스칼라 장 이론

이론 물리학에서, 스칼라 장 이론은 상대적으로 불변하는 스칼라 장의 고전 또는 양자 이론을 참조할 수 있습니다.스칼라 장은 로렌츠 ^[1]변환에서 불변합니다.

자연에서 관측된 유일한 기본 스칼라 양자장은 힉스장입니다.그러나, 스칼라 양자장은 많은 물리적 현상에 대한 효과적인 필드 이론 기술에서 특징지어진다.예를 들어 pion이 있습니다.이것은 실제로는 의사 스칼라입니다.^[2]

편광 합병증이 없기 때문에 스칼라 필드는 종종 두 번째 양자화를 가장 쉽게 이해할 수 있습니다.이러한 이유로, 스칼라 장 이론은 새로운 개념과 기술의 ^[3]도입의 목적으로 종종 사용된다.

다음 메트릭의 시그니처는 (+, -, -, -)입니다.

고전 스칼라 장 이론

이 섹션의 일반적인 참조는 Ramond, Pierre(2001-12-21)입니다.필드 이론: 모던 프라이머 (제2판).미국: Westview Press. ISBN0-201-30450-3, Ch 1.

선형(자유) 이론

가장 기본적인 스칼라 장 이론은 선형 이론이다.필드의 푸리에 분해를 통해 발진기 지수 i의 연속체 한계가 x로 나타나는 무한대의 결합 발진기의 정상 모드를 나타냅니다.자유상대론적 스칼라장 이론의 작용은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {S}&=int \mathrm {d}^{D-1}x\mathrm {d}\\\\int \mathrm {d}\left[{\frac {2}{d}\mu}\nu\[6pt]&=\int \mathrm {d}^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}-{\frac ^{ij}\phi}-{\frac {i}\frac }-{frac } - {i} {frac }$

$여기$서$$L {\$displaystyle {L}}$은⁴⁻¹ 라그랑지안 밀도, dx dx dx ⋅ dz dx¹ dx dx² dx ⋅ 3개의 공간 좌표, is^ij 크로네커 델타 함수, ∂_ρ = = x^ρ / x x where³ where^ρ where where where where where where where where where where where = where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where

필드 φ에서는 각 항이 2차이기 때문에 이것은 2차 작용의 예입니다.m에 비례하는² 항은 입자 질량의 관점에서 이 이론의 양자화 버전에서는 후속 해석으로 인해 질량 항으로 알려져 있다.

이 이론의 운동 방정식은 위의 작용을 극단화함으로써 얻어진다.,의 선형 형태는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\phi _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\phi _{t}^{2}\phi +m^{2}\phi = 0~}$

여기서 "²는 Laplace 연산자입니다.이것은 양자역학적 파동 방정식이 아닌 고전적인 필드 방정식으로 해석하는 클라인-고든 방정식이다.

비선형(상호작용) 이론

위의 선형 이론의 가장 일반적인 일반화는 스칼라 퍼텐셜 V(δ)를 라그랑지안에 더하는 것이다. 여기서 일반적으로 질량 항에 더해 V는 δ의 다항식이다.오일러-라그랑주 방정식이 이제 자기 상호작용을 암시하는 비선형이기 때문에 그러한 이론은 때때로 상호작용이라고 한다.그러한 이론의 가장 일반적인 작용은

$({displaystyle {\mathcal {S}}&=int \mathrm {d}^{D-1}x,\mathrm {d} t)\[3pt]&=int \mathrm {d} t\left[{D-1}x\mathrm {d} \{\2} ^{\frac {d} } ^{\} } ^{D-1}\[3pt]&=\int \mathrm {d}^{D-1}x,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}-{\frac ^{ij}\phi}-{\frac {i}\frac {1} - frac {f}}}g_{n}\phi^{n}\right]\end{aligned}}$

팽창의 n! 인자는 아래와 같이 양자 이론의 파인만 다이어그램 확장에 유용하기 때문에 도입된다.

