보세 가스

이상적인 보세 가스는 물질의 양자-기계적 단계로서, 고전적인 이상 기체와 유사하다. 스핀의 정수값을 갖는 보손(boson )으로 구성되며 보스-아인슈타인 통계에 따른다. 보손의 통계적 역학은 사티엔드라 나트 보즈에 의해 광자 가스로 개발되었고, 보손의 이상적인 가스가 기존의 이상적 기체와 달리 충분히 낮은 온도에서 응축수를 형성할 것이라는 것을 깨달은 알버트 아인슈타인에 의해 거대한 입자로 확장되었다. 이 응축수는 보스-아인슈타인 응축수로 알려져 있다.

소개 및 예시

보손은 보세-아인슈타인 통계를 따르는 양자역학적 입자로, 또는 동등하게 정수 스핀을 가지고 있다. 이러한 입자들은 초기로 분류될 수 있다: 이것들은 힉스 보손, 광자, 글루온, W/Z 그리고 가상의 그라비톤이다. 또는 수소의 원자, O의 원자, 중수소의 핵, 중수소의 핵 등과 같은 합성물이다. 또한 좀 더 복잡한 시스템의 일부 퀘이파티클은 플라스몬(전하 밀도 파동의 퀀타)과 같은 보손으로도 간주될 수 있다.

여러 개의 보손으로 가스를 처리한 첫 번째 모델은 보스가 개발한 광자의 가스인 광자 가스였다. 이 모델은 플랑크의 법칙과 흑체 방사선을 더 잘 이해하게 한다. 광자 가스는 질량이 없는 무중접 보손의 어떤 종류의 앙상블로도 쉽게 확장될 수 있다. 데비(Debye) 모델로도 알려진 포논 가스는 금속의 결정 격자의 정상적인 진동 모드를 효과적으로 질량 없는 보손으로 취급할 수 있는 예다. 피터 데비는 저온에서 금속의 열 용량의 작용을 설명하기 위해 포논 가스 모델을 사용했다.

보세 가스의 흥미로운 예는 헬륨-4 원자의 앙상블이다. He 원자 시스템이 절대 영도에 가까운 온도로 냉각될 때, 많은 양자 역학적 영향이 존재한다. 2.17 켈빈스 이하에서는 앙상블이 점성이 거의 0에 가까운 유체인 초유체로서 작용하기 시작한다. 보세 가스는 이 위상 전환을 설명하는 가장 단순한 정량적 모델이다. 주로 보손의 기체가 식으면 보세-아인슈타인 응축수를 형성하는데, 보손의 다수가 가장 낮은 에너지, 지면 상태, 양자효과가 파도 간섭처럼 거시적으로 보이는 상태를 말한다.

보세아인슈타인 가스와 보세 가스의 이론은 또한 전하 운반선이 짝을 이루어 (쿠퍼 쌍) 쌍으로 결합하여 보손처럼 행동하는 초전도성의 몇 가지 특징을 설명할 수 있다. 그 결과 초전도체는 저온에서 전기저항이 없는 것처럼 행동한다.

페르미-디락 통계를 따르는 반정수의 입자(전자나 헬륨-3 원자 등)에 대한 등가 모델을 페르미 가스(비 상호 작용 페르미온의 앙상블)라고 부른다. 충분한 입자수 밀도와 높은 온도에서 페르미 가스와 보세 가스는 모두 고전적인 이상적인 기체처럼 작용한다.^[1]

거시적 한계

이상적인 보세 가스의 열역학은 웅장한 표준 앙상블을 사용하여 가장 잘 계산된다. 보세 가스의 잠재력은 다음과 같다.

\Oomega =-\ln({\mathcal {Z})=\sum _{i}\ln \ln \left(1-z^{-\beta \epsilon _{i}\오른쪽).

여기서 합계의 각 용어는 특정 단극 에너지 수준 ε에_i 해당하며, g는_i 에너지 ε을_i 가진 상태의 수, z는 절대 활성(또는 "명확성")이며, 이는 또한 다음을 정의함으로써 화학적 전위 μ의 관점에서 표현될 수 있다.

z(\displaystyle z,\mu )=e^{\mu \mu }}

및 β는 다음과 같이 정의된다.

