병주성 정리

수학에서 Bott 주기성 정리는 Raoul Bott(1957, 1959년)에 의해 발견된 고전 그룹들의 호모토피 그룹에서의 주기성을 기술하고 있는데, 이것은 특히 안정적인 복합 벡터 번들의 K 이론과 구들의 안정적인 호모토피 그룹들에 있어서 훨씬 더 많은 연구를 위한 기초적인 의의가 있는 것으로 증명되었다. 병적 주기는 여러 가지 방법으로 공식화될 수 있는데, 문제의 주기는 단일 군집단과 관련된 이론에 대해 치수에 관해서 항상 기간-2 현상으로 나타난다. 위상학 K-이론을 참조하십시오.

일치 이론인 (실제) KO-이론 및 (정량) KSp-이론에는 각각 실제 직교 그룹과 관련된 Period-8 현상이 있다. J-호모형성은 직교 그룹의 호모토피 그룹에서 안정적인 호모토피 그룹에 이르는 동모형성으로, 구들의 안정적인 호모토피 그룹에서 8 Bott의 주기성을 볼 수 있게 한다.

결과명세서

Bott는 $O{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle O(\infit )}$이(가) 직교 그룹의 귀납 한계로 정의되는$$ 경우 호모토피 그룹은 주기적이라는 것을 보여주었다.^[1]

${\displaystyle \pi _{n}(O(\fty )\simeq \pi _{n+8}(O(\fty ))}$

그리고 처음 8개의 호모토피 그룹은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\pi _ᆱ(O(\infty))&\simeq \mathbb{Z}_{2}\\\pi _ᆴ(O(\infty))&\simeq \mathbb{Z}_{2}\\\pi _ᆷ(O(\infty))&\simeq 0\\\pi _ᆸ(O(\infty))&\simeq \mathbb{Z}\\\pi _ᆺ(O(\infty))&\simeq 0\\\pi _ᆻ(O(\infty))&\simeq 0\\\pi _ᆼ(O(\infty))&\simeq 0\\\pi _ᆽ(O(\infty))&\simeq\.mathbb{Z}\end{정렬}}}$

컨텍스트 및 유의성

Bott의 주기성의 맥락은 동질론 이론과 유추하여 대수적 위상에서의 기본적인 부분을 담당할 것으로 기대되는 동질구들의 집단들이 이해하기 어려운 것으로 증명되었다(그리고 이론은 복잡하다). 안정적 호모토피 이론의 주제는 중단(원형의 스매시 제품) 작동을 도입하여, 한 번 방정식의 양쪽을 원하는 수만큼 정지시킬 수 있게 되면 (거의) 호모토피 이론이 남아 있는 것을 보고 단순화하여 구상하였다. 그 안정적인 이론은 실제로 계산하기가 여전히 어려웠다.

Bott의 주기성은 매우 비독점적인 공간에 대한 통찰력으로서, 그들의 코호몰로지(cohomology)와 특성 클래스의 연결로 인해 위상에서의 중심적 지위를 갖는 것으로, 모든 (불확실한) 호모토피 그룹을 계산할 수 있었다. 이 공간들은 (무한하거나 안정적인) 단일 그룹, 직