해당하는 오일러-라그랑주 운동 방정식은 현재

$\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\display _{\nu }\phi +V'(\phi )=\display _{t}^{2}\phi +V'(\phi)=0.}$

치수 분석 및 스케일링

이러한 스칼라 장 이론의 물리량은 길이, 시간 또는 질량의 치수 또는 세 가지 조합이 있을 수 있다.

그러나 상대성 이론에서는 시간 차원과 함께 어떤 양 t도 빛의 속도 c를 이용하여 길이 l=ct로 쉽게 변환할 수 있다. 마찬가지로, 길이 l은 플랑크의 상수 θ를 사용하여 역질량 θ=lmc와 같다.자연 단위에서는 시간을 길이로 생각하거나 시간 또는 길이를 역질량으로 생각한다.

즉, 물리적 수량의 치수는 이 세 가지 모두라기보다는 하나의 독립된 차원에서 정의되는 것으로 생각할 수 있다.이것은 종종 양의 질량 차원이라고 불립니다.각 수량의 치수를 알면 치수 일관성에 필요한 θ와 c의 거듭제곱을 재삽입하는 것만으로 이 질량 치수의 관점에서 자연 단위식에서 기존의 치수를 고유하게 복원할 수 있다.

생각할 수 있는 반대 중 하나는 이 이론이 고전적이고, 따라서 플랑크의 상수가 어떻게 그 이론의 일부가 되어야 하는지가 전혀 분명하지 않다는 것이다.원하는 경우 질량 차원 없이 이론을 재구성할 수 있습니다.그러나 이는 양자 스칼라 필드와의 연결을 약간 흐리게 하는 데 비용이 듭니다.질량의 차원을 갖는다면, 플랑크의 상수는 여기에서 본질적으로 임의의 고정된 기준 작용량(양자화와 반드시 관련이 있는 것은 아니다)으로 생각되며, 따라서 질량과 역방향 길이 사이에서 변환하기에 적절한 차원을 가지고 있다.

스케일링 치수

describes의 고전적인 스케일링 치수 또는 질량 치수 δ는 좌표의 스케일링 재설정에 따른 필드의 변환을 나타냅니다.

$(\displaystyle x\right 화살표\displayda x)$

$\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.}$

작용단위는 ħ의 단위와 같으므로 작용 자체의 질량은 0이 됩니다.그러면 필드 †의 스케일링 치수가 수정됩니다.

$(\displaystyle \Delta = displayfrac {D-2}{2}).}$

척도 불변성

일부 스칼라 장 이론이 규모 불변이라는 특별한 의미가 있습니다.위의 작용은 모두 질량 치수가 0이 되도록 구성되지만, 스케일링 변환에서 모든 작용이 불변하는 것은 아니다.

$(\displaystyle x\right 화살표\displayda x)$

$\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.}$

모든 액션이 불변하는 것은 아니기 때문에 일반적으로 파라미터 m과_n g는 위의 변환에서는 스케일링되지 않는 고정량이라고 생각하기 때문입니다.스칼라 장 이론이 스케일 불변이라는 조건은 매우 명백합니다. 즉, 작용에 나타나는 모든 매개변수는 무차원 양이어야 합니다.즉, 척도 불변성 이론은 이론에서 고정된 길이 척도(또는 동등한 질량 척도)가 없는 이론입니다.

D블랙 홀 치수와 스칼라장 이론의 경우 무한한 매개 변수 gn가 nx.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}2D⁄(D− 2). 예를 들어, D에=4만 g4이 고전적으로 크깁니다. 게다가, D의 단지 전형적으로scale-invariant 스칼라장 이론=4는 질량 φ4 이론이다.

그러나 기존의 척도 불변성은 일반적으로 양자 척도 불변성을 의미하는 것은 아니다. 이는 재규격화 그룹이 관련되어 있기 때문이다. 아래 베타 함수에 대한 논의를 참조하십시오.

