\cdot s)-(u\cdot t)\,}$

${\displaystyle Q=(1-u\cdot v)^{2}\...}$

${\displaystyle R=(1-s\cdot t)^{2}\,}$

예술적 실현

M. C. 에셔는 2차원 평면에서 무한을 나타내는 개념을 탐구했다. 1956년경 캐나다 수학자 H.S.M. Coxeter와의 논의는 쌍곡면의 규칙적인 기울기인 쌍곡 테셀레이션에 대한 에셔의 관심을 고무시켰다. 에셔의 목판화 서클 리미트 I-IV는 1958년과 1960년 사이에 이 개념을 증명하고, 최종적인 것은 1960년의 Circle Limit IV: Heaven and Hell이다.^[4] 브루노 에른스트에 의하면, 그중에서도 최고는 서클 리미트 3호라고 한다.

참고 항목

• 쌍곡 기하학
• 벨트라미-클레인 모델
• 푸앵카레 반평면 모형
• 푸앵카레 미터법
• 유사권
• 하이퍼볼로이드 모형
• 반전 기하학
• 쌍곡면에서의 균일한 기울기

참조

추가 읽기

• 제임스 W. 앤더슨, 쌍곡 기하학, 2005년 스프링거 2판
• Eugenio Beltrami, Teoria Fondamentale degli di curveatura costantante, Annali. di Mat, ser II 1868, 232–255.
• 사울 스탈, 푸앵카레 하프 플레인, 존스와 바틀렛, 1993년.

외부 링크

• Wikimedia Commons의 Poincaré 디스크 모델과 관련된 미디어