\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}

여기서 k는_B 볼츠만의 상수, T는 온도다. 모든 열역학적 양은 거대한 잠재력에서 도출될 수 있으며, 우리는 모든 열역학적 수량을 오직 세 변수 z, β (또는 T ) 및 V의 함수로 간주할 것이다. 나머지 두 변수는 일정하게 유지되는 동안 모든 부분적 파생상품은 이 세 변수들 중 하나에 대해 취해진다.

z의 허용 범위는 음의 무한대에서 +1까지이며, 이를 초과하는 값은 무한한 수의 입자를 에너지 레벨 0의 상태로 주기 때문이다(에너지 레벨이 상쇄되어 가장 낮은 에너지 레벨이 0인 것으로 가정한다).

거시적 한계, 미해결 분수에 대한 결과

고전 및 양자 이상 기체(페르미 가스, 보세 가스)의 압력 대 온도 곡선 3차원. 보세 가스 압력은 등가 고전 가스보다 낮으며, 특히 입자가 제로 압력 응축 국면으로 집단적으로 이동하기 시작하는 임계 온도(★)보다 낮다.

박스 기사에서 기체에 기술된 절차에 따라 토마스를 적용할 수 있다.평균 에너지가 수준 간의 에너지 차이에 비해 크기 때문에 위의 합이 적분으로 대체될 수 있다고 가정하는 페르미 근사치. 이 교체는 $\Omega$ ${\$ 에 가까운 거시적으로 큰 잠재적 함수 Ωm ${\displaystyle \Oomega}:$

\dg\displaystyle \Oomega _{\rm}=\int_{0}^{\inflt }\ln \left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg\them \cHBOomega.}

퇴행성 dg는 일반적인 공식으로 여러 가지 상황에 대해 표현할 수 있다.

dg={\frac {1}{\Gamma(\alpha )}}\,{\frac {E^{\\lpha -1}{\rm}{c}^{\lapa }}}~dE

여기서 α는 상수, E는_c 임계 에너지, γ은 감마함수다. 예를 들어 상자 안의 거대한 보세 가스의 경우 α=3/2와 임계 에너지는 다음과 같이 주어진다.

{\frac{1}{(\beta E_{\rm{c}})^{\alpha }}={\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}}}}}}}}}:{\frac {vf}{{3}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 λ은 열파장이고,^{[clarification needed]} f는 퇴행인자(단순 스핀리스 보손의 경우 f=1)이다. 고조파 함정에 있는 거대한 보세 가스의 경우 α=3을 가질 것이며 임계 에너지는 다음과 같이 주어진다.

{\frac {1}{{1}{(\beta E_{c})^{\alpha }}={\frac {f}{{\hbar \omega \beta )^{3}}}}}}}}}}

여기서 V(r)=mΩr²²/2는 고조파 전위다. E는_c 볼륨만의 함수라고 보여진다.

이 대잠재력에 대한 통합적 표현은 다음을 평가한다.

\Oomega _{\rm{m}=-{\frac {{\textrm {{Li}_{\alpha +1}(z)}{\좌측(\beta E_{c}\우측)^{\alpha }}},

여기서 Li_s(x)는 다로그함수다.

보세 가스에 대한 이 연속체 근사치의 문제는 땅 상태가 효과적으로 무시되어 에너지 0에 대해 0의 퇴보성을 제공했다는 것이다. 이러한 부정확성은 보세-아인슈타인 응축물을 다룰 때 심각해지고 다음 절에서 다룰 것이다. 보다시피, 낮은 온도에서도 위의 결과는 가스의 응축되지 않은 부분의 열역학만을 정확하게 설명하는 데 여전히 유용하다.

분해되지 않은 위상, 임계 온도에서의 입자 수 제한

총 입자 수는 다음과 같이 큰 전위로부터 발견된다.

N_{\rm}=-z{\frac{\partial z}}={m}{\m}{\partial z}={\frac {{}}}}{\frac {{\textrm{Li}}}}{\alpha}}}}}}}}.

이는 z(최대 z = +1)와 함께 단조롭게 증가한다. 그러나 z = 1에 접근할 때의 동작은 α의 값에 따라 결정적으로 달라진다(1D, 2D, 3D, 평탄한 전위 유정에 있는지 또는 조화로운 전위 유정에 있는지 여부에 따라 달라진다).

α > 1의 경우 입자 수는 유한한 최대값까지만 증가하며, 즉, $N_{\rm {m}}$ $N_{\rm {m}}$ ${\$ 은(는) z = 1:로 유한하다 $N_{\rm {m}}$ .