등각 불변성

변혁

$\ displaystyle x \ rightarrow \ tilde { x } （ x }$

변환이 다음을 만족하는 경우 적합하다고 합니다.

${\displaystyle {\frac {x^}}{\frac {x^{\nu}}}{\frac {\frac} {\frac x^{\frac}} {\frac x^{\nu }} =\fracda ^{2}(x)\rho } } }$

(x)의 일부 함수에 대해서.

컨포멀 그룹은 하위 그룹으로 메트릭 ${\displaystyle {\mu }_{}}$ {\$displaystyle \eta$ _${\mu \nu$}}($$Poincaré 그룹) 및 위에서 검토한 스케일 변환(또는 확장)을 포함한다.사실, 이전 섹션의 스케일 불변 이론도 준거 불변 이론이다.

§ 이론⁴

질량이론은⁴ 스칼라 장 이론에서 많은 흥미로운 현상을 보여준다.

라그랑주 밀도는

${\displaystyle {\mathcal {L}}=parcfrac {1}{2}-{ij}-{\frac {1}{2}\phi ^{ij}-{j}\phi - {\frac {1}{2}_{\phi } {g} {g}}}\phi^{4}.}$

자발적 대칭 깨짐

이 라그랑지안은 변환 → -disclos에서 δ 대칭을 가진다.이것은 시공대칭과 대조적으로 내부대칭의 예입니다.

m이 양수이면 잠재력은²

${\displaystyle V(\phi)=m^{2}\phi^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi^{4}$

원점에 최소값이 하나 있습니다.δ=0은 δ 대칭 하에서는 분명히 불변이다.

반대로, 만약 m이 음수라면², 사람들은 쉽게 잠재성이

$\displaystyle \,V(\phi)=m^{2}\phi^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi^{4}\!}$

2개의 최소값이 있습니다.이것은 이중 우물 전위라고 알려져 있으며, 그러한 이론에서 가장 낮은 에너지 상태(양자장 이론 언어에서는 진공으로 알려져 있음)는 작용의 δ 대칭 하에서는 불변하지 않습니다(실제로 두 개의 진공 각각을 서로 매핑합니다).이 경우, δδ 대칭은 자발적으로 깨진다고 한다.

Kink 솔루션

음의² m을 갖는 θ⁴ 이론도 솔리톤의 표준적인 예인 킨크 용액을 가지고 있다.이러한 해결 방법은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \phi({\vec {x},t)=\pm {frac {m} {2csrt {frac {g} {4!}}}}\tanh \left[{\frac {m(x-x_{0}}}{\fracrt {2}}\right]}$

여기서 x는 공간 변수 중 하나입니다(t 및 나머지 공간 변수와는 무관한 것으로 간주됩니다).이 솔루션은 이중 우물 전위의 서로 다른 두 진공 사이에 보간합니다.무한 에너지 용액을 통과하지 않고는 킹크를 일정 용액으로 변형할 수 없기 때문에 킹크는 안정적이라고 한다.D>2(즉, 둘 이상의 공간적 차원을 가진 이론)의 경우, 이 솔루션을 도메인 벽이라고 한다.

꼬임 해법을 사용한 스칼라 장 이론의 또 다른 잘 알려진 예는 사인-고든 이론입니다.

복소 스칼라 장 이론

복소수 스칼라 필드 이론에서 스칼라 필드는 실수가 아닌 복소수 값을 취합니다.복잡한 스칼라 장은 스핀 0 입자와 전하가 있는 반입자를 나타냅니다.일반적으로 고려되는 액션은 다음 형식을 취합니다.

${\displaystyle {\mathcal {S}=\int \mathrm {d}x,\mathrm {L}=\int \mathrm {d}^{D-1}x,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu }\phi} _displaystyrm {D-1}$

이는 U(1)와 동등하게 O(2) 대칭을 가지며, 필드 공간에서의 작용은 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\ { $displaystyle \phi \rightarrow$ e$^{i\$alpha }\$phi$ $\}$를 어떤 실제 위상각α에 대해 회전한다.

