포논

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물리 포털 카테고리
v t

물리학에서, 포논은 응축 물질, 특히 고체와 일부 액체에서 원자 또는 분자의 주기적이고 탄력적인 배열에서의 집단 들뜸이다.준입자의 ^[1]일종인 포논은 상호작용하는 입자의 탄성구조를 위한 진동모드의 양자역학 양자화에서의 들뜸상태이다.포논은 양자화된 음파로 생각할 수 있으며, 양자화된 ^[2]광파와 광자와 유사합니다.

포논 연구는 응집 물질 물리학의 중요한 부분이다.이들은 열전도율 및 전기전도율 등 응축물질 시스템의 많은 물리적 특성에 중요한 역할을 할 뿐만 아니라 중성자 산란 및 관련 효과 모델에서도 기본적인 역할을 한다.

포논의 개념은 1932년 소련의 물리학자 이고르 탐에 의해 도입되었다.포논이라는 이름은 긴 파장의 포논이 소리를 발생시키기 때문에 소리 또는 음성으로 번역되는 그리스어 ή ( ( (ph(phon)에서 유래했다.그 이름은 광자라는 단어와 유사하다.

정의.

포논은 원자 또는 분자의 격자가 단일 ^[3]주파수로 균일하게 진동하는 기본 진동 운동에 대한 양자 역학적 기술입니다.고전 역학에서 이것은 정상적인 진동 모드를 나타냅니다.임의의 격자 진동이 이러한 기본 진동 모드의 중첩으로 간주될 수 있기 때문에 일반 모드는 중요하다(cf).푸리에 분석).일반 모드는 고전 역학에서 파동 같은 현상인 반면, 포논은 양자 역학의 파동-입자 이중성과 관련된 방식으로 입자 같은 특성을 가지고 있습니다.

격자 역학

이 섹션의 방정식은 양자역학의 공리를 사용하지 않고 고전역학에 직접적인 대응관계가 존재하는 관계를 사용한다.

예를 들어 강체정규격자(아모르퍼스하지 않음)는 N개의 입자로 구성된다.이 입자들은 원자이거나 분자일 수 있다.N은 예를 들어 10의²³ 차수와 같은 큰 수 또는 고체의 일반적인 표본에 대한 아보가드로 번호의 차수입니다.격자는 강성이기 때문에, 각 원자가 평형 위치에 근접하도록 서로 힘을 가해야 한다.이러한 힘은 Van der Waals 힘, 공유 결합, 정전기 인력 등이 될 수 있으며, 이 모든 힘은 궁극적으로 전기력에 기인합니다.자기력과 중력은 일반적으로 무시할 수 있다.각 원자 쌍 사이의 힘은 원자 분리 거리에 따라 달라지는 잠재적 에너지 함수 V에 의해 특징지어질 수 있다.전체 격자의 전위 에너지는 모든 쌍별 전위 에너지의 합계에 1/2의 계수를 곱하여 이중 ^[4]계수를 보정하는 것이다.

${\displaystyle {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}$

여기서_i r은 ith 원자의 위치이고, V는 두 원자 사이의 위치 에너지이다.

고전 역학이나 양자 역학에서 이 다체 문제를 명확하게 푸는 것은 어렵다.작업을 단순화하기 위해 일반적으로 두 가지 중요한 근사치가 부과된다.첫째, 합계는 인접한 원자들에 대해서만 수행됩니다.실제 고체의 전기력은 무한대로 확장되지만, 먼 원자에 의해 생성된 장은 효과적으로 선별되기 때문에 이 근사치는 여전히 유효하다.둘째, 전위 V는 고조파 전위로 취급됩니다.이것은 원자들이 평형 위치에 가까이 있는 한 허용된다.공식적으로, 이것은 Taylor가 평형 값에 대한 V를 2차 차수로 확장함으로써 이루어지며, V는 변위² x에 비례하고 탄성은 x에 단순히 비례한다.x가 평형 위치에 근접한 경우 고차 항을 무시하는 오차는 작은 상태로 유지됩니다.

결과 격자는 스프링으로 연결된 볼 시스템으로 시각화할 수 있다.다음 그림은 많은 유형의 결정성 고체에 적합한 모델인 입방체 격자를 보여줍니다.다른 격자에는 곧 포논 모델링에 사용할 매우 단순한 격자인 선형 체인이 포함됩니다(다른 일반적인 격자에 대해서는 결정 구조를 참조하십시오).

