모르스 이론

수학에서, 특히 미분 위상에서 모스 이론은 다지관의 다른 기능을 연구함으로써 다지관의 위상을 분석할 수 있게 한다. Marston Morse의 기본적인 통찰에 따르면, 다지관의 전형적으로 다른 기능들은 위상들을 아주 직접적으로 반영할 것이다. 모르스 이론은 CW 구조를 찾고 다지관의 분해 작업을 처리하며 그들의 동질학에 대한 실질적인 정보를 얻을 수 있도록 한다.

모르스 이전에 아서 케일리와 제임스 서점 맥스웰은 지형적 맥락에서 모르스 이론의 일부 사상을 발전시켰다. 모스는 원래 그의 이론을 지질학(경로에서 기능하는 에너지의 중요한 지점)에 적용했다. 이 기술들은 라울 보트의 주기성 정리 증명에 사용되었다.

복잡한 다지관에 대한 모르스 이론의 아날로그는 피카르-렙체츠 이론이다.

기본개념

예를 들어 산지 풍경 $M{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ M$.}$ f ${\displaystyle f}$이(가) 각 점을 고도로 보내는$$ $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ R ${\$인 경우$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 있는 점의 역 영상이 등고선(일반적으로$$ 한 수준)임을 고려하십시오. 등고선의 연결된 각 성분은 점, 단순 닫힌 곡선 또는 이중 점의 닫힌 곡선이다. 등고선도 고차점(삼중점 등)이 있을 수 있으나, 불안정하여 경관이 약간 변형되어 제거될 수 있다. 등고선의 이중 지점은 안장 지점 또는 패스에서 발생한다. 안장 지점은 주변 경관이 한 방향으로 굽고 다른 방향으로 꺾이는 지점이다.

이 풍경을 물로 범람시킨다고 상상해보라. 그런$$ 다음, 물이 ${\displaystyle a}$의 고도에 도달했을 때 물로 덮인 $영역$은${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$ -${\displaystyle 1}$( - ${\displaystyle \infty ,}$]$${\$displaystyle f^{-1}(-\\infit,a])$ 또는$$고도가${\displaystyle }$. ${\displaystyle a}$보다 작거나 같은 지점이다. ${\displaystyle a}$이(가) 임계 지점의 높이를 통과할$$ 때를 제외하고, 즉, f ${\displaystyle f}$의 $그라데이션$이 0 ${\displaystyle 0}$인 지점($$즉, 해당 지점의 접선 공간에서 이미지 접선 공간까지 선형 지도 역할을 하는 Jacobian 행렬)이 변경되지 않는 것으로 직관적으로 나타난다. 지도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 아래에 최대 순위가 없음$$). 즉 (1) 대야를 채우기 시작하거나, (2) 안장을 덮거나(산고개), (3) 봉우리를 잠글 때를 제외하고는 변하지 않는다.

이러한 세 가지 유형의 임계점(바인, 패스, 피크(미니마, 안장, 최대값이라고도 함) 각각에 대해 한 개씩 지수라는 숫자를 연관시킨다. 직관적으로 말해서, 중요 지점 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$의 지수는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 감소하는$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$} 주위$의 독립적 방향 수입니다$$. 보다 $정확하게$는 f ${\displaystyle f}$의 비감소 $임계점{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$의 $인덱스$는 f ${\displaystyle f$}의$$ 헤시안인$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에서 M {\$displaystytle M}$에 대한 접선 공간의 가장 큰 치수다$$. 따라서 basins, pass, ${\displaystyle \mathrm{peak}}$의 지수는 각각 0${\displaystyle ,}$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$,${\displaystyle 0,1,},$ $2$,${\displaystyle$ 2$,}$이다.

Define ${\displaystyle M^{a}}$ as ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,a]}$. Leaving the context of topography, one can make a similar analysis of how the topology of ${\displaystyle M^{a}}$ changes as ${\displaystyle a}$ increases when ${\displaystyle M}$ is a torus oriented as in 영상과 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 수직 축에 투영되어 평면 위의 높이를 가리킨다.

