기능결정인자

수학의 한 분야인 기능해석에서는 유한 질서의 제곱 행렬(유한 차원 벡터 공간에서 그 자체로 선형 변환을 나타냄)의 결정요인 개념을 선형 연산자 S가 함수 공간 V를 자신에게 매핑하는 무한 차원 사례로 일반화할 수 있는 경우가 있다.해당 수량 데트를 S의 기능 결정 요인이라고 한다.

기능 결정 인자에 대한 몇 가지 공식들이 있다.그것들은 모두 유한 행렬의 결정요소가 행렬의 고유값의 산물과 같다는 사실에 근거한다.수학적으로 엄격한 정의는 운영자의 제타 함수를 통해 이루어진다.

${\displaystyle \zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\}$

여기서 tr은 기능 추적을 나타낸다. 결정 인수는 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle \det S=e^{-\zeta_{S}'(0)}\...}$

여기서 s = 0 지점의 제타 함수는 분석 연속성에 의해 정의된다.양자장 이론(QFT)에서 파인만 경로 적분 형식주의를 사용할 때 물리학자들이 자주 사용하는 또 다른 가능한 일반화는 기능적 통합을 사용한다.

${\displaystyle \det S\propto \left(\int_{V}{\mathcal{D}\phi \;e^{-\langle \phi \langle }}\{-\langle \p)^{-2}\,}$

이 경로 적분은 일부 상수 차이까지만 잘 정의된다.엄격한 의미를 부여하려면 다른 기능적 결정요인에 의해 분할되어야 하며, 따라서 문제가 있는 '정수'를 효과적으로 취소해야 한다.

이것들은 이제 표면적으로는 기능 결정 인자에 대한 두 가지 다른 정의로, 하나는 양자장 이론에서 나온 것이고 하나는 스펙트럼 이론에서 나온 것이다.각각은 어떤 종류의 규칙화를 포함한다: 물리학에서 인기있는 정의에서, 두 결정인자는 서로 비교될 수 밖에 없다; 수학에서는, 제타 함수를 사용했다.Osgood, Phillips & Sarnak(1988)은 QFT 형식주의에서 두 기능 결정요소를 비교하여 얻은 결과가 제타 기능 결정요소가 얻은 결과와 일치한다는 것을 보여주었다.

공식 정의

경로 정수 버전

유한 차원 유클리드 공간 V의 양성 자가 적응 연산자 S에 대해 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\det S}=\int _{V}e^{-\pi \langle x, Sx\rangele }\,dx}$

쥔다

문제는 무한 차원 함수 공간에서 연산자 S의 결정요인을 이해할 수 있는 방법을 찾는 것이다.함수 공간이 닫힌 간격의 연속 경로로 구성되는 양자장 이론에서 선호되는 하나의 접근법은 공식적으로 적분 계산을 시도하는 것이다.

${\displaystyle \int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\pi \langle \}\,{\mathcal {D}\pi }}$

여기서 V는 기능 공간이고 ${\displaystyle ⟨,\cdot }$ { ${\displaystyle \backslash }$ \ \$\displaystyle$ \langle $\cdot$ \$cdot \angle }$ L² inner product, $D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal{D}\$d}\$pi}$Wener 측정값이다.S에 대한 기본적인 가정은 S가 자체 적응해야 하며 L로² 완성되는 (예를 들어, 소형 간격 Ω의 두 번째 파생상품 연산자의 경우와 같이) 해당 고유 기능₁ f, f₂, f₃, f 등의 세트가 있는 이산 스펙트럼 λ₁, λ₂, λ₃ …을 가져야 한다는 것이다.이는 대략 모든 함수 φ이 함수 f_i:의 선형 조합으로 기록될 수 있음을 의미한다.

${\displaystyle \phi \rangele =\sum _{i}f_{i}\langle \c_=\langle f_{i} \phi \langle .}}$

따라서 지수 내의 내부 생산물은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \langle \phi S \phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i} S f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i} c_{i} ^{2}\lambda _{i}.}$

f함수에_i 기초하여, 기능 통합은 모든 기본 기능에 대한 통합으로 감소한다.공식적으로, 유한 치수 사례에서 나온 우리의 직관이 무한 치수 설정으로 넘어간다고 가정하면, 그 측정치는 다음과 같아야 한다.

${\displaystyle {\mathcal {D}\pi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.}$

이는 기능적 일체감을 가우스적 통합의 산물로 만든다.

