토리첼리의 법칙

토리첼리의 정리라고도 알려진 토리첼리의 법칙은 유체 역학에서 오리피스에서 개구 위의 유체 높이까지 흐르는 유체의 속도와 관련된 정리입니다.법칙에 따르면 깊이 $h$ ${\displaystyle$ $h$$}$까지 채워진 탱크 바닥의 날카로운 날이 있는 구멍을 통해 유체가 유출되는 속도 $v$ ${\$displaystyle h$}$는 높이 h ${\displaystyle h}$에서 자유롭게 떨어질 때 신체(이 경우 물 한 방울)가 얻을 수 있는 속도와 같습니다$.$ 즉 $v$ = 2 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{gh}}}$ ${\displaystyle$ v={\$sqrt {2gh},$여기서 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$는 중력에 의한 가속도입니다.이 표현은 얻은 운동 에너지, ${\displaystyle 12m}$ v ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$과$($와) ${\displaystyle \mathrm{손실}}$된 위치 에너지,$mgh$ {\$displaystyle$$},$v {\$displaystyle$ v}에 대한 해결을 동일시하는 데서 비롯됩니다$.$이 법칙은 1643년 이탈리아 과학자 에반젤리스타 토리첼리에 의해 발견되었습니다.그것은 나중에 베르누이의 원리의 특별한 경우로 밝혀졌습니다.

파생

점도가 무시될 정도의 비압축성 유체의 가정 하에서 베르누이의 원리는 유압 에너지가 일정하다는 것을 의미합니다.

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{\rho _{1}}+{\frac {v_{1}}^{2}}={\frac {p_{2}}{\rho _{2}}+{\frac {v_{2}}^{2}}+{\frac {2}}+gy_{2}= {\text{constant}}}$

흐르는 액체의 어느 두 지점에서도여기서 $v$ ${\displaystyle v}$는 유체 속도, g ${\displaystyle g}$는 중력에 $의한$ 가속도, y ${\$$displaystyle$ y$}$는 일부 기준점 $위$의 높이, p {\$displaystyle p}$는 압력, ρ ${\displaystyle \rho}$은 밀도입니다.

토리첼리의 공식을 유도하기 위해 지수가 없는 첫 번째 점은 액체 표면에서, 두 번째 점은 개구 바로 바깥에서 취합니다.액체는 비압축성으로 가정되므로, ρ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$은 ρ 2$${\$displaystyle \rho$_{$2}$와 같으며, 둘 다 하나의 심볼 ρ$${\$displaystyle \rho}$로 나타낼 수 있습니다$.$ ${\displaystyle {압력}_{}}$ p 1$${\$displaystyle p_{1}$과 ${\displaystyle p_{}}$ 2$${\$displaystyle p_{2}$는 일반적으로 모두 대기압이므로, $p$ ${\displaystyle 1_{}}$ = p ${\displaystyle 2_{}}$ ⇒ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2}$ = 0 ${\displaystyle p_$${1}=p_{2}\$오른쪽 $화살표 p_{1}-p_{2$}$=0$또한 ${\displaystyle 1_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle y_{1}-y_{2}}$는 액체 표면의 개구부 높이 h ${\displaystyle$ h$}$와 같습니다.

${\displaystyle {\frac {{1}}^{2}}+gh={\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}}$

표면 ${\displaystyle {v1}_{}}$ ${\displaystyle v_{1}}$의 속도는 연속 방정식 ${\displaystyle {v1}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle {v2}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$$displaystyle v_{2}$에 의해 유출 속도 ${\displaystyle {v2}_{}}$ ${\$$displaystyle v_{1}$와 관련될 수 있습니다.$A=v_{2}$$A_{A$ 여기서 ${\displaystyle {AA}_{}}$ ${\$$A}}$는 오리피스의 단면이고 A${\displaystyle A}$는 (원통형) 용기의 단면입니다.${\displaystyle {v2\mathrm{}}_{}}$ ${\$을(를)$vA$ {\$displaystyle$v_{$$$A}$로 이름을 변경하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\display style {\frac {{v_{A}}^{2}}{{2}}{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}+gh={\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}}$

