피카르-렙체츠 이론

수학에서 피카르-렙체츠 이론은 다지관에 있는 홀로모르픽 함수의 임계점을 살펴봄으로써 복합 다지관의 위상을 연구한다.에밀 피카르트가 자신의 저서 피카르트와 시마트(1897년)에서 복잡한 표면을 위해 소개했으며, 솔로몬 렙체츠(1924년)가 더 높은 차원으로 확장했다.실제 기능의 임계점을 살펴서 실제 다지관의 위상을 연구하는 모스 이론의 복잡한 아날로그다.피에르 들랭과 니콜라스 캣츠(1973)는 피카르-렙체츠 이론을 더 일반적인 분야에 걸쳐 다양화하도록 확장시켰고, 들랭은 웨일 추측에 대한 그의 증거에 이 일반화를 이용했다.

피카르-렙체츠 공식

피카르-렙체츠 공식은 중요한 지점에서 단조로움을 설명한다.

f는 (k+1)차원 투영 복합 다지관에서 투영선 P까지의¹ 홀로모르픽 지도라고 가정해 보자.또한 모든 임계점이 퇴화되지 않고 다른 섬유에 놓여 있으며 이미지 x₁,...,x가_n P에¹ 있다고 가정하십시오.P에서¹ 다른 점 x를 선택하십시오.기본 그룹 π₁(P¹ – {x_1n, ..., x}, x)은 점 x를_i 도는_i 루프에 의해 생성되며, 각 지점 x에는_i 섬유 H_k(Y_x)에 소멸 주기가 있다. 섬유는 복잡한 치수 k를 가지고 있으므로, 따라서 실제 치수 2k를 가지므로 이것이 중간 호몰로지라는 점에 유의한다.H_k(Y_x)에 대한 π₁(P¹ – {x_1n, ..., x})의 모노드로미 작용은 피카르-렙체츠 공식에 의해 다음과 같이 설명된다. (다른 호몰로지 그룹에 대한 모노드로미의 작용은 사소한 것이다.)$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$ $$∈ H_k(Y_x)의 기본 그룹 생성기 w의_i 단조로운 동작은 다음과 같다.

${\displaystyle w_{i}(\cHB )=\cHB +(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \langle \langle \{i}\rangele \i_{i}}}}}}$

여기서 Δ는_i x의_i 소멸 사이클이다.이 공식은 Picard & Simart(1897, 페이지 95)에서 k = 2(소멸 주기 Δ의_i 명시적 계수 없이)에 대해 암묵적으로 나타난다.렙체츠(1924, 2장, V)는 모든 차원에서 명시적인 공식을 제시하였다.

예

다음에서 정의한$$ $속{\displaystyle }$ g$${\$displaystyle$g}의 과대증발 곡선 프로젝트 계열을 고려하십시오.

${\displaystyle y^{2}=(x-t)(x-a_{1})\cdots(x-a_{k}}}$

여기서 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^$1}$은 매개$$ 변수이고 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2g}}$+ 1 ${\displaystyle k=2g+1$그러면 이 패밀리는 ${\displaystyle t_{}}$= i ${\$이(가) 있을 때마다 이중점 변형이 발생하는데$,$ 곡선은 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$토리의$$ 연결된 합이므로 일반 곡선의 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}에$$있는 교차 형태는 행렬이다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}0&, 1\\1&, 0\end{bmatrix}}^{\oplus g}={\begin{bmatrix}0&, 1&, 0&, 0&, \cdots &, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0&, \cdots &, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, 1&, \cdots &, 0&, 0\\0&, 0&, 1&, 0&, \cdots &, 0&, 0\\\vdots, \vdots &, \vdots &, \vdots &, \cdots &, \vdots &, \vdots \\ &.0&, 0&, 0&, 0&, \cdots &, 0&, 1\\0&, 0&, 0&, 0&, \cdots &, 1&, 0\end{bmatrix}}}$

$우리$는 쉽게 A ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}${\$displaystyle \mathb {$A$} _${t$}^{1}$의 변성 주위에 피카르-Lefschz 공식을 계산할 수 있다.$$$\gamma {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \Delta }$, ${\displaysty \gamma,\delta$$}}}$은 $j {\daystycycycycyclass$ $1$이다.그 다음, 피카르-레프슈츠 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle w_{j}(\displaystyle )=\display -\display }$

$j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}$ -th$$ torus가 소멸 주기를 포함하는 경우.그렇지 않으면 그것은 정체성 맵이다.

참조

• Deligne, Pierre; Katz, Nicholas (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, Lecture Notes in Mathematics, vol. 340, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0060505, ISBN 978-3-540-06433-6, MR 0354657
• Lamotke, Klaus (1981), "The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz", Topology, 20 (1): 15–51, doi:10.1016/0040-9383(81)90013-6, ISSN 0040-9383, MR 0592569
• Lefschetz, S. (1924), L'analysis situs et la géométrie algébrique, Gauthier-Villars, MR 0033557
• Lefschetz, Solomon (1975), Applications of algebraic topology. Graphs and networks, the Picard-Lefschetz theory and Feynman integrals, Applied Mathematical Sciences, vol. 16, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90137-4, MR 0494126
• Picard, É.; Simart, G. (1897), Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I (in French), Paris: Gauthier-Villars et Fils.
• Vassiliev, V. A. (2002), Applied Picard–Lefschetz theory, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 97, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/surv/097, ISBN 978-0-8218-2948-6, MR 1930577