N_{\rm,max}={\frac {\zeta(\alpha )}{{\rm{c}^{\alpha }}}},

여기서 α(α)는 리만 제타 함수_α(Li(1) = α)를 사용한다. 따라서 $N_{\rm {m}}$ $N_{\rm {m}}$ m ${\$ 의 고정 개수에 대해 $N_{\rm {m}}$ β가 가질 수 있는 가장 큰 값은 임계 값 β이다_c. 이는 Thomas- 이하는 임계 온도 T_c=1/kβ에_B_c 해당한다.페르미 근사치가 분해된다(상태의 연속은 더 낮은 온도에서 더 이상 이 많은 입자를 지원할 수 없다). 위 방정식은 임계 온도에 대해 해결할 수 있다.

T_{\rm{c}}=\왼쪽({\frac {N}{\\zeta(\alpha )}}^{1/\alpha }{\frac {E_{\rm{c}}{k_{\rm{B}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

예를 들어 상자 안의 3차원 보스 기체( $\alpha =3/2$ = $\alpha =3/2$ / $\alpha =3/2$ ${\displaystyle \alpha =3/2})$ 에 대해 ${\textstyle E_{\rm {c}}}$ 위에서 ${\textstyle E_{\rm {c}}}$ 한 $\alpha =3/2$ ${\textstyle E_{\rm {c}}}$ c ${\textstyle E_{\rm {c}}}$ {\ $textstyle E_{\rm {c}$ 의 값을 사용하여 다음을 얻는다.

T_{\rm{c}}=\왼쪽({\frac {N}{Vf\zeta(3/2}})}\오른쪽)^{2/3}{\frac {h^{2\pim_{B}}}}}}}

For α ≤ 1, there is no upper limit on the number of particles ( $N_{\rm {m}}$ diverges as z approaches 1), and thus for example for a gas in a one- or two-dimensional box ( $\alpha =1/2$ and $\alpha =1$ respectively) there is no critical temperature.

접지 상태 포함

위의 문제는 α > 1에 대한 의문을 제기한다: 입자수가 일정한 보세 가스를 임계 온도 이하로 낮추면, 어떤 일이 일어날까? 여기서 문제는 토마스-페르미 근사치는 지반 상태의 퇴화를 0으로 설정했는데, 이는 잘못된 것이다. 응축수를 받아들일 수 있는 지상 상태가 없으므로 입자는 단순히 상태의 연속체로부터 '분해'된다. 그러나 거시적 방정식은 흥분 상태의 입자 수에 대한 정확한 추정치를 제공하며 연속체에서 떨어지는 입자를 받아들이기 위해 단순히 지상 상태 용어를 "타킹"하는 것이 나쁜 근사치가 아니라는 것이 밝혀졌다.

N=N_{0}+N_{\rm{m}}=N_{0}+{\frac {{\textrm{Li}_{\alpha }(z)}{{\beta E_{\rm{c}}^{\alpha }}}}}}}}

여기서 N은₀ 응축수 상태의 입자 수입니다.

따라서 거시적 한계에서 T < T는_c z 값이 1로 고정되고 N은₀ 입자의 나머지를 차지하게 된다. T > T의_c 경우 N₀ = 0인 정상 동작이 있다. 이 접근방식은 거시적 한계에서 응축된 입자의 분율을 제공한다.

{\frac{N_{0}}{N}}={\begin{case}1-\좌측({\frac {T}{\frac}{\frac}}}{\begin}}}}}{\T_{\rm{c}}}}^{\알파 }&{\mbox{}}}}{{\mbox{}}}}}\알파 >1}{\mbox{{\rm{c},\0&{\mbox{otherwise}}}.\end{case}}

소형 보스 기체에서의 대략적인 거동

그림 1: 정상화된 온도 함수로서의 다양한 보스 가스 매개변수 τ. α의 값은 3/2이다. 실선은 N=10,000, 점선은 N=1000이다. 검은 선은 흥분된 입자의 분율이고, 파란색은 응축된 입자의 분율이다. 화학전위 μ의 음은 빨간색으로 표시되며 녹색 선은 z의 값이다. k =ε_c=1로 가정되어 왔다.

더 작은 중경상 시스템(예: 수천 개의 입자만 있는 시스템)의 경우, 지상 상태 용어는 에너지 ε=0의 실제 이산 레벨을 최대 잠재력에서 추가함으로써 더 명확하게 근사치를 구할 수 있다.

