스콧 연속성

Scott continuity

수학에서 부분적으로 순서가 정해진 P와 Q의 두 세트를 주어지면, 그 사이의 함수 f: P → Q는 스콧-연속(수학자인 다나 스콧의 이름을 따서 이름 지어짐)이다.That is, for every directed subset D of P with supremum in P, its image has a supremum in Q, and that supremum is the image of the supremum of D, i.e. , where is the directed join.[1] 이(가) 진실 값의 포셋인 경우, 즉시에르피에스키 공간, 그렇다면 스콧 연속함수는 오픈세트의 특징적인 기능이며, 따라서 시에르피에스키 공간은 오픈세트의 분류공간이다.[2]

부분적으로 주문한 집합 P의 부분집합 O는 상위 집합이고 지시된 결합으로 접근할 수 없는 경우, 즉 O에 있는 모든 지시 집합 D가 O와 비빈 교차점을 갖는 경우 Scott-open이라고 한다.부분적으로 주문한 세트 P의 스콧 오픈 하위 집합은 스콧 위상 P에 위상이 형성된다.부분 순서 집합 사이의 함수는 Scott 위상과 관련하여 연속적인 경우에만 Scott 연속이다.[1]

Scott 위상은 처음에 Dana Scott에 의해 완전한 격자로 정의되었고 나중에 임의의 부분 순서 집합에 대해 정의되었다.[3]

스콧 연속적인 기능은 람다 캘커리의[3] 모델 연구와 컴퓨터 프로그램의 변절적 의미론에서 나타난다.

특성.

스콧-연속적인 기능은 항상 단조롭다.

지시된 전체 부분 순서의 하위 집합인 경우 그리고 지시된 하위 집합의 우월성에 따라 닫힌 경우에만 부분 순서에 의해 유도된 Scott 토폴로지와 관련하여 닫힌다.[4]

스콧 위상과의 지시된 완전한 부분 순서(dcpo)는 항상 콜모고로프 공간(즉, T0 분리 공리를 만족한다)이다.[4]그러나 스콧 위상이 있는 dcpo는 순서가 사소한 경우에만 하우스도르프 공간이다.[4]Scott-open 세트는 포함에 의해 주문되었을 때 완전한 격자를 형성한다.[5]

Kolmogorov 공간의 경우 위상은 해당 공간의 주문 관계인 전문화 순서(x ≤ y)를 유도한다. x의 모든 열린 이웃이 y의 열린 이웃인 경우에만.dcpo D의 주문 관계는 Scott-open 세트에서 Scott 위상에 의해 유도된 전문화 순서로 재구성될 수 있다.그러나 스콧 위상이 장착된 dcpo 위상은 냉정할 필요가 없다: 냉정한 공간의 위상에 의해 유도된 전문화 순서는 그 공간을 dcpo로 만들지만, 이 순서에서 파생된 스콧 위상은 원래 위상보다 더 미세하다.[4]

예

포함에 의해 정렬되었을 때 주어진 위상학적 공간에서 열린 세트는 Scott 위상이 정의될 수 있는 격자를 형성한다.위상학적 공간 T의 부분집합 X는 (X의 모든 열린 커버가 X의 유한한 서브커버를 포함하고 있다는 의미에서) 스콧 위상과 관련하여 열린 이웃집 집합이 열려 있는 경우에만 T의 위상에 대해 콤팩트하다.[5]

데카르트 폐쇄형 dcpo 범주인 CPO의 경우 Scott-연속 기능 중 특히 주목할 만한 두 가지 예가 카레와 적용이다.[6]

누엘 벨납은 스콧 연속성을 이용하여 논리적 결합을 4가지 가치 논리로 확장시켰다.[7]

참고 항목

각주

  1. ^ a b Vickers, Steven (1989). Topology via Logic. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36062-3.
  2. ^ nLab의 Scott 위상
  3. ^ a b Scott, Dana (1972). "Continuous lattices". In Lawvere, Bill (ed.). Toposes, Algebraic Geometry and Logic. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 274. Springer-Verlag.
  4. ^ a b c d Abramsky, S.; Jung, A. (1994). "Domain theory" (PDF). In Abramsky, S.; Gabbay, D.M.; Maibaum, T.S.E. (eds.). Handbook of Logic in Computer Science. Vol. III. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853762-5.
  5. ^ a b Bauer, Andrej & Taylor, Paul (2009). "The Dedekind Reals in Abstract Stone Duality". Mathematical Structures in Computer Science. 19 (4): 757–838. CiteSeerX 10.1.1.424.6069. doi:10.1017/S0960129509007695. S2CID 6774320. Retrieved October 8, 2010.
  6. ^ Barendregt, H.P. (1984). The Lambda Calculus. North-Holland. ISBN 978-0-444-87508-2. (구성 1.2.13, 1.2.14 참조)
  7. ^ N. Belnap(1975) "컴퓨터는 어떻게 생각해야 하는가" (Contemporary Senses of 철학, Gilbert Ryle 편집자, Oriel Press ISBN 0-85362-161-6페이지)

참조