토러스 하단에서 시작하여 $p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle q}$, r${\displaystyle }$, ${\displaystyle p,q,$${\displaystyle \mathrm{r}}$$,},$ $s{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle s}$을 지수 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$, $displaystyle 0,1,1,},$ $2$ ,${\displaystyle 2,}$의 네 가지 임계점이 되게$$$$ 한다. ${\displaystyle a}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{f}(p}$)${\displaystyle }$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f(p)=0,}$보다 작으면 $M$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\$가 빈 집합이다$$. ${\displaystyle a}$이() , ${\$$displaystyle p$0 < >, {\$displaystyle 0<f(q))$일 때 p${\displaystyle }$, {\displaystyle m$^{a}$의 수준을$$ $통과$한 후$,$$$M a {\$displaystystyle$M^{a}는 디스크로$$, 빈 세트에 "첨부착된 점"이다. 다음으로, ${\displaystyle a}$이(가)$q{\displaystyle }$, $displaystyle q$ f$$( )의 수준을하는 경우, ${\$$q){$$a}$는 $실린더$로, 1셀이 부착된 디스크(왼쪽 이미지)와 동등한 호모토피이다. ${\displaystyle$ $a$$}$이(가) $r{\displaystyle }$,${\displaystyle$ r 및 ( )< a< () , {\$displaystyle$ f$(r)<f>$의 수준을 지나면$$ $M$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 디스크가 제거된 토러스로서$$, 1셀이 부착된 실린더(오른쪽)와 동등한 호모토피이다. 마지막으로, ${\displaystyle a}$이(가) $s$의 임계 수준보다 클 때${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle s,}$${\displaystyle M^{}}$ a ${\$ M$^{a}}$는 토러스다. 물론 토러스(torus)는 디스크(the disk)(2-cell)가 붙어 있는 디스크를 제거한 토러스(torus)와 같다.

따라서 $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$ M$^{\\alpha$}}의$$ $위상은$$\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle \alpha$}이$($가) 임계 지점의 높이를 통과할$$$$ 때와 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$\alpha$$}$이(가) 인덱스 중요 지점의 $높이$를 통과할 때를 $제외하고$는 변경되지 않는다$.$$splaystyle \gamma }$ -cell이$$ $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle$ M$^{\alpha }}$에 부착되어 있다. 이것은 두 임계점이 같은 높이에 있을 때 어떤 일이 일어나는지에 대한 문제를 다루지 않는다. 그러한 상황은 $f{\displaystyle .}$ ${\displaystyle f.}$의 약간의 동요(또는 유클리드 공간에 내장되어 있는 다지관)로$$ 해결할 수 있다. 이러한 동요는 단순히 풍경을 약간 기울이거나 좌표계를 회전시키는 것일 수도 있다.

중요 포인트의 비감소성을 주의하고 검증해야 한다. 무엇이 문제를 일으킬 수 있는지 보려면 $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ M$=\mathb {R} }$을(를) 두고 $f{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle f(x)=x^{3}$을(를) 두십시오.$}$ ${\displaystyle$ $0$$}$이(가) f${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f$,}$의 임계점이지만, $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$$displaystyle$$M^{\$$alpha}}$의 위상은 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle 0.}$이$($가) $지나도$ $바뀌지$ 않는다$$${\displaystyle \mathrm{.}}$${\displaystystytylef$.$0{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$0,} 즉$$$$$,$ f ${\displaystyle f}$의 헤시안(Hesian)이 사라지고$$ 이 임계점은 퇴보한다. 이 상황은 불안정하다는 점에 유의하십시오. $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle f,}$ 약간 변형시킴으로써 퇴행$$ 임계점을 제거하거나 두 개의 비퇴행 임계점으로 분할한다.

형식발달성

실제 값 매끄러운 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ R ${\$서로 $다지관$ M , {\$displaystyle$ $M$$}$의 M\to \$mathb{\displaystyle }$ {R}$}$ f ${\displaystyle$ f$}$의 차이가 소멸되는$$ $점$을 f {\$displaystyle$f}의 임계점이라고$$ 하며, $f{\displaystyle }${\$displaystyf}$ 아래의 이미지를 임계값이라고 한다$$. 만약 심각한 단계 b에, 음 두번째 부분적인 파생 상품의 매트릭스{\displaystyle b,}, b{\displaystyle b}는 .mw-parser-output .vanchor&gt는 duck,non-singular은:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}non-degenerate 임계점이 헤세의 단수형은 그때 b{\displaystyle b}은 a타락한 임계점.

