미터법 지도

미터법 공간의 수학 이론에서 미터법 맵은 거리를 늘리지 않는 미터법 공간 사이의 함수(그런 함수는 항상 연속함수)이다.이 지도들은 미터법 공간인 메트(Met, Isbell 1964)의 범주에 있는 형태론이다.립스치츠 상수1, 무익스팬시브 맵스, 무익스팬딩 맵스, 약한 수축, 또는 짧은 맵을 가진 립스치츠 함수라고도 한다.

특히 X와 Y는 미터법 공간이고 ƒ은 X에서 Y까지의 함수라고 가정한다.따라서 X의 어떤 지점 x와 y에 대해 측정지도가 있다.

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y)\leq d_{X}(x,y).\!}$

여기서 d와_X d는_Y 각각 X와 Y에 대한 지표를 나타낸다.

예

유클리드 메트릭스${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$을(를) 고려해보자.그러면 $함수{\displaystyle }$ $f{\displaystyle (}$$x$ ${\displaystyle )}$= x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 경우, x ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle$ x$\neq$ y$\},$ ( x)- ()= x+ < -y > = $x$ + < -$y >$ $=$ x+y x-y $x-y x-y$ <}.

메트릭 맵 범주

미터법 맵의 합성도 미터법 맵이며, 미터법 공간 M의 ID 맵 ID_M : M → M은 미터법 맵이다.따라서 메트릭 맵과 함께 메트릭 공간은 메트 범주를 형성한다.Met은 미터법 공간과 립스치츠 함수의 범주의 하위 범주다.미터법 공간 사이의 지도 ƒ은 역도 또한 미터법 지도인 비거주적 미터법 지도인 경우에만 등위법이다.그러므로 메트의 이소모르프스는 정확히 등각류다.

엄격한 메트릭 맵

서로 다른 두 지점마다 불평등이 엄격하다면 ƒ은 엄격히 미터법이라고 말할 수 있다.따라서 수축 매핑은 엄격히 미터법이지만 반드시 그 반대일 필요는 없다.이등분계는 절대 엄격하게 미터법이 아니며, 빈 공간이나 단일 점 공간의 퇴화된 경우를 제외한다.

다중값 버전

미터법 공간 X에서 X의 비어 있지 않은 하위 집합 패밀리에 대한 매핑 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X\mathcal{}}$→ ${\displaystyle N}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle T:X\to {\mathcal{N}(X)}$이(가) L${\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L\geq 0}$이($가$) 있는 경우 Lipschitz라고 한다.

${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$

모든 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$에 대해$,$ 여기서 H는 Hausdorff 거리다.$L{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L=1$ T를 nonxpansive라고 하고, < ${\displaystyle L<1},$T를 수축이라고 한다.

참고 항목

• 스트레치인자
• 하위 콘트랙션 맵

참조

• Isbell, J. R. (1964). "Six theorems about injective metric spaces". Comment. Math. Helv. 39: 65–76. doi:10.1007/BF02566944.