이제 격자의 위치 에너지는 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

$\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn}) {\tfrac {1}{2}m\o메가^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}}$

여기서 θ는 고조파 전위의 고유진동수로 격자가 규칙적이기 때문에 동일하다고 가정한다.R은_i ith 원자의 위치 좌표이며, 이제 평형 위치에서 측정합니다.가장 가까운 네이버의 합계는 (nn)으로 표시됩니다.

격자파

원자 간의 연결로 인해, 하나 이상의 원자가 평형 위치에서 이동하면 격자를 통해 전파되는 일련의 진동파가 발생합니다.이러한 파동 중 하나가 오른쪽 그림에 나타나 있습니다.파동의 진폭은 원자의 평형 위치에서의 변위에 의해 주어진다.파장 θ가 표시된다.

원자간 평형분리 a의 2배로 주어진 최소 파장이 있다.격자의 주기성 때문에 이보다 짧은 파장은 2a보다 긴 파장에 매핑할 수 있습니다.이것은 나이키스트-셰논 표본 추출 정리의 결과로 생각될 수 있는데, 격자점은 연속파의 "표본점"으로 간주된다.

가능한 모든 격자 진동이 명확한 파장과 주파수를 갖는 것은 아닙니다.단, 일반 모드에는 명확한 파장과 주파수가 있습니다.

1차원 격자

원자의 3차원 격자에 필요한 분석을 단순화하기 위해서는 1차원 격자 또는 선형 사슬을 모델링하는 것이 편리하다.이 모델은 포논의 두드러진 특징을 보여줄 정도로 복잡합니다.

고전적 처리

원자 사이의 힘은 선형 및 가장 가까운 이웃으로 가정되며 탄성 스프링으로 표현된다.각 원자는 점 입자로 가정되며, 핵과 전자는 스텝에 따라 움직인다(단열 정리:

n - 1 n n + 1 ← a →

·····++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

→→ → →→→

u_{n − 1} u_n u_{n + 1}

여기서 n번째 원자는 총 N개 중 n번째 원자에 라벨을 붙이고, a는 사슬이 평형 상태에 있을 때 원자 사이의 거리이며_n, u는 평형 위치에서 n번째 원자의 변위이다.

만약 C가 스프링의 탄성 상수이고 원자의 질량이 m이라면, n번째 원자의 운동 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle - 2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}$

이것은 일련의 결합 방정식입니다.

해는 진동할 것으로 예상되기 때문에 새로운 ^[5]좌표를 분리하기 위해 이산 푸리에 변환에 의해 정의됩니다.

놓다

${\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}$

여기서, na는 스칼라 장론의 연속 변수 x에 대응하고 발전한다.Q는_k 노멀 좌표, 연속체 필드 모드 θ로_k 알려져 있습니다.

운동 방정식으로 치환하면 다음과 같은 디커플링 방정식이 생성됩니다(이는 이산 푸리에 ^[6]변환의 직교 정규성 및 완전성 관계를 사용하여 상당한 조작이 필요함).

$\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}$

이것들은 해답을 가진 분리된 조화 진동자에 대한 방정식이다.

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\obega_{k}t};\qquad\obega_{k}=sqrt {{\frac {2C}{m}}}(1-\cos {ka}}}}}.}$

각 법선 좌표_k Q는 법선 모드라고 알려진 파수 k를 갖는 격자의 독립 진동 모드를 나타낸다.

θ에_k 대한 두 번째 방정식은 각 주파수와 파수 사이의 분산 관계라고 알려져 있습니다.

연속체 한계 a→0_n, N→na는 고정이고, u → ((x), 스칼라장 ${\displaystyle ((k)}$ ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle k}$a \$displaystyle \Omega(k)\propto$ ka$\}$이다.이는 독립 발진기의 집합체인 고전적인 자유 스칼라 장 이론과 같습니다.

양자 처리

1차원 양자역학적 고조파 사슬은 N개의 동일한 원자로 구성됩니다.이것은 포논을 발생시키는 격자의 가장 단순한 양자역학 모델이다.이 모델의 형식주의는 2차원과 3차원으로 쉽게 일반화할 수 있다.