실제 스칼라장은 m이 음수이면² 자연대칭파괴를 구한다.이는 실제 스칼라 필드의 더블웰 전위를 V$))\displaystyle(\phi)$ 축에 대해 2µ 라디안 회전시키는 Goldstone의 멕시코 모자 전위를 발생시킵니다.대칭 깨짐은 한 차원 높은 곳에서 발생합니다. 즉, 진공 선택을 통해 이산 대칭 대신 연속 U(1) 대칭이 깨집니다.스칼라 필드의 두 가지 구성요소는 매시브 모드와 매스리스 골드스톤 보손으로 재구성됩니다.

O(N) 이론

U(1) = O(2) 내부 대칭의 벡터 표현으로 변환되는 두 개의 실장 δ¹ = Re δ 및 δ² = Im δ로 복소 스칼라장 이론을 표현할 수 있다.이러한 장은 내부 대칭 하에서는 벡터로 변환되지만, 여전히 로렌츠 스칼라입니다.

이것은 O(N) 대칭의 벡터 표현으로 변환되는 N 스칼라 장의 이론으로 일반화 될 수 있다.O(N) 불변 스칼라 장 이론의 라그랑지안은 전형적으로 다음과 같다.

${\displaystyle {L} = flac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\phi \cdot \cdot _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi )$

적절한 O(N) 불변 내부 생성물을 사용한다.이 이론은 복소 벡터장, 즉 $\delta {\displaystyle {}^{}}$n \$displaystyle \phi \in \mathbb {C}$^{$n$에 대해서도 표현할 수 있으며, 이 경우 대칭군은 Lie 군 SU(N)이다.

게이지장 커플링

스칼라 장 이론이 양-밀스 작용과 게이지 불변 방식으로 결합되면 긴츠부르크-란다우 초전도체 이론을 얻을 수 있다.그 이론의 위상 솔리톤은 초전도체의 소용돌이에 대응한다; 멕시코 모자 전위의 최소값은 초전도체의 순서 매개변수에 대응한다.

양자 스칼라 장 이론

이 섹션의 일반적인 참조는 Ramond, Pierre(2001-12-21)입니다.필드 이론: 모던 프라이머 (제2판).미국: Westview Press.ISBN 0-201-30450-3, 4장

양자장 이론에서, 장과 그것들로 구성된 모든 관측가능성은 힐베르트 공간상의 양자 연산자에 의해 대체된다.이 힐베르트 공간은 진공 상태에 구축되어 있으며, 동역학은 진공 상태를 소멸시키는 양의 유한 연산자인 양자 해밀턴에 의해 지배됩니다.양자 스칼라장 이론의 구성은 필드 간의 표준 정류 관계에 의존하는 표준 양자화 기사에 상세하게 설명되어 있다.기본적으로 스칼라 필드에서 재패키지된 (분할된) 정규모드로 재패키지된 고전적인 발진기의 무한은 이제 표준적인 방법으로 양자화되므로, 각각의 양자 연산자 필드는 각각의 Fock 공간에 작용하는 무한대의 양자 고조파 발진기를 기술한다.

즉, 기본변수는 양자장 θ와 그 표준운동량 θ이다.이러한 연산자 값 필드는 모두 에르미트 필드입니다.공간 점 x→, y→ 그리고 동일한 시간에, 그들의 표준 정류 관계는 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle {displaystyle \left[\phi \left vec {x}\right] = \left [ \ pi \ left \ vec { y } \ right } 、 \ pi \ left \ vec { y } \ right } 、 \ pi \ right ] = 0 , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ phiphiphi \ vec { right }$

반면 자유 해밀턴식은 위와 유사하게,

${\displaystyle H=\int d^{3}x\left[{1 \over2}\pi ^{2}+{m^{2}\over2}\phi^{2}\left]}$

공간 푸리에 변환은 운동량 공간장으로 이어집니다.