${\display style \rightarrow gh={\frac {{v_{A}}^{2}}\left(1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}\right).}$

${\displaystyle \rightarrow {v_{A}}={\sqrt {\frac {2gh}{1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}}}}.$

개구부 A A {\$displaystyle{\displaystyle {}_{}}$ ${$$일$ 때 $토리첼리$의 법칙은 특별한 경우로 얻어집니다.$A}}$은 컨테이너 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$의 수평 단면에 비해 매우 작습니다 ${\$:

${\displaystyle v_{A}={\sqrt {2gh}}}$

토리첼리의 법칙은 점성 효과를 무시할 수 있을 때만 적용될 수 있는데, 이는 그릇의 오리피스를 통해 물이 흘러나오는 경우에 해당됩니다.

실험적 검증 : 스파우트는 실험

모든 물리적 이론은 실험을 통해 검증되어야 합니다.분출 캔 실험은 물이 채워진 원통형 용기와 높이가 다른 여러 개의 구멍으로 구성되어 있습니다.표면이 열린 액체에서는 깊이에 따라 압력이 증가한다는 것을 보여주기 위해 고안되었습니다.제트기가 튜브에 낮게 있을수록, 그것은 더 강력합니다.유체 배출 속도는 튜브 아래쪽으로 더 높습니다.^[1]

유출 제트는 오리피스와 표면 사이의 거리가 클수록 모든 포물선이 더 멀리 도달하는 아래쪽 포물선을 형성합니다.$포물선{\displaystyle }$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle y(x)}$의 모양은 유출 속도에만 의존하며$$ 액체의 모든 분자가 탄도 궤적을 형성한다는 사실(발사체 운동 참조)로부터 결정될 수 있습니다. 여기서 초기 속도는 ${\displaystyle {유출}_{}}$ 속도 $v{\displaystyle {}_{}}$ A ${\$:

${\displaystyle y(x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{v_{A}^{2}}}x^{2}}}$

그 결과는 토리첼리의 법칙의 정확성을 매우 잘 확인해 주고 있습니다.

원통형 용기를 비우는 배출 및 시간

용기가 고정된 단면적 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 원통형이며$,$ 바닥에$$ A ${\displaystyle {영역}_{}}$ A ${\$의 오리피스가 있다고 가정하면 수위 높이 ${\displaystyle \mathrm{dh}/\mathrm{dt}}$ ${\displaystyle dh/dt}$의 변화율이 일정하지$$ 않습니다.용기 밖으로 배출 $V$ ˙ ${\displaystyle {\dot {V}}($으)로 인해 용기의 수량이 변경되고 있습니다.

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}={\dot {V}}=A_{A}v_{A}=A_{A}{\sqrt {2gh}}\quad \quad A{\frac {dh}{\sqrt {h}}=A_{A}{\sqrt{2g}}\;dt}$

양쪽을 통합하고 다시 배열하면

${\displaystyle T={\frac {A}{A_{A}}{\sqrt{\frac{2H}{g}},}$

여기서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$는 수위의 초기 높이이고 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$는 물을 모두 빼서 용기를 비우는 데 걸리는 총 시간입니다.

이 공식은 몇 가지 의미를 갖습니다.단면 $A$가 ${\displaystyle A}$이고 높이 $H$가 ${\displaystyle H}$인 $볼륨$ V ${\displaystyle V}$인 탱크를$$$V$ = A ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$V =$AH},$물이 다 찼습니다. 그러면 물을 모두 빼내는 시간은

${\displaystyle T={\frac {V}{A_{A}}{\sqrt {\frac {2}{gH}}}}.$

이는 충전량이 같은 높은 탱크가 넓은 탱크보다 더 빨리 배출된다는 것을 의미합니다.