이전 섹션과는 대조적으로 질량의 위치는 u로 표시되지_i 않고 평형 위치에서 측정된 x…로₁₂ 표시된다(입자_i i가 평형 위치에 있는 경우 x = 0).2차원 이상에서 x는_i 벡터량이다.이 시스템의 해밀턴식은

${\displaystyle {mathcal {H}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}{2}{2m}}+{\frac {1}{{2}\sum _{{ij\}(\mathrm {n})\left(x_i}-x_{j}^2}}}^2}}}{{}}}}}}}}{n}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}{\frac{n}}}}}}}}}}$

여기서 m은 각 원자의 질량(모든 원자와 동일), x와_ii p는 각각 ith 원자의 위치와 운동량 연산자로, 합계는 가장 가까운 이웃(nn)에 걸쳐 이루어집니다.그러나 격자 안에 입자처럼 작용하는 파동이 나타날 수도 있다고 예상한다.파동 벡터의 정상 모드를 입자의 좌표 대신 변수로 사용하는 푸리에 공간에서는 파동을 다루는 것이 관례다.일반 모드의 수는 입자의 수와 동일합니다.그러나 시스템의 주기성을 고려할 때 푸리에 공간은 매우 유용합니다.

p의_k 푸리에 변환으로 정의된_k x와_k N의 "공역 모멘타" δ의_k 이산 푸리에 변환으로 정의된 N개의 "정규 좌표" Q 세트가 도입될 수 있다.

$디스플레이 스타일Q_{k}&=sum frac {1}{\sum frac {N}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\Pi _{k}&=sum frac {1}{\sum frac {n}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}}.\end { aligned}}$

k의_n 양은 포논의 파수, 즉 2µ를 파장으로 나눈 값입니다.

이 선택은 실제 공간 또는 파동 벡터 공간에서 원하는 정류 관계를 유지합니다.

${\displaystyle {l} \left [ x _ {l , p _ {m } \ right ]&= i\hbar \ left [ Q _ { k } \ Pi _ { k ' } \ right }&= sum frac { N } \ sum { l , m } e ^ { ik } { { } } } } } } } } } } } {\ {\ {\ } } } } } } {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ 、\&=sum frac {i\hbar}{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\오른쪽)= i\hbar \par _{k,k'}\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k}\right]=0\end{aligned}}$

일반적인 결과로부터

${\displaystyle {displaystyle _{l}x_{l+m}&=sum frac {1}{N}\sum _{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'={k}_sum$

잠재적 에너지 용어는

${\displaystyle { tfrac {1} {2} m\opega ^{j}\sum _ {j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^2}=btfrac {1}{2}m\sum _{k}Q_{k}Q_{k}{ka-{e-{ka}$

어디에

${\displaystyle \mega _{k}=sqrt {2\mega ^{2}\left(1-\cos {ka}\오른쪽)}=2\omega \left \sin {frac {ka}{2}\right }$

해밀토니안은 파장 벡터 공간에서 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}=sum frac {1}{2m}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2})}\obega _{k}^2}Q_{k}Q_{-k}\right}$

위치 변수 사이의 커플링은 변환되어 사라졌습니다. Q와 δ가 에르미트어(비결합)일 경우 변환된 해밀턴어는 N개의 비결합 고조파 발진기를 기술합니다.

양자화의 형태는 경계 조건의 선택에 따라 달라집니다. 단순화를 위해 주기적인 경계 조건이 부과되어 (N + 1)번째 원자가 첫 번째 원자와 동등하다고 정의됩니다.물리적으로 이것은 체인의 끝부분에서 체인을 결합하는 것에 해당합니다.그 결과 양자화됩니다.

${\displaystyle k=k_{n}=frac {2\pi n}{Na}}}\quad {mbox{}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {N}{2}}.\ }$

n에 대한 상한은 위에서 설명한 바와 같이 격자 간격 a의 2배인 최소 파장에서 나옵니다.

모드 δ의_k 고조파 오실레이터 고유값 또는 에너지 레벨은 다음과 같습니다.

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\오른쪽)\hbar \obega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

레벨의 간격은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \tfrac {1}{2}\hbar \obe,\hbar \obe,\tfrac {5}{2}\hbar \obe \cdots }$

어디에1/2 δ는 양자 고조파 발진기의 영점 에너지입니다.

고조파 발진기 격자를 다음 에너지 레벨로 푸시하려면 정확한 에너지 δ가 공급되어야 합니다.전자장을 양자화했을 때의 광자 케이스에 비해 진동 에너지의 양자를 포논이라고 한다.

