프라임 모델

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수학, 특히 모델 이론에서 프라임 모델은 가능한 한 단순한 모델이다.특히 모델 P ${\displaystyle P}$이(가) 원소적으로 동등한 $모델$ M ${\displaystyle M}($$즉{\displaystyle }$, P ${\displaystyle P}$과 동일한 전체 이론을 만족하는$$ $모델{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$에 기본 내장되는 것을 인정하는 경우 모델 $P{\displaystyle }$ {\displaystylement P}이 가장$$ 중요하다.

카디널리티

포화 모델의 개념과 대조적으로, 프라임 모델은 뢰웬하임-스콜렘 정리에 의해 매우 구체적인 기질에 제한된다.If ${\displaystyle L}$ is a first-order language with cardinality ${\displaystyle \kappa }$ and ${\displaystyle T}$ is a complete theory over ${\displaystyle L,}$ then this theorem guarantees a model for ${\displaystyle T}$ of cardinality ${\displaystyle \max(\kappa ,\aleph _{0}$$}}$ 따라서$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 프라임 모델은 최소한 그러한 모델에 원소적으로 내장되어야 하기 때문에 더 큰 카디널리티를 가질 수 없다$$.이것은 실제 카디널리티에 여전히 많은 애매함을 남긴다.셀 수 있는 언어의 경우, 모든 주요 모델은 최대 셀 수 없이 무한하다.

포화 모델과의 관계

프라임 모델과 포화 모델의 정의 사이에는 이중성이 있다.이러한 이중성의 절반은 포화모델에 관한 기사에서 논하고 있는 반면, 나머지 절반은 다음과 같다.포화 모형은 가능한 한 많은 유형을 실현하는 반면, 프라임 모형은 가능한 적게 실현한다: 그것은 생략할 수 없는 유형만 실현하고 나머지는 생략한다.이것은 프라임 모델이 "노 프릴(no frills)"을 인정한다는 의미에서 해석될 수 있다. 즉 선택적인 모델의 특성은 그 안에서 무시된다.

For example, the model ${\displaystyle \langle {\mathbb {N} },S\rangle }$ is a prime model of the theory of the natural numbers N with a successor operation S; a non-prime model might be ${\displaystyle \langle {\mathbb {N} }+{\mathbb {Z} },S\rangle ,}$ meaning that there is a copy of the full integ이 모델에서 자연수의 원본과 분리된 er. 이 추가 기능에서는 산술적인 작업이 평소와 같다.이 모델들은 원소적으로 동등하다; 그들의 이론은 다음과 같은 공리화를 인정한다.

1. 어떤 요소의 계승자가 아닌 고유한 요소가 있다.
2. 동일한 후계자를 갖는 두 가지 고유한 요소는 없다.
3. nⁿ > 0으로 S(x) = x를 만족하는 요소는 없다.

이것들은 사실 페아노의 공리 중 두 가지인 반면, 세 번째 공리는 첫 번째 공리(페아노의 공리 중 또 다른 공리)에서 따르게 된다.이 이론의 어떤 모델도 0에서 한 번 하위 모델을 생성하면 전임자와 후계자 모두를 무한정 인정하기 때문에 자연수 이외에 전체 정수의 분리판으로 구성된다.$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle {\mathb {N}},S\rangele }$이(가) 프라임 모델이라는$$ 증거의 윤곽이다.

참조

• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3