${\displaystyle {\widetilde {\vec {k}}&=\int d^{3}xe^{-ivec {x}}\phi({\vec {x}}),\{\widetilde {pi }}{\vec {k}})&int = d^3.$

전멸 및 창조 운영자에게 해결합니다.

${\displaystyle {\vec {k}}&=\left(E{\vec {k}})+i-vec widetilde {pi }({\vec {k}})\right,\a^{\vec {k})=\left(\vec {k})$

$여기$서 E ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sqrt{{k\mathrm{}}^{}}}$2 + ${\displaystyle \sqrt{{m\mathrm{}}^{}}}$2 ({$displaystyle$ E$=sqrt {k^{2}+m^{2$})$}}}}}.$

이러한 연산자는 정류 관계를 충족합니다.

${\displaystyle {displaystyle {displaystyle {k}_{1}\left[a^{\vec {k}_{2}\left]=\left[a^{\vec {k}}_{1}), a^{\vec {k}_{2}}\right]=0,\vec {\left}.\end { aligned}}$

모든 연산자 a에 의해 소멸된$$ ${\displaystyle 상태\mathrm{}}$ 0$$ {\$displaystyle$ 0$\rangle }$은 베어 진공으로 식별되며, ${\displaystyle 진공}$에 ${\displaystyle {}^{}}$ ( k$→$ ) {\$displaystyle$a^{\$display$}${\vec {$k}}}}}를$$ $적용$하여 운동량 k→의 입자가 생성된다.

생성 연산자의 가능한 모든 조합을 진공에 적용하면 관련 힐버트 공간이 구성됩니다.이 구조를 폭 공간이라고 합니다.진공은 해밀턴에 의해 파괴된다.

${\displaystyle H=\int {d^{3}k\over (2\pi)^{3}}{\frac {1}{2}a^{\flac }({\vec {k})a440\vec {k}}}},$

윅의 명령에 의해 제로 포인트 에너지가 제거되었습니다.(표준 양자화 참조).

상호작용은 상호작용 Hamiltonian을 추가하여 포함할 수 있습니다.δ⁴ 이론의 경우, 이는 윅 순서항 g:θ⁴:/4!을 해밀턴에 더하고 x에 적분하는 것에 해당한다. 산란 진폭은 상호작용 화상의 이 해밀턴으로부터 계산할 수 있다.이것들은 섭동 이론에서 시간순서 곱을 주는 다이슨 시리즈 또는 n-입자 그린의 함수${\displaystyle 0}$ 0${\displaystyle T\mathcal{}}$ { ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1)${\displaystyle \cdots }$ ( ${\displaystyle x_{}}$n )${\displaystyle }$⟩ ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ $⟩$ \ \ $display$style \ $langle$0 { $T$} \ { \ \ \ $phi$( $x$_ { $1$\ $cdots$} \$ph$ { x $n$} ( x )에 의해 구성됩니다.그린의 함수는 슈윙거-다이슨 방정식의 해로 구성된 생성 함수에서도 얻을 수 있다.

파인만 경로 적분

파인만 다이어그램 확장은 파인만 경로 적분 ^[4]공식에서도 얻을 수 있다.n-입자 그린의 함수로 알려진 θ의 다항식의 시간순서 진공 기대치는 외부 필드가 없는 진공 기대치에 의해 정규화된 모든 가능한 필드에 적분하여 구성됩니다.

$\displaystyle 0 \mathcal {T} \{\phi (x_{1} \cdots \phi (x_{n})\} 0 \rangle = scdots \phi (x_{1}\cdots \phi (x_{n}) 2 \ overfrac}\phi^{4}\오른쪽)}{\int {Mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over2}\partial ^{\mu}\phi \partial _{\mu}\phi - {m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g\over 4})\partial!}\phi ^{4}\right}}}.}$

이러한 그린의 모든 함수는 생성 함수에서 J(x)φ(x)의 지수를 확장함으로써 얻을 수 있다.