모든 양자계는 물결 모양과 입자 모양 특성을 동시에 보여준다.포논의 입자상 특성은 두 번째 양자화 방법 및 연산자 기술을 사용하여 가장 잘 이해할 수 있습니다.^[7]

3차원 격자

이것은 3차원 격자로 일반화 될 수 있다.파형 번호 k는 3차원 파형 벡터 k로 대체됩니다.또한 각 k는 이제 세 개의 정상 좌표에 관련지어집니다.

새로운 지수 s = 1, 2, 3은 포논의 편광에 라벨을 붙인다.1차원 모형에서는 원자가 선을 따라 움직이는 것이 제한되었기 때문에 포논은 세로파에 대응했다.3차원에서는 진동이 전파 방향으로 제한되지 않고 횡파와 같은 수직면에서도 발생할 수 있습니다.이것은 해밀턴의 형태가 나타내듯이, 우리는 독립된 포논 종으로 볼 수 있는 추가적인 정규 좌표를 야기합니다.

분산 관계

스프링 상수 K의 스프링으로 연결된 2종류의 이온 또는 질량₁ m 원자₂ m의 1차원 교대 배열의 경우, 두 가지 진동 모드가 발생한다:^[9]

$\displaystyle _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1})+{\frac {1}{\right}\pm K{\sqrt {m_1}+{\frac {1}{{2}^{{2}}^{\right})$

여기서 k는 k $=$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$λ ${\displaystyle \frac{}{}}$ \ $display$ tfrac ${ 2$ \ $pi }{$ \ $beakda$$}}$의 파장과 관련된 진동의 파장 벡터입니다.

주파수와 파동 벡터 사이의 연결인 δ = δ(k)를 분산 관계라고 합니다.플러스 부호는 이른바 광학 모드가 되고 마이너스 부호는 음향 모드가 됩니다.광학 모드에서는 인접한 두 개의 서로 다른 원자가 서로 반대 방향으로 움직이는 반면 음향 모드에서는 서로 함께 움직입니다.

격자 내 음속이기도 한 음향 포논의 전파 속도는 음향 분산 관계인 θθ_k/θk(그룹 속도 참조)의 기울기로 구한다.k(장파장)의 낮은 값에서는 분산관계가 거의 선형이며 음속은 포논 주파수에 의존하지 않고 약 µa이다.그 결과, 서로 다른(그러나 긴) 파장을 가지는 포논의 패킷은, 분단하지 않고 격자를 개입시켜 장거리로 전파할 수 있습니다.이것이 소리가 큰 왜곡 없이 고체를 통해 전파되는 이유입니다.이 동작은 k의 큰 값, 즉 짧은 파장에서는 격자의 미세한 디테일로 인해 실패합니다.

그 원시 셀에 적어도 2개의 원자를 가지는 결정의 경우, 분산 관계는 2종류의 포논, 즉 다이어그램의 상청색 곡선과 하청색 곡선에 각각 대응하는 광학 모드와 음향 모드를 나타낸다.수직축은 포논의 에너지 또는 주파수이고 수평축은 파동 벡터입니다.-//a와 π/a의 경계는 첫 번째 브릴루앙 ^[9]구역의 경계입니다.원시 셀에 N≤ 2개의 서로 다른 원자를 가진 결정은 1개의 세로 음향 모드와 2개의 가로 음향 모드라는 3개의 음향 모드를 나타낸다.광학 모드의 수는 3N ~3 입니다아래 그림은 GaAs의 여러 포논 모드에 대한 분산 관계를 Brilouin ^[8]구역의 주요 방향에서 파동 벡터 k의 함수로 나타냅니다.

많은 포논 분산 곡선이 비탄성 중성자 산란으로 측정되었다.

유체 중 음의 물리학은 비록 둘 다 밀도파이지만, 고체 중 음의 물리학과는 다릅니다: 유체 중 음파는 세로 성분만 가지고 있는 반면, 고체 중 음파는 세로 성분과 가로 성분을 가지고 있습니다.이는 유체가 전단 응력을 지지할 수 없기 때문입니다(단, 고주파에만 적용되는 점탄성 유체 참조).