\Oomega =g_{0}\ln(1-z)+\Oomega _{\rm {m}

대신 $N_{0}={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}$ $N_{0}={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}$ = $N_{0}={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}$ 0 $N_{0}={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}$ $N_{0}={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}$ - $N_{0}={\frac {g_{0}\,z}{1-z}}$ ${\$ 이제 임계 온도를 넘을 때 동작이 부드러워져 z는 1에 매우 근접하지만 도달하지는 않는다.

이것은 이제 온도에서 절대 0까지 풀 수 있다. 그림 1은 상자 안에 보손의 기체에 해당하는 k=162_c=1로 α=3/2에 대한 이 방정식의 해법 결과를 나타낸다. 검은색 실선은 N = 10,000에 대해 흥분 상태 1-N₀/N의 분율이며, 검은색 점선은 N =1000에 대한 해결책이다. 파란색 선은 응축된 입자 N₀/N의 분율이다. 빨간색 선은 화학적 전위 μ의 음의 값을 표시하고 녹색 선은 z의 해당 값을 나타낸다. 수평축은 표준화된 온도 τ에 의해 정의된다.

\tau ={\frac {T}{T_{\rm{c}

이러한 각 매개변수는 저온 한계에서는 τ에서^α 선형화되며, 고온 한계에서는 화학적 전위를 제외하고^α 1/ in에서 선형화됨을 알 수 있다. 입자의 수가 증가함에 따라 응축 및 흥분 분율은 임계 온도에서 불연속성을 지향하는 경향이 있다.

입자 수에 대한 방정식은 다음과 같이 평준화된 온도의 관점에서 작성할 수 있다.

N={\frac {g_{0}\,z}{1-z}+N~{\frac {{\textrm {{Li}}{\alpha }(z)}{\zeta(\alpha )}}{\alpha ^{\lpha}}}}}}}}}}}

주어진 N과 τ에 대해서는 이 방정식을 τ에^α 대해 해결할 수 있고, 그 다음, z에 대한 직렬 해법은 τ의^α 힘에서 또는^α inverse의 역력에 있어서 점증적 팽창으로서 직렬의 반전 방법에 의해 찾을 수 있다. 이러한 팽창으로부터 T가 무한에 가까워질 때 T =0 근처와 맥스웰-볼츠만에서 기체의 움직임을 발견할 수 있다. 특히 N이 이러한 팽창으로 쉽게 판별할 수 있는 무한대에 접근함에 따라 한계에 관심이 쏠린다.

그러나, 작은 시스템을 모델링하는 이러한 접근방식은 사실 비현실적일 수 있다. 왜냐하면 지면 상태의 입자 수의 분산이 입자의 수와 동일하기 때문이다. 이와는 대조적으로 일반 기체 내 입자 번호의 분산은 입자 번호의 제곱근에 불과하므로 보통 무시할 수 있는 것이다. 이러한 높은 분산은 응축수 상태를 포함한 전체 시스템에 대해 웅장한 표준 앙상블을 사용하기로 선택했기 때문이다.^[2]

소형가스의 열역학

확장된 잠재력은 다음과 같다.

{\displaystyle \Oomega =g_{0}\ln(1-z)-{\frac {{Li}{\n1}{\alpha +1}(z)}{\refa(\beta E_{\rm{c}\ript)^{\alpha }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

모든 열역학적 특성은 이 잠재력으로부터 계산될 수 있다. 다음 표에는 저온과 고온의 한계, 무한 입자수의 한계로 계산된 다양한 열역학적 수량이 수록되어 있다. 등호(=)는 정확한 결과를 나타내며, 근사 기호는 $\tau ^{\alpha }$ ${\$ 에서 시리즈의 처음 몇 항만 표시됨을 $\tau ^{\alpha }$ 나타낸다.