${\displaystyle Z[J]=\int {mathcal {D}\phi e^{i\int d^{4}x\left 1 1 \over2}\phi ^{\mu}\phi - {m^2}-{g 4}\phi 。}\phi^{4}+J\phi\right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {i^{n}}{n!}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0(\mathcal {T}}\{\phi(x_{1})\cdots \phi(x_{n}\} 0\rangle .}$

윅 회전을 적용하여 시간을 가상으로 만들 수 있습니다.시그니처를 (+++)로 변경하면 파인만 적분이 유클리드 공간의 통계역학 분할 함수로 바뀝니다.

$\displaystyle Z[J]=\int {mathcal {D}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over2}(\displayla \phi)^{2}+{m^{2}\over 2}\phi ^{2}+{g\over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.}$

일반적으로, 이것은 고정된 모멘타를 가진 입자의 산란에 적용되며, 이 경우 푸리에 변환이 유용하다.

${\displaystyle {tilde {Z}}[{\tilde {D}}=\int {\mathcal {D}}{\int {d^4}p \over (2\pi)^4}\left 1 \over 2(p^2}+m^{2}){\tilde {the {2-}}{t}{t}}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi)^{4}{d^{4}{d^{4}{4}{p_{3}\over (2\pi)^{4}{4}\blad (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}}{p_{p_{3}} {phi}} {p} {p}} {p} {p} {p} {p} {p} {p} {p_{p}} {p} {p}} {p} {p}} over}$

$여기$서 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$) \ $displaystyle$\ $delta ($x )는 Dirac 델타 함수입니다.

이 함수적분을 평가하기 위한 표준적 요령은 기하급수적 요인의 곱으로 도식적으로 적는 것입니다.

${\displaystyle {Z}[{\tilde {J}}=int {\mathcal {D}}{\tilde {p}}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}}{\tilde {g/4}!\int {d^{4}p_{1}\over (2\pi)^{4}{d^{4}{d^{4}{d^{4}{{3}\over (2\pi)^{4}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){p}{p}{p}{p}{p}{p}{p}{p}{p}}{p}}}{p}{p}}}}{p}}{p}}{p}}}{p}}}}}}{p}}}}$

두 번째 두 지수 인자는 멱급수로 확장될 수 있으며, 이 확장의 조합은 쿼티크 상호작용의 파인만 다이어그램을 통해 그래픽으로 표현될 수 있다.

g = 0인 적분은 무한히 많은 기본 가우스 적분의 곱으로 처리될 수 있다. 결과는 다음과 같은 파인만 규칙을 사용하여 계산된 파인만 다이어그램의 합으로 표현될 수 있다.

• n점 유클리드 그린 함수의 각 필드 ~θ(p)는 그래프에서 외선(하프 에지)으로 나타내며 운동량 p와 관련된다.
• 각 정점은 요인 -g로 표시됩니다.
• 주어진 차수^k g에서 n개의 외선과 k개의 정점을 가진 모든 도표는 각 정점에 흐르는 모멘타가 0이 되도록 구성된다.각 내부 라인은 전파기 1/(q² + m²)로 표시됩니다.여기서 q는 그 라인을 흐르는 운동량입니다.
• 제약되지 않는 모멘타는 모든 값에 통합됩니다.
• 결과는 대칭 계수로 나뉩니다. 대칭 계수는 그래프의 선과 정점을 연결성을 변경하지 않고 재배열할 수 있는 방법입니다.
• 외부 선이 없는 연결된 하위 그래프인 "진공 버블"을 포함하는 그래프는 포함하지 마십시오.