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi S \phi \rangle }=\prod _{i}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dc_{i}}{2\pi }}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.}$

그런 다음 통합을 평가하여

${\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi S \phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}}$

여기서 N은 어떤 정규화 절차에 의해 처리되어야 하는 무한 상수다.모든 고유값의 산물은 유한차원 공간에 대한 결정요인과 동일하며, 우리는 이를 우리의 무한차원 사례에서도 정식으로 정의한다.이렇게 되면 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \int_{V}{\mathcal{D}\phi \;e^{-\langle \phi S \propto {\frac {1}{\sqrt {\\det S}}}.}$

만약 모든 양이 적절한 의미로 수렴된다면, 기능적 결정인자를 고전적 한계(왓슨과 휘태커)로 설명할 수 있다.그렇지 않으면 일종의 정례화를 실시할 필요가 있다.그 중 가장 인기 있는 것은 제타함수의 정규화다.^[1]예를 들어, 이것은 Minakshisundaram–을 사용하여 리만 다지관의 라플라스 및 디라크 연산자의 결정인자를 계산할 수 있다.플라이젤 제타 함수.그렇지 않으면 두 가지 결정요인의 몫도 고려할 수 있어 상수가 상수를 취소하게 된다.

제타 함수 버전

S를 콤팩트 서포트 기능에 양성인 부드러운 계수를 가진 타원형 미분 연산자가 되도록 한다.즉, 다음과 같은 c > 0의 상수가 존재한다.

$\displaystyle \langle \phi ,S\phi \langle \geq c\langle \phi \langle }$

소형으로 지원되는 모든 매끄러운 기능에 대해 φ.그 다음 S는 하한 c를 가진² L의 연산자에 대한 자기 적응 확장을 가진다.S의 고유값은 순차적으로 배열할 수 있다.

${\displaystyle 0<\puty _{1}\leq \cda _{2}\leq \cdots,\qquad \cda _{n}\ft.}$

S의 제타 함수는 다음과 같은 시리즈로 정의된다.^[2]

${\displaystyle \zeta _{S}=\sum _{n=1}^{n1}^{\frac {1}{1}{\lambda _{n}^{s}}}}.}$

ζ은_S 전체 평면에 걸쳐 메로모르픽 확장성을 갖는 것으로 알려져 있다.^[3]더욱이 좀 더 일반적인 상황에서 제타 함수를 정의할 수 있지만, 타원 차동 연산자(또는 유사 차동 연산자)의 제타 함수는 ${\displaystyle \mathrm{s}}$= 0 ${\displaystyle s=0}$에서 정규적이다$.$

공식적으로 이 시리즈를 기간별로 구분하여 제공

${\displaystyle \zeta _{S}=\sum _{n=1}^{n=1}{n1}^{\frac {-\ln \ln \lambda _{n}}}}},}$

따라서 기능적 결정요소가 잘 정의되어 있다면, 다음에 의해 주어져야 한다.

${\displaystyle \det S=\exp \left(-\\\eta _{S})(0)\right).}$

제타함수의 분석적 지속은 0에서 규칙적이므로, 이는 결정요인의 정의로 엄격하게 채택될 수 있다.

This kind of Zeta-regularized functional determinant also appears when evaluating sums of the form ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}}$. Integration over a gives ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\ln(n+a)}$ which can just be considered as the logarithm of고조파 발진기의 결정 요인이 마지막 값은 -${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\zeta }}$ H${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 0}$, a${\displaystyle }$) ${\displaystyle -\partial _{s}\jeta _{H}$ (0$,a)$와$$같을 뿐이며, ${\displaystyle {여기}_{}}$서 ${\displaystyle {}_{}H}$ ( , ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \zeta _{H,a}}}$는 Hurwitzeta 함수다.

실제 사례

무한한 잠재력 우물

무한전위 우물에서 양자역학적 입자의 운동을 기술하는 다음의 연산자의 결정인자를 계산한다.

${\displaystyle \det \왼쪽(-{\frac {d^{2}}:{dx^{2}}+A\오른쪽)\qquad(x\in [0,L]),}$

여기서 A는 전위의 깊이, L은 우물 길이다.연산자를 대각선으로 하고 고유값을 곱하여 이 결정인자를 계산한다.흥미롭지 않은 차이 상수에 신경 쓸 필요가 없도록 깊이 A를 가진 연산자와 깊이 A = 0을 가진 연산자의 결정요인 사이의 몫을 계산한다.이 전위의 고유값은 다음과 같다.

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi^{2}}+A\qquad(n\in \mathb{N} \setminus \{0\})}$

라는 뜻이다.

${\displaystyle {\frac {\d^{2}}:{dx^{2}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{d^{2}}:{dx^{2}}:{dx^}}}\오른쪽)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

이제 사인 함수에 오일러의 무한 제품 표현을 사용할 수 있다.