제2 양자화 기법을 이용한 포논 해석

위에서 파생된 해밀턴 함수는 고전적인 해밀턴 함수처럼 보일 수 있지만, 연산자로 해석된다면, 그것은 비상호작용 보손의 ^[2]양자장 이론을 기술한다.양자 조화 발진기에 사용되는 사다리 연산자 방법과 유사한 두 번째 양자화 기술은 미분 방정식을 직접 풀지 않고 에너지 고유값을 추출하는 수단이다.위의 양자 처리 섹션에서 정의된 Hamiltonian, ${\style$ {\$mathcal {H$ 및 공역 위치 $Q{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle Q_{$$k$$\}$ 및 공역 $모멘텀{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\delta }_{}}$k {\$displaystyle$ \$Pi _{$k$$}}를 통해 생성 ^[10]연산자와 소멸 연산자를 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle b_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m\sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{k_{}}{}}}$ k ${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{}}}$( ( ${\displaystyle Q_{}}$k + ${\displaystyle i\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{m}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\omega }_{}}{}}$ k π k${\displaystyle {\pi }_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$k$$) { $display$ b$_$ { k } =$scrt$ {$frac { m$ \ $omega _$ {$k }$ } } \$left$ ( $Q _$ k } + { $i$} { $m$\ } \ $frac$ { m \ } \ } \ $pi$ _ { k } } } b b b) b b b) ${\displaystyle {b_{}}^{}}$$$b b 、 { k$$} b } } b$$ b b b b $ac {m\obega _{k}}{2\hbar }}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\obega_{k}}}\Pi _{k}\right})$

다음과 같은 정류자는 표준 정류 관계를 대입하면 쉽게 구할 수 있습니다.

$\displaystyle \left [ b _ { k } } ^{ \ right } = \ expired _ { k , k } , \ expired { b _ { k } { \ b _ { k } = \ left [ { b _ { k } } 、 { b _ { k } } } 、 { \ right }$

이를 사용하여 연산자_k^† b와_k b를 반전시켜 공역 위치와 운동량을 다음과 같이 재정의할 수 있습니다.

${\displaystyle Q_{}}$ k ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{2\mathrm{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{2}{}}}$ m ${\displaystyle \sqrt{\frac{{\omega }_{}}{}}}$k ( ${\displaystyle {b_{}}^{}}$ k ${\displaystyle {}^{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{k}_{}}$) { $displaystyle Q$_ { k } =$sqrt$ { 2$m$ \$opega _${ $k }$ } } \ $left b$_ { { k$}$ } + $b$_ { - $k$} \ right } and$$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i - ${\displaystyle \sqrt{\frac{k_{}}{}}{}^{}q{{}_{}}^{}}$ ( ( ( ( ( ( ( k${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ω ω (ω (ω (${\displaystyle \sqrt{\frac{{}_{}}{}}}$ ( (${\displaystyle \sqrt{}}$( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ${\displaystyle \omega \sqrt{\frac{}{}}}$ ${\displaystyle {{\omega }_{}}^{}}$ ( ( ( ( ( ( ( ($_{-k}\right)}$

위에서 정의한 바와 같이 Q$$(\$displaystyle Q_{$k$$}) 및$δ$ k$(\$displaystyle$\Pi_{$k$$})의 $정의$를 파동 벡터 공간 Hamiltonian에 직접 대입하여 단순화하면 Hamiltonian은 다음과 같은 형식을 ^[2]취합니다.

$({displaystyle {mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \o메가 _{k}\leftsb_{k}^{\slap}b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right})$

이것은 두 번째 양자화 기술로 알려져 있으며, 직업 번호 공식으로도 알려져 있습니다. 여기서_k n = bb는_k^†_k 직업 번호입니다.이는 각각 고유한 파동 벡터를 가지며 양자 고조파 발진기에 사용되는 방법과 호환되는 N개의 독립 발진기 해밀턴의 합으로 볼 수 있습니다(n은_k ^[10]은둔자임).해밀턴이 통근하는 하위 해밀턴의 합으로 기록될 수 있을 때, 에너지 고유 상태는 각각의 개별 하위 해밀턴의 고유 상태의 곱에 의해 주어질 것이다.그런 다음 해당 에너지 스펙트럼은 하위 ^[10]해밀턴인의 개별 고유값 합계에 의해 주어진다.

양자 고조파 발진기와 마찬가지로 b와 b가_k 각각 ^[10][2]δδ의_k 에너지로 단일 필드 들뜸인 포논을 생성하고 파괴한다는 것을_k^† 알 수 있다.