마지막 규칙은 ~Z[0]로 나누는 효과를 고려합니다.민코프스키-공간 파인만 규칙은 각 정점이 -ig로 표시되는 반면, 각 내부 선은 전파자 i/(q-m²²+iε)로 표현된다는 점을 제외하면 유사하다. 여기서 δ 항은 민코프스키-공간 가우스 적분을 수렴하는 데 필요한 작은 윅 회전을 나타낸다.

재규격화

파인만 그래프에서 "루프 적분"이라고 불리는 구속되지 않은 모멘타에 대한 적분은 일반적으로 분산됩니다.이것은 보통 원래의 라그랑지안과 반대항으로 구성된 다이어그램이 ^[5]유한한 방식으로 라그랑지안에 다른 반대항목을 추가하는 절차인 정규화에 의해 처리된다.이 과정에서 재규격화 척도를 도입해야 하며 결합 상수와 질량은 이에 의존하게 된다.

척도 δ에 대한 결합 상수 g의 의존성은 다음과 같이 정의된 베타 함수 β(g)에 의해 부호화된다.

${\displaystyle \displaystyle (g)=\displayda,{\frac\displayda }~.}$

에너지 척도에 대한 의존성은 "커플링 파라미터의 실행"으로 알려져 있으며, 양자장 이론에서 이러한 체계적인 척도 의존성의 이론은 재규격화 그룹에 의해 설명된다.

베타 함수는 일반적으로 연결 상수가 작다고 가정하는 근사 체계, 가장 일반적으로 섭동 이론에서 계산된다.그런 다음 커플링 파라미터의 거듭제곱을 확장하고 고차항(해당 파인만 그래프의 루프 수에 따라 고루프 기여라고도 함)을 잘라낼 수 있습니다.

β⁴ 이론에 대한 하나의 루프에서의 β-함수(첫 번째 섭동 기여)는 다음과 같다.

${\displaystyle \flac (g)=pi {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~}$

가장 낮은 차수 항 앞에 있는 부호가 양수라는 사실은 결합 상수가 에너지와 함께 증가함을 나타냅니다.만약 이 거동이 큰 커플링에서 지속된다면, 이는 양자적 단순성에서 발생하는 유한 에너지에서 란다우 극의 존재를 나타낼 것이다.단, 이 질문은 강력한 결합을 수반하기 때문에 비강제적으로만 답변할 수 있습니다.

양자장론은 베타함수를 통해 계산된 재규격화 커플링이 자외선 차단이 제거되면 0이 되면 사소한 것으로 알려져 있다.그 결과 전파자는 자유입자의 전파자가 되어 자기장은 더 이상 상호작용하지 않게 된다.

δ⁴ 상호작용에 대해, Michael Aizenman은 시공간 차원 D 5 ^[6]5에 대해 이론이 정말로 하찮다는 것을 증명했다.

D = 4의 경우, 사소성은 아직 엄격하게 입증되지 않았지만 격자 연산이 이에 대한 강력한 증거를 제공했다.힉스 입자의 질량과 같은 매개변수를 제한하거나 예측하기 위해 양자적 사소함을 사용할 수 있기 때문에 이 사실은 중요하다.이는 또한 점근 안전 ^[7]시나리오에서 예측 가능한 힉스 질량을 초래할 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 재규격화
• 양자소용성
• 란다우 극
• 스케일 불변성#CFT 설명
• 스칼라 전기역학

메모들

레퍼런스

• Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 978-0201503975.
• Weinberg, S. (1995). The Quantum Theory of Fields. Vol. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.
• Weinberg, S. (1998). The Quantum Theory of Fields. Vol. II. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55002-5.
• Srednicki, M. (2007). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521864497.
• Zinn-Justin, J (2002). Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford University Press. ISBN 978-0198509233.

외부 링크

• 양자장 이론의 개념적 기초 상대론적 양자 역학과 양자장 이론의 스칼라에 대한 광범위하고 간단한 소개를 찾으려면 3장 링크를 클릭하십시오.