마지막으로, 우리는 위의 방정식을 재정렬하여 시간 $t{\displaystyle }${\$displaystyle$ t$}$의 함수로서 수위 ${\displaystyle h}$(t$$$$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle h(t)}$의 높이를 결정할 수 있습니다.

${\displaystyle h(t)=H\left(1-{\frac {t}{T}}\right)^{2},}$

여기서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$는 컨테이너의 높이이고$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$는 위와 같이 배출 시간입니다.

방전실험, 방전계수

다이차지 이론은 원통형 용기 내의 수위$$ $t) {\displaystyle T}$ 또는$$ 시계열의 비움 $시간$을 측정하여 테스트할 수 있습니다.이러한 실험이 제시된 이분법 이론을 확인하지 못하는 경우가 많습니다.배출 과정의 이론적 예측과 측정치를 비교하면, 그러한 경우에 매우 큰 차이를 발견할 수 있습니다.실제로는 탱크의 배수 속도가 훨씬 느립니다.배출식을 보면

${\displaystyle {\dot {V}}=A_{A}v_{A}=A_{A}{\sqrt{2gh}}}$

유출 속도 또는 유효 유출 단면적의 두 가지 양이 이러한 불일치의 원인이 될 수 있습니다.

1738년 다니엘 베르누이는 이론적으로 관찰된 유출 행동과 관찰된 유출 행동 사이의 불일치는 ${\displaystyle {오리피스}_{}}$의 단면 A$${\$displaystyle A_{$A$$}에서 $수축{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {단면}_{}}$ A$$C {\$displaystyle$A_${C$}로 유출 단면을 감소시키는 정맥 수축(vena contracta)의 형성 때문이라고 보고$$ 배출은 다음과 같다고 말했습니다.

${\displaystyle {\dot {V}}=A_{C}v_{A}=A_{C}{\sqrt{2gh}}$

실제로 이는 배출, 유출 속도 및 대정맥 수축부의 단면을 측정한 최첨단 실험(참조)을 통해 확인됩니다.여기서 토리첼리의 법칙에 의해 유출 속도가 매우 잘 예측되며 속도 보정("속도 계수"와 같은)이 필요하지 않다는 것도 보여졌습니다.

대정맥의 단면을 어떻게 결정할 것인지에 대한 문제가 남아 있습니다.이는 일반적으로 배출이 오리피스의 단면과 토리첼리의 법칙과 관련이 있는 배출 계수를 도입함으로써 수행됩니다.

${\displaystyle {\dot {V}}_{\text{real}}=\mu A_{A}v_{A}\quad {\text{with}}\quad \mu = {\frac {A_{C}}{A_{A}}}$

탱크의 둥근 구멍에서 흘러나오는 점성이 낮은 액체(물 등)의 경우 배출 계수는 0.65입니다.^[3]원형 튜브나 호스를 통해 배출하면 배출 계수를 0.9 이상으로 높일 수 있습니다.직사각형 개구의 경우 높이-폭 비율에 따라 방전 계수가 최대 0.67이 될 수 있습니다.

적용들

액체 분사에 의해 커버되는 수평 거리

$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$가 지면 위 오리피스의 $높이$이고 H ${\displaystyle H}$가 지면으로부터 액체 기둥의 높이(액체 표면의 높이)인 경우 액체 기둥의 밑면과 동일한 수준에 도달하기 위해 액체 분출이 커버하는 수평 거리를 쉽게 도출할 수 있습니다.$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$는 제트 기류의 입자가 이동하는 수직 높이이기 때문에, 우리는 낙하 물체의 법칙으로부터

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}gt^{2}\quad \오른쪽 화살표 \quad t={\sqrt {\frac {2h}{g}}},}$