포논의 세 가지 중요한 특성은 이 기술에서 추론할 수 있습니다.우선 포논은 생성 연산자_k^† b의 반복 적용에 의해 얼마든지 동일한 들뜸을 생성할 수 있기 때문에 보손이다.둘째, 각각의 포논은 격자 안의 모든 원자의 움직임에 의해 야기되는 "집합 모드"입니다.이는 여기에서 운동량 공간에서 정의된 생성 및 소멸 연산자가 위치 공간에 기록될 때 모든 원자의 위치와 운동량 연산자의 합계를 포함하고 있다는 사실에서 알 수 있습니다(위치 및 운동량 ^[10]공간 참조).마지막으로 위치-위치 상관함수를 이용하여 포논이 격자 ^{[citation needed]}변위의 파동으로 작용함을 알 수 있다.

이 기술은 쉽게 3차원으로 일반화할 수 있으며,^[10][2] 해밀턴의 형태는 다음과 같습니다.

$({displaystyle {mathcal {H}}=\sum _{s=1}^{3}\hbar,\obe _{k,s}\left b_{k,s}^{\b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\오른쪽).}$

이는 각 파동 벡터 및 ^[10]편파마다 하나씩 3N 독립 발진기 해밀턴의 합으로 해석될 수 있습니다.

음향 및 광학 포논

가장 작은 단위 셀에 둘 이상의 원자를 가진 고체는 음향 포논과 광학 포논의 두 가지 유형의 포논을 나타냅니다.

음향 포논은 격자 원자가 평형 위치에서 벗어나는 일관된 움직임이다.만약 변위가 전파의 방향이라면, 어떤 영역에서는 원자가 더 가깝고, 다른 영역에서는 더 멀리 떨어져 있을 것입니다. 예를 들어 공기 중의 음파(따라서 음향학이라는 이름)처럼요.전파방향에 수직인 변위는 스트링상의 파동에 상당한다.음향포논의 파장이 무한대로 되면 결정 전체의 단순한 변위에 해당하며 변형 에너지가 전혀 들지 않습니다.음향 포논은 긴 파장에 대해 주파수와 포논 파벡터 사이의 선형 관계를 나타냅니다.음향 포논의 주파수는 파장이 길수록 0이 되는 경향이 있다.종방향 및 횡방향 음향 포논은 각각 LA 및 TA 포논으로 약칭되는 경우가 많습니다.

광학 포논은 격자 안에 있는 원자의 동상이동, 하나의 원자가 왼쪽으로 이동하고 그 이웃 원자가 오른쪽으로 이동하는 것입니다.이것은 격자 기반이 두 개 이상의 원자로 구성되어 있는 경우에 발생합니다.염화나트륨과 같은 이온 결정에서 변위의 변동은 전자장과 ^[2]결합하는 전기 분극을 만들기 때문에 광학이라고 불립니다.따라서, 그들은 적외선 방사선에 의해 들뜨게 될 수 있고, 빛의 전장은 모든 양의 나트륨 이온을 필드의 방향으로 이동시키고, 모든 음의 염화 이온은 다른 방향으로 이동시켜 결정을 진동시킵니다.

광포논은 Brilouin 존의 중심에서 0이 아닌 주파수를 가지며 긴 파장 한계 부근에서 분산을 보이지 않습니다.이는 인접한 격자 부위에서 양이온과 음이온이 서로 흔들리면서 시간에 따라 변하는 전기 쌍극자 모멘트를 생성하는 진동 모드에 해당하기 때문이다.이러한 방식으로 빛과 상호작용하는 광학 포논은 적외선 활성이라고 불립니다.라만 활성 광학 포논은 라만 산란을 통해 빛과 간접적으로 상호작용할 수도 있습니다.광포논은 종방향 모드와 횡방향 모드에서 각각 LO 및 TO 포논으로 약칭되는 경우가 많습니다.LO 및 TO 주파수의 분할은 종종 Lydane-Sachs-Tell 관계에 의해 정확하게 설명됩니다.

광포논 에너지를 실험적으로 측정할 때, 광포논 주파수는 스펙트럼 파수 표기법으로 제공되기도 한다.여기서 기호 θ는 (각주파수가 아닌) 보통 주파수를 나타내며 cm 단위로⁻¹ 표현된다.이 값은 진공 상태에서 주파수를 빛의 속도로 나누어 구합니다.즉, cm 단위의 파수는⁻¹ 측정된 포논과 ^[11]주파수가 같은 진공 중의 광자의 파장의 역수에 해당한다.