함수의 경우

from ${\displaystyle \mathbb {R} }$ to ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$ has a critical point at the origin if ${\displaystyle b=0,}$ which is non-degenerate if ${\displaystyle c\neq 0}$ (that is, ${\displaystyle f}$ is of the form ${\displaysty$$a{\displaystyle }$$+cx^{2}+\cdots }$ ) 및$$c${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle c=0}($${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle$ f}이$($) $a{\displaystyle }$ +${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+$}$ {\$dx$^{3}+\$cdots }$의 형식인 경우 변질된다.$$ 퇴보하는 임계점의 덜 사소한 예는 원숭이 안장의 기원이다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 비감소 $임계점{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$의 지수는 $헤시안$이 음으로 한정된 b$$ ${\displaystyle$ b$}$에서 $M$ ${\displaystyle$ M$}$에 대한 접선 공간의 가장 큰 하위 공간의 치수다$$. 이는 $인덱스$가 f ${\displaystyle f}$이(가) 감소하는 방향 수라는 직관적인 개념에 해당한다. 임계점의 퇴행성과 지수는 실베스터의 법칙에서 알 수 있듯이 사용되는 국소 좌표계의 선택과 무관하다.

모스 보조정리

$b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle f:$의 비감소 임계점이 되게$$ 한다.$M\to R.}$ Then there exists a chart ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ in a neighborhood ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle b}$ such that ${\displaystyle x_{i}(b)=0}$ for all ${\displaystyle i}$ and

$U{\displaystyle }$. ${\displaystyle U.}$여기$$ $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alph$}은$$$b{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ b$.}$에서 $f$ ${\displaystyle$ $f$$}$의 지수와 동일하다$$. 모스(Morse) 보조정리로서 비감소 임계점이 격리되어 있다고 본다. (복잡한 도메인에 대한 확장에 대해서는 Complex Morse Lemma를 참조하십시오. 일반화는 Morse-Palais 보조정리)를 참조한다.

기본 정리

다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 매끄러운 실제 값 함수는 퇴보 임계점이 없는 경우 Morse 함수다. 모스 이론의 기본적인 결과는 거의 모든 기능이 모스 함수라고 말한다. 기술적으로 Morse 함수는 C ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{2$}}$$위상에서$$ 모든$$ 부드러운 $함수{\displaystyle }$ M${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ {$R}}}$의 개방적이고 밀도 높은 하위 집합을 형성한다. 이것은 때때로 "일반적인 함수는 모스" 또는 "일반적인 함수는 모스"로 표현된다.

앞에서 설명한 바와 같이 $M{\displaystyle {}^{}{a}^{}}$ =${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}1}$( -${\displaystyle \mathrm{},}$ , ${\displaystyle ]}${\$displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infit ,a]})$의 $위상$이$${\$displaystyle$ a$}$에 따라$$ 언제 변하는지$$ 궁금하다. 이 물음에 대한 답의 절반은 다음과 같은 정리에 의해 주어진다.

정리. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f$$}$이(가) $M{\displaystyle }$, ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle {}^{}}$< ${\displaystyle$ a$,}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- $1$${\displaystyle {}^{}[,}$ ${\displaystyle b}$], ${\displaystyle$ f$^{-1}[a$$,$의 매끄러운 실제 값 함수라고 $가정$해 $보십시오$.$$ 그 $다음{\displaystyle {}^{}}$ M ${\displaystyle a^{}}$ ${\$ M$^{a}$는 ${\displaystyle M^{}}$ b${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ $M$$^{b},$ $M$ ${\displaystyle b^{}}$ ${\$ M$^{b}$ 변형이 M ${\displaystyle a^{}}$. ${\displaystyle M^{a}$에 대해 차등형이다.$}$

$또한{\displaystyle }${\$displaystyle$ a}이$($가) 임계점을 통과할$$ 때 $M{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle a^{}}$ ${\$ M^{$a$$}$의 위상이 어떻게 변하는지$$ 알 수 있다. 다음의 정리가 그 질문에 답한다.