여기서 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$는 분사 입자가 오리피스에서 지면으로 떨어지는 데 걸리는 시간입니다$$.수평 배출 속도가 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$인 경우$,$ $시간{\displaystyle }$t {\$displaystyle t}$ 동안 제트 입자가 이동한 수평 거리는$$

${\displaystyle D= vt= v{\sqrt {\frac {2h}{g}}}}.$

수위가 오리피스 $위$의 H${\displaystyle }$- ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle$ H - $h}$이므로, 토리첼리의 법칙에 의해 주어진 수평 유출 속도 $v$ = ${\displaystyle 2}$ g${\displaystyle \sqrt{}}$(${\displaystyle \sqrt{H}}$ -${\displaystyle \sqrt{h}),}$ ${\displaystyle$v = {\$sqrt {2g (H$ - h$)}}.$따라서, 우리는 두 개의 방정식으로부터

${\displaystyle D=2{\sqrt {h(H-h)}}}$

$최대$ 수평 범위를 산출하는 오리피스의 위치는 $d$ ${\displaystyle$ h$}$에 $대하여$ 위 식을 h ${\displaystyle h}$에 대하여 미분하고$,$ d ${\displaystyle D/\mathrm{dh}}$ = 0 ${\displaystyle dD/dh$=$0}$을 해결함으로써 얻어짐$.$

${\displaystyle {\frac {dD}{dh}}={\frac {H-2h}{\sqrt {h(H-h)}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{dD}/\mathrm{dh}}$ = ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle dD/dh$ = $0,}$을(를) 해결하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle h^{*}={\frac {H}{2}},}$

그리고 최대 범위.

${\displaystyle D_{\max}=H.}$

클레프시드라 문제

클레프시드라는 물의 흐름에 의해 시간을 측정하는 시계입니다.물이 빠져나올 수 있는 밑부분에 작은 구멍이 뚫린 냄비로 구성되어 있습니다.유출되는 물의 양은 시간의 척도를 제공합니다.토리첼리의 법칙에 따라 구멍을 통한 유출 속도는 물의 높이에 따라 달라지며, 수위가 낮아짐에 따라 배출이 균일하지 않습니다.간단한 해결책은 물의 높이를 일정하게 유지하는 것입니다.이것은 물의 흐름을 일정하게 용기 내부로 흘려보냄으로써 달성될 수 있으며, 물의 흐름은 다른 구멍으로부터 상부로부터 빠져나올 수 있습니다.따라서 일정한 높이를 가지므로 하부에서 배출되는 물을 균일한 눈금으로 다른 원통형 용기에 모아 시간을 측정할 수 있습니다.유입성 클레프시드라입니다.

또는 용기의 모양을 주의 깊게 선택하여 용기 내의 수위를 일정한 속도로 감소시킬 수 있습니다.용기에 남아있는 물의 수위를 측정하여 균일한 눈금으로 시간을 측정할 수 있습니다.이것은 유출 클레프시드라의 예입니다.수위가 높을수록(압력이 높을수록) 유출율이 높기 때문에 수위가 높을 때 유체의 부피는 단순한 실린더 이상이 되어야 합니다.즉, 수위가 높을수록 반경이 커져야 합니다.영역 $a$의 출구 구멍 위에 $수위$ h {\$displaystyle h}$의 높이에 따라 반지름 r ${\$$displaystyle r$$}$이(가$)$ 증가합니다$.$ 즉, $r$ = ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle r$=$f(h)}.$수위가 일정한 감소율을 갖도록 반지름을 구합니다. 즉, d ${\displaystyle h}$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}$ = c ${\displaystyle dh/dt$=$c}.$

주어진 수위 $h$ ${\displaystyle h}$에서 수면$$면적은 $A$ = π ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle$A =\$pir^{2}}$입니다$.$물의 양이 순간적으로 변하는 속도는

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}=\pir^{2}c.}$

토리첼리의 법칙에 따르면 유출 속도는

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A_{A}v=A_{A}{\sqrt {2gh}},}$