결정 운동량

광자 및 물질파와 유사하게 포논은 운동량 ^[12]θk를 갖는 것처럼 파벡터 k로 취급되어 왔다. 그러나 이것은 엄밀하게는 정확하지 않다. 왜냐하면 θk는 실제로 물리 운동량이 아니기 때문이다. 결정 운동량 또는 의사 운동량이라고 불린다.이는 k가 상수 벡터(그들의 역격자 벡터 및 정수 배수)를 더하는 것까지만 결정되기 때문이다.예를 들어, 1차원 모델에서 법선 좌표 Q와 δ는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {def}{=}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {mathrm {def}}{=}}\Pi _{k+K}}$

어디에

${\displaystyle K=snfrac {2n\pi }{a}}}$

모든 정수 n에 대해.따라서 파수 k를 갖는 포논은 파수 k±2µ/a, k±4µ/a 등을 갖는 무한족 포논에 상당한다.물리적으로, 역격자 벡터는 격자가 포논에 부여할 수 있는 추가적인 운동량 청크로 작용한다.블로치 전자는 유사한 제한사항을 따릅니다.

보통 "패밀리" 중 가장 작은 규모 k를 갖는 포논 파동 벡터 k를 고려하는 것이 편리하다.이러한 모든 파동 벡터의 집합은 첫 번째 브릴루인 존을 정의합니다.추가 브릴루인 구역은 첫 번째 구역의 복사본으로 정의될 수 있으며, 일부 역격자 벡터에 의해 이동된다.

열역학

고체의 열역학적 특성은 고체의 포논 구조와 직접적으로 관련이 있습니다.포논 분산 관계에 의해 설명되는 모든 가능한 포논의 전체 세트는 결정의 열 용량을 결정하는 상태의 포논 밀도로 알려진 것과 결합됩니다.이 분포의 성질에 따라 열용량은 분포의 고주파 부분에 의해 좌우되며 열전도율은 주로 저주파 ^{[citation needed]}영역에 의해 좌우됩니다.

절대 영도의 온도에서 결정 격자는 지면 상태에 있으며 포논을 포함하지 않습니다.0이 아닌 온도의 격자는 일정하지 않은 에너지를 가지지만 일부 평균 값에서 랜덤하게 변동합니다.이러한 에너지 변동은 포논의 기체로 볼 수 있는 무작위 격자 진동에 의해 발생합니다.이들 포논은 격자의 온도에 의해 생성되기 때문에 열포논으로 ^[13]불리기도 한다.

열포논은 랜덤한 에너지 변동에 의해 생성 및 파괴될 수 있습니다.통계역학에서 이는 포논을 추가할 수 있는 화학적 잠재력이 ^[13]0이라는 것을 의미한다.이 동작은 고조파 전위를 비조화 상태로 확장한 것입니다.열포논의 동작은 광자가 공동 벽에 의해 방출되거나 흡수될 수 있는 전자기 공동에 의해 생성된 광자 가스와 유사합니다.전자기장이 일련의 고조파 발진기처럼 작용하여 흑체 복사를 발생시키는 것으로 밝혀졌기 때문에 이러한 유사성은 우연이러한 유사성은 우연이 아닙니다.두 기체는 모두 보즈-아인슈타인 통계를 준수한다. 열 평형과 고조파 상태에서는 주어진 각 주파수의 주어진 상태에서 포논 또는 광자를 찾을 ^[14]확률은 다음과 같다.

${\displaystyle n\left(\displaystyle _{k,s}\exp \leftfrac {\exp \dfrac\dfrac \hbar \o메가 _{k,s}}}{k_{\mathrm {B}}T}\right}}}$

여기서 θ는_k,s 상태에 있는 포논(또는 광자)의_B 주파수, k는 볼츠만 상수, T는 온도입니다.

포논 터널링

포논은 양자 터널링 동작(또는 포논 터널링)을 나타내는 것으로 알려져 있습니다.이 동작에서는 최대 나노미터 폭의 간격을 가로질러 열이 두 ^[15]물질 사이를 "터널링"하는 포논을 통해 흐를 수 있습니다.이러한 유형의 열 전달은 전도가 발생하기에는 너무 크지만 방사선이 발생하기에는 너무 작은 거리 사이에서 작동하므로 기존의 열 전달 ^[15]모델로는 설명할 수 없다.