정리. Suppose ${\displaystyle f}$ is a smooth real-valued function on ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle p}$ is a non-degenerate critical point of ${\displaystyle f}$ of index ${\displaystyle \gamma ,}$ and that ${\displaystyle f(p)=q.}$ Suppose ${\disp$$laystyle f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]}$ is compact and contains no critical points besides ${\displaystyle p.}$ Then ${\displaystyle M^{q+\varepsilon }}$ is homotopy equivalent to ${\displaystyle M^{q-\varepsilon }}$ with a ${\displaystyle \gamma }$-cell attached.

이러한 결과는 앞 절에 명시된 '규칙'을 일반화하고 공식화한다.

이전의 두 가지 결과와 어떤 다른 다지관에 Morse 기능이 존재한다는 사실을 이용하면, 어떤 다지관도 지수 $n{\displaystyle }$.${\displaystyle n.}$의 각 임계점에 $대해{\displaystyle }$ n ${\displaystyle$ n.} -cell을$$ 가진 CW 복합체임을 증명할 수 있다. 이를 위해서는$$ 자신이 가질 수 있도록 배열할 수 있는 기술적 사실이 필요하다. 보통 구배와 같은 벡터 필드를 사용하여 임계점을 재정렬함으로써 입증되는 각 임계 수준의 단일 임계점

모스 불평등

모스 이론은 다지관의 동질성에 대한 몇몇 강력한 결과를 증명하기 위해 사용될 수 있다. $f$ : ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ $\gamma }$ 인덱스의 임계점 수$:$$M\to \mathb {R}$}은$$(는) "클라이밍" $f{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $f$$.}$에서 얻은$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$의 CW 구조에 있는 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$셀$$ 수와 동일하다. 위상학적 공간의 호몰로지 그룹 순위의 교대 합계가 교차된 합계와 동일하다는 사실을 사용$$ 호몰로지를 계산한 다음 셀룰러 체인 그룹을 사용하여(셀룰러 호몰로지 참조) 오일러 특성 $){\displaystyle \chi(M)}$이(가) 합계와 동일하다는 것은 분명하다.

지수 γ의 임계점의 휴대 상동에 의해 어디 Cγ{\displaystyle C^{\gamma}}이다.{\displaystyle \gamma.}또한, n의 계급{n\displaystyle} CW 복잡한 M{M\displaystyle}의 th호몰 로지군보다 또는 n{n\displaystyle}-cells의 M.{\d의 수보다 적다.iSplaystyle M.}그러므로γ{\displaystyle \gamma}th호몰 로지군의 계급, 즉 다시 말하면, 베티 수 bγ(M){\displaystyle b_{\gamma}(M)}, 또는 지수의 임계점의 수와 같γ 모스 함수의 M에{\displaystyle \gamma}.{M.\displaystyle} 이러한 사실들 stre 수 있다.쇼핑그리고 나서 모스 불평등을 얻는다.

특히, 어느 누구에게도

가지고 있다

이것은 다지관 위상 연구를 위한 강력한 도구를 제공한다. 닫힌 매니폴드에 Morse 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ R ${\$$정확히$ k개의 임계점을 가진$$ M$\to \mathb {R}.$ $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f}$의 존재는 $어떤{\displaystyle }$ 방식으로 M ${\displaystyle M}$을 제한하고 있는가$?$ 사례 $k{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle k=2}$은 1952년 조르주 르에 의해 연구되었다$$. Reeeb 구체 정리는 $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle M$$}$이 구체 $.${$n}$에 대해 동형이라고 기술하고 있다.$$ 사례 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle k=3}$은(는) 소수의 낮은 치수에서만 가능하며, M은 Eells-Kuiper 다지관과 동형이다. 1982년 에드워드 위튼은 동요된 운영자 d ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- t ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$. ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle d_{t}=e^{-tf}de^{$tf}de^{$tf}}$에 대한 모스 불평등에 대한 분석 접근법을 개발했다.$}$^[1][2]