이 두 개의 방정식으로부터,

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{A}{\sqrt {2gh}}&=\pi r^{2}c\\\오른쪽 화살표 \quad h&={\frac {\pi ^{2}c^{2}}{2gA_{A}^{2}}}r^{4}.\end{aligned}}$

따라서 컨테이너의 반지름은 $높이$의 4분위근 r ∝ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle r\propto {\sqrt[{4}]{h$}}에 비례하여 변경되어야 합니다$.$

마찬가지로, 유출 클레프시드라의 용기 형상을 위의 사양에 따라 수정할 수 없다면, 시간을 측정하기 위해 불균일한 눈금을 사용해야 합니다.위의 비우기 시간 공식은 방류수 높이의 제곱근인 $T$ ∝ ${\displaystyle h.}$ ${\displaystyle T\propto {\sqrt {h}}$로 시간을 보정해야 함을 알려줍니다. 더 정확하게는,

${\displaystyle \Delta = {\frac {A} {A_{A}}{\sqrt {\frac {2}{g}}}({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}})}$

$여기$서 δ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta}$는 수위가 ${\displaystyle {h1}_{}}$ ${\displaystyle h_{1}}$ 높이에서 ${\displaystyle {h2}_{}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ 높이까지 내려가는 데 걸리는 시간입니다$.$

토리첼리의 독창적인

에반젤리스타 토리첼리의 독창적인 유래는 그의 '오페라 지오메트리카'의 두 번째 책 '데모투 아쿠아리움'에서 찾을 수 있습니다(참조): 그는 물을 가득 채운 튜브 AB(그림(a))를 A급으로 시작합니다.그런 다음 B 레벨에서 좁은 개구를 천공하고 두 번째 수직 튜브 BC에 연결합니다.연통 용기의 유체 정역학적 원리로 인해 물은 양쪽 튜브의 동일한 충전 레벨 AC까지 들어 올립니다(그림 (b)).최종적으로 튜브 BC를 제거하면(그림 (c)) 물은 다시 이 높이까지 상승해야 하며, 이는 그림 (c)에서 AD라고 합니다.그 행동의 이유는 물방울이 높이 A에서 B로 떨어지는 속도는 물방울을 B에서 A로 들어올리는 데 필요한 초기 속도와 같기 때문입니다.

이러한 실험을 수행할 때 (그림 (c)의 D 대신) 높이 C에만 도달하게 되며, 이는 제안된 이론과 모순됩니다.토리첼리는 이 결함을 공기저항과 하강낙하가 상승낙하와 충돌하기 때문으로 생각합니다.

사실 토리첼리의 주장은 틀렸습니다. 왜냐하면 자유 제트의 압력은 주변 대기압이고 통신 용기의 압력은 정수압이기 때문입니다.그 당시에는 압력의 개념이 알려져 있지 않았습니다.

참고 항목

• 달시의 법칙
• 동압
• 유체 정역학
• 하겐-포이슈유 방정식
• 헬름홀츠의 정리
• 키르히호프 방정식
• 크누센 방정식
• 매닝 방정식
• 경도-경사 방정식
• 모리슨 방정식
• 나비에-스토크스 방정식
• 눈에 보이는 흐름
• 파스칼의 법칙
• 포이세유의 법칙
• 퍼텐셜 플로우
• 압력.
• 정압
• 가압헤드
• 상대론적 오일러 방정식
• 레이놀즈 분해
• 스톡스 흐름
• 스톡스 스트림 함수
• 스트림함수
• 유선형, 줄무늬선 및 경로선

참고문헌

추가열람

• T. E. Faber (1995). Fluid Dynamics for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42969-6.
• Stanley Middleman, 유체역학 개론: 해석과 설계의 원리 (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
• Dennis G. Zill (14 May 2008). A First Course in Differential Equations. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.