${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\inflat }\왼쪽(1-{\\frac {z^{2}}:{n^{2}\pi ^{2}}: 오른쪽)}}$

쌍곡선 사인 함수에 대한 유사한 공식을 도출할 수 있는 위치:

${\displaystyle \sin z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\inflit }\좌측(1+{\frac{z^{2}}:{n^{n^}\pi ^{2}}:}\오른쪽).}$

이걸 적용하면

${\displaystyle {\frac {\d^{2}}:{dx^{2}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{d^{2}}:{dx^{2}}:{dx^}}}\오른쪽)}}}=\prod _{n=1}^{+\n1}^{{\frac{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}\오른쪽)={\frac {\sinh L{\sqrt{A}}}{{{{\sinh L{sqrt{A}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

기능 결정 인자를 계산하는 또 다른 방법

1차원 전위의 경우 기능 결정 인자를 산출하는 쇼트컷이 존재한다.^[4]다음과 같은 표현을 고려한 것이다.

${\displaystyle {\frac {\d^{2}}:{dx^{2}}+V_{1}(x)-m\오른쪽)}{\det \left(-{d^{dx^{2}}:{dx^{dx^}}}+V_{2}(x)-m\right)}{\det \ftefteput}}}}$

여기서 m은 복잡한 상수다.이 표현식은 m의 공형 함수로서, m이 잠재적 V₁(x)를 가진 연산자의 고유값과 같을 때 0을, m이 잠재적₂ V(x)를 가진 연산자의 고유값일 때 극을 가진다.이제 ψ과^m
₁ ψ의^m
₂ 기능을 고려한다.

${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0}$

경계조건에 순종하다.

${\displaystyle \property_{i}^{m}=0,\frac \qquad {d\properties _{i}^}}{dx}}(0)=1.}$

함수를 구성하면

${\displaystyle \Delta (m)={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}},},}$

또한 m의 공형함수로서, 계산하고자 하는 결정요인의 몫과 정확히 동일한 극과 영을 가지고 있음을 알 수 있다: m이 연산자 번호 1의 고유값인 경우, ψ^m
₁(x)는 ψ^m
₁(L) = 0을 의미하는 고유함수가 되며, 분모와 유사하게 된다.리우빌의 정리로는 0과 극이 같은 두 개의 공형 함수가 서로 비례해야 한다.우리의 경우 비례 상수가 하나로 밝혀지고, 우리는 그 결과를 얻는다.

${\displaystyle {\frac {\d^{2}}:{dx^{2}}+V_{1}(x)-m\오른쪽)}{\det \left(-{d^{dx^{2}}:{dx^{dx^}}}+V_{2}(x)-m\right)}{\det \ftefteput}}}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}}}}}}$

m의 모든 값에 대하여.m = 0의 경우

${\displaystyle {\frac {d^{2}}:{dx^{2}}+V_{1}(x)\오른쪽)}{\det \left(-{d^{d^{2}}:{dx^{dx^}}}+V_{2}(x)\right)}{\det \reft}}}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.}$

무한한 잠재력이 다시 찾아왔다.

앞 절의 문제는 이런 형식주의로 더 쉽게 풀 수 있다.함수 ψ⁰
_i(x)는 준수한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}}$

다음과 같은 해결책 제공:

${\displaystyle {\begin{aigned}&\psi _{1}^{0(x)={\frac {1}{1}{\sqrt{A}}\sinh x {A},\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{정렬}}}$

이것이 최종적인 표현을 한다.

${\displaystyle {\frac {\d^{2}}:{dx^{2}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{d^{2}}:{dx^{2}}:{dx^}}}\오른쪽)}}}={\frac {\sinh L{\sqrt{A}}{L{\sqrt{A}}}}}$

참고 항목

• 프레드홀름 결정인자
• 후지카와법
• 파데예프-포포프 유령

메모들

참조

• Berline, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, ISBN 978-3-540-20062-8
• Branson, Thomas P. (2007), "Q-curvature, spectral invariants, and representation theory", Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 3: Paper 090, 31, arXiv:0709.2471, Bibcode:2007SIGMA...3..090B, doi:10.3842/SIGMA.2007.090, ISSN 1815-0659, MR 2366932, S2CID 14629173
• Branson, Thomas P. (1993), The functional determinant, Lecture Notes Series, vol. 4, Seoul: Seoul National University Research Institute of Mathematics Global Analysis Research Center, MR 1325463
• Hörmander, Lars (1968), "The spectral function of an elliptic operator", Acta Mathematica, 121: 193–218, doi:10.1007/BF02391913, ISSN 0001-5962, MR 0609014
• Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, Peter (1988), "Extremals of determinants of Laplacians", Journal of Functional Analysis, 80 (1): 148–211, doi:10.1016/0022-1236(88)90070-5, ISSN 0022-1236, MR 0960228
• Ray, D. B.; Singer, I. M. (1971), "R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds", Advances in Mathematics, 7 (2): 145–210, doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4, MR 0295381
• Seeley, R. T. (1967), "Complex powers of an elliptic operator", Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 288–307, MR 0237943
• Shubin, M. A. (1987), Pseudodifferential operators and spectral theory, Springer Series in Soviet Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13621-7, MR 0883081