폐쇄형 2-매니폴드 분류 적용

모스 이론은 닫힌 2마니폴드를 차이점포식까지 분류하기 위해 사용되어 왔다. M{M\displaystyle}목적이 있다면 그때 M{M\displaystyle}의 로사 g{\displaystyle g}에 의해 g를{\displaystyle g}을 처리하는 구체에게diffeomorphic은:따라서 만약 g=0{\displaystyle g=0,}M{M\displaystyle}은 2-sphere에diffeomorphic 있으며, 만약 g입니다.;0,{\displaysty 분류된다.르$g>0,}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ 2-tori의$$ 연결된 합과 차등형이다$$. 만약 N{N\displaystyle}unorientable, 그것은 수 g을에 의해;0{\displaystyle g>0}과 g의 연결된 합{\displaystyle g}실제 사영 공간 RP2.{\displaystyle \mathbf{RP}^{2}에diffeomorphic 있다.}만일 그들은di 특히 두개의 폐쇄 2-manifoldshomeomorphic이 분류된다.ffeom고아의^[3][4][5]

모스 호몰로지

모스 호몰로지(Morse homology)는 매끄러운 다지관의 호몰로지(homology)를 특히 쉽게 이해할 수 있는 방법이다. 모스 함수와 리만 메트릭스의 일반적인 선택을 사용하여 정의된다. 기본적인 정리는 결과적 호몰로지(homology)가 다지관의 불변성(즉, 기능과 측정기준에 독립)이며 다지관의 단일 호몰로지(sistrical homology)에 이형성이 있다는 것이다. 이는 모스(Morse)와 단수 베티(단수 베티) 수가 일치하고 모스(Morse) 불평등에 대한 즉각적인 증거를 제시한다는 것을 암시한다. 공감 기하학에서 모스 호몰로지(Morse homology)의 무한 차원 아날로그를 플로어 호몰로지(Floer homology)라고 한다.

모르스-보트 이론

Morse 함수의 개념은 임계점의 비감소 다지관을 갖는 함수를 고려하기 위해 일반화될 수 있다. Morse-Bott 함수는 임계 집합이 닫힌 서브매니폴드이고 헤시안 집합이 정상 방향에서 소멸되지 않는 다지관의 부드러운 함수다. (동등하게, 임계 지점에 있는 헤시안 알맹이는 임계 서브매니폴드에 대한 접선 공간과 동일하다.) 모스 함수는 임계 다지관이 0차원인 특수한 경우(따라서 임계 지점의 헤시안이 모든 방향, 즉 커널이 없는 경우)이다.

그 지수는 가장 자연스럽게 한 쌍으로 생각된다.

여기서 $i{\displaystyle {}_{}}$- ${\$는 임계 다지관의 주어진 지점에서 불안정한 다지관의 치수이며$$, $i{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$는 $i{\displaystyle {}_{}}$- ${\$ + 임계 다지관의 치수와 동일하다$$. Morse-Bott 기능이 임계 위치의 작은 함수에 의해 동요되는 경우, 방해받지 않는 함수의 임계 다지관에 있는 변성 함수의 모든 임계 지점의 $지수$는 i${\displaystyle {}_{}}$- ${\$와 i${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$.$$. {\$displaystyle$ i_${+}$ 사이에 놓이게 된다.$}$

Morse-Bott 함수는 일반적인 Morse 함수는 작업하기 어렵기 때문에 유용하다. 즉, 시각화할 수 있고 쉽게 계산할 수 있는 함수는 일반적으로 대칭이 있다. 그것들은 종종 양차원 임계 다지관으로 이어진다. Raoul Bott는 Bott 주기성 정리에 대한 그의 원래 증거에 Morse-Bott 이론을 사용했다.

원형 함수는 Morse-Bott 함수의 예로서, 여기서 중요한 집합은 원(분리된)이다.

Morse homology는 Morse-Bott 함수에 대해서도 공식화될 수 있다. Morse-Bott homology의 차이는 스펙트럼 시퀀스에 의해 계산된다. 프레데릭 부르주아는 모스-보트 버전의 동정적 현장 이론에 대한 연구 과정에서 접근법을 스케치했지만, 이 작품은 실질적인 분석적 어려움 때문에 출판된 적이 없다.

참고 항목

참조

추가 읽기

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