연산자 형식주의

포논 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}=tfrac {1}{\alpha}\sum _{\alpha}\left(p_{\alpha}^{2}+\obmega _{\alpha}^2}-\hbar \obe _{\alpha }\right}$

생성 연산자와 소멸 연산자의 관점에서, 이것들은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }^{\alpha }}a_{\alpha }}$

여기서 해밀턴항을 연산자 형식주의로 표현할 때, 우리는 연속체 또는 무한 격자가 주어지면, 1/2µ_q 항이 무한 항을 산출하기 때문에 1/2µ_q 항을 고려하지 않았다.따라서 에너지의 차이가 절대값이 아니라 측정값이라고 주장하면서 1/2µθ의_q 계수를 0으로 설정함으로써 "재규격화"된다.따라서 해밀턴의 연산자 공식화 식에는 1/2δ_q 인자가 존재하지 않는다.

그라운드 상태는, 「진공 상태」라고도 불리며, 포논이 없는 상태입니다.따라서 접지 상태의 에너지는 0입니다.시스템이 nnn₁₂₃…" 상태일 때는 타입α의 포논이 n개 존재한다고_α 합니다.여기서_α n은 포논의 직업 번호입니다.α형 단일 포논의 에너지는 ω_q and로, 일반 포논계의 총 에너지는 nω₁₁ + nħ₂₂ + …로 나타낸다.예를 들어, n₁₂),),)라는 상호 용어가 없기 때문에, 포논은 비상호화라고 한다.생성 및 소멸 연산자의 작업은 다음과 같이 이루어집니다.

${\displaystyle {a_{\alpha }^{\big }n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}n_{\alpha }\ldots {n_{\alpha }+1}{\ldotsrt}{\bigrt}빅 }n_{1}\ldots, n_{\alpha-1},(n_{\alpha}+1), n_{\alpha +1}\ldots {Big \rangle }}$

그리고.

${\displaystyle a_{\alpha}n_{\alpha}n_{\alpha}n_{\alpha}n_{\alpha}=sqrt {n_{\alpha}}{\big }n_{\alpha}, {\alpha}, {\alpha}, {n}$

생성 연산자인 a는_α^† α형 포논을 생성하는 동안_α 에 의해 포논이 소멸됩니다.따라서 이들은 각각 포논의 생성 연산자 및 소멸 연산자이다.양자 조화 진동자의 경우와 유사하게, 우리는 입자 수 연산자를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{\alpha }^{\alpha }a_{\alpha }}$

number 연산자는 생성 연산자의 수가 소멸 연산자의 수와 동일한 경우에만 생성 연산자와 소멸 연산자의 곱 문자열로 변환됩니다.

포논은 교환 중 대칭이므로(즉, α,βγ = β,αγ), 따라서 보손으로 ^[16]간주된다.

비선형성

포논은 광자뿐만 아니라 파라메트릭 다운 변환을^[17] 통해 상호 작용하여 압축된 일관성 상태를 ^[18]형성할 수 있습니다.

예측 속성

최근 연구에 따르면 포논과 로톤은 표준 ^[19]입자와 마찬가지로 지워지지 않는 질량을 가질 수 있으며 중력의 영향을 받을 수 있다.특히, 포논은 일종의 음의 질량과 음의 ^[20]중력을 가질 것으로 예측된다.이것은 포논이 밀도가 높은 물질에서 어떻게 더 빨리 이동한다고 알려져 있는지에 의해 설명될 수 있다.중력원을 가리키는 물질의 부분이 물체에 더 가깝기 때문에, 그 끝은 더 밀도가 높아집니다.이를 통해 포논이 밀도의 차이를 감지해 음의 ^[21]중력장의 특성을 나타내면서 멀어질 것으로 예측된다.효과는 측정하기에는 너무 작을 수 있지만, 미래 장비가 성공적인 결과를 가져올 수 있습니다.

포논은 또한 물질의 초전도 및 초전도 ^[22]화합물의 예측에 중요한 역할을 할 것으로 예측되어 왔다.

2019년, 연구원들은 처음으로 ^[23]각각의 음소를 파괴하지 않고 분리할 수 있었다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

외부 링크

• 시세는 포논 위키 인용 집에서 이야기했다.
• Explained:Phonons, MIT뉴스, 2010.
• 및 음향 모드 광학
• 1차원 Microfluidic 크리스탈[1]과[2]에[3]에 영화와 Phonons.