수량	일반	$T\ll T_{c}\,$	$T\gg T_{c}\,$
$(\displaystyle z}$		$\property {\frac {\zeta (\based )}{\tau }-{\frace ^{2}(\based )}{2^{\based }\tau }}}}}}}}{2\pau }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	$=1\,$
증기분수 $1-{\frac {N_{0}{N}}{N}},$	$={\frac {{\textrm {{Li}_{\alpha }(z)}{\zeta(\alpha )}}{\tau ^{\alpha }}}}}$	$=\tau ^{\\\,$	$=1\,$
상태 방정식 ${\frac {PV\beta }{N}}{N}=-{\frac {\frac}{N},$	$={\frac {{\textrm {Li}_{\alpha \!+\\!1}{\\zeta (\bu )}\,\tau ^{\bu }}}}$	$={\frac {\zeta(\cHB \!+\!1)}}{\zeta (\cHB )}\,\tau ^{\cHB }}}$	$\약 1-{\frac {\zeta (\based )}{2^{\based \!+\\!1}\tau ^{\message }}}$
기브스 자유 에너지 $[\displaystyle G=\displaystyle G=\ln(z)\,}$	$=\ln(z)\,$	$=0\,$	$\ln \left\frac \\\zeta(\bask )}{\tau }}{\frac {\zeta(\bask )}{2^{\based }}\tau }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

모든 양은 큰 온도의 한계에서 고전적인 이상 기체의 값에 접근하는 것으로 보인다. 위의 값은 다른 열역학적 양을 계산하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 내부 에너지와 압력과 부피의 생산물 사이의 관계는 모든 온도에서 고전적인 이상 기체의 관계와 동일하다.

U={\frac {\partial \Oomega}{\partial \beta }}}}}}}=\alpha PV

유사한 상황이 일정한 부피에서 특정 열에 대해 지속된다.

C_{V}={\frac {\partial U}{\partial T}=k_{\rm{B}}(\alpha +1)\,U\베타

엔트로피는 다음에 의해 주어진다.

TS=U+PV-G\,

참고로 고온의 한계에서는

TS=(\alpha +1)+\ln \left({\frac {\tau ^{\alpha ^}}{\alpha )}

즉, α=3/2는 단순히 Sabur-의 재작성일 뿐이다.테트로데 방정식. 델타 상호작용이 있는 1차원 보손은 페르미온처럼 행동하며, 그들은 Pauli 배제 원칙을 따른다. 한 차원에서는 델타 상호작용이 있는 보세 가스를 베테 안사츠에 의해 정확히 해결할 수 있다. 대량 자유 에너지와 열역학적 전위는 첸닝양이 계산했다. 1차원 사례에서 상관 함수도 평가되었다.^[3] 한 차원에서는 보세 가스가 양자 비선형 슈뢰딩거 방정식과 동등하다.

참조

^ Schwabl, Franz (2013-03-09). Statistical Mechanics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04702-6.
^ Mullin, W. J.; Fernández, J. P. (2003). "Bose–Einstein condensation, fluctuations, and recurrence relations in statistical mechanics". American Journal of Physics. 71 (7): 661–669. arXiv:cond-mat/0211115. Bibcode:2003AmJPh..71..661M. doi:10.1119/1.1544520. ISSN 0002-9505. S2CID 949741.
^ Korepin, V. E.; Bogoliubov, N. M.; Izergin, A. G. (1997-03-06). Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions. Cambridge University Press. ISBN 9780521586467.

일반참조

Huang, Kerson (1967). Statistical Mechanics. New York: John Wiley and Sons.
Isihara, A. (1971). Statistical Physics. New York: Academic Press.
Landau, L. D.; E. M. Lifshitz (1996). Statistical Physics, 3rd Edition Part 1. Oxford: Butterworth-Heinemann.
Pethick, C. J.; H. Smith (2004). Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge: Cambridge University Press.
Yan, Zijun (2000). "General Thermal Wavelength and its Applications" (PDF). Eur. J. Phys. 21 (6): 625–631. Bibcode:2000EJPh...21..625Y. doi:10.1088/0143-0807/21/6/314.

[1] Schwabl, Franz (2013-03-09). Statistical Mechanics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04702-6.

[MullinFernández2003-2] Mullin, W. J.; Fernández, J. P. (2003). "Bose–Einstein condensation, fluctuations, and recurrence relations in statistical mechanics". American Journal of Physics. 71 (7): 661–669. arXiv:cond-mat/0211115. Bibcode:2003AmJPh..71..661M. doi:10.1119/1.1544520. ISSN 0002-9505. S2CID 949741.

[3] Korepin, V. E.; Bogoliubov, N. M.; Izergin, A. G. (1997-03-06). Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions. Cambridge University Press. ISBN 9780521586467.

[1]

[2]

[3]

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