쌍곡선 부문

쌍곡선 섹터는 원점에서 두 지점까지의 광선과 직사각형 하이퍼볼라 xy = 1(또는 이 하이퍼볼라가 재조정되고 단위의 하이퍼볼라와 마찬가지로 원점에서 중심을 떠나는 회전에 의해 방향이 변경되는 경우)에 의해 경계되는 데카르트 평면 {(x,y)}의 영역이다. 표준 위치의 쌍곡선은 a = 1과 b > 1을 가진다.

쌍곡선 섹터는 쌍곡선 기능의 기본이다.

면적

표준 위치에서 쌍곡선 부분의 영역은 b의 자연 로그 입니다.

교정: 1/x 이하를 1에서 b까지 적분하고, 삼각형 {(0, 0), (1, 0), (1, 1)}을 더하고, 삼각형 {0, 0, (b, 0), (b, 1/b)}을 뺀다. ^[1]

표준 위치에 있을 때 쌍곡선 섹터는 원점에서 양의 쌍곡선 각도에 해당하며, 후자의 측정치는 전자의 영역으로 정의된다.

쌍곡선 삼각형

표준 위치에 있을 때, 쌍곡선 섹터는 쌍곡선 삼각형, 원점에 하나의 꼭지점이 있는 오른쪽 삼각형, 대각선 y = x, 그리고 쌍곡선의 세 번째 꼭지점을 결정한다.

$[\displaystyle xy=1,\,})$

하이포텐use는 하이퍼볼라에서 원점에서 점(x, y)까지의 구간이다. 이 삼각형의 밑단 길이는

${\displaystyle {\sqrt {2}}\cosh u,\,}$

그리고 고도는

${\displaystyle {\sqrt{2}}\sinh u,\,}$

여기서 u는 적절한 쌍곡선 각도다.

원형과 쌍곡선 함수의 유사성은 아우구스투스 드 모건이 그의 삼각법과 이중 대수(1849년)에서 서술한 것이다.^[2] 윌리엄 번사이드(William Burnside)는 그의 논문 "과다선함수의 추가정리에 관한 주석"에서, 하이퍼볼라 xy = 1의 한 지점에서 주 대각선으로 투영되는 그러한 삼각형을 사용했다.^[3]

쌍곡선 로그

적분 미적분학의 학생들은 hypervola의 4각형에 해당하는 p = –1 경우를 제외하고 f(x) = x에^p 대수적 항변제가 있다는 것을 알고 있다. 다른 케이스들은 카발리에리의 4각형 공식에 의해 주어진다. 파라볼라의 4배는 기원전 3세기에 아르키메데스에 의해 달성된 반면, 쌍곡선 4배는 1647년에 새로운 기능의 발명을 필요로 했다: 그레고아르 드 생 빈센트(Greggoire de Saint-Vincent)는 하이퍼볼라에 의해 경계된 영역을 계산하는 문제를 다루었다. 그의 발견은 쌍곡선 아래 영역을 통합하거나 찾아내는 방법으로 얻어지기 때문에 한때 쌍곡선 로그라고 불리던 자연 로그 함수로 이어졌다.^[4]

1748년 이전과 '무한도 분석의 서론'이 발표되기 전에는 쌍곡선 부분의 면적으로 자연 로그가 알려져 있었다. 레온하르트 오일러는 10과^x 같은 초월적 기능을 도입할 때 그것을 바꾸었다. 오일러는 e를 면적 단위(하이볼라 아래 또는 표준 위치의 쌍곡선 부분)를 생산하는 b의 값으로 식별했다. 그러면 자연 로그는 초월함수 e에^x 대한 역함수로 인식될 수 있을 것이다.

쌍곡 기하학

1928년 펠릭스 클라인이 비유클리드 기하학에 관한 책을 쓸 때, 그는 투영적 기하학을 참고하여 그 주제에 대한 기초를 제공했다. 라인에 쌍곡선 측도를 확립하기 위해, 그는 쌍곡선 부분의 영역이 개념의 시각적 예시를 제공했다고 언급했다.^[5]

쌍곡선 섹터도 $하이퍼볼라{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{x\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\$}에 그릴 수 있다.형상 교과서>에서 그러한 쌍곡 부분의 면적을 정의하기 위해 사용하였다.^[6]

참고 항목

• 스퀴즈 맵핑

참조

• 멜렌 W. 하스켈(1895) 쌍곡함수의 개념 도입에 대하여 미국수학학회 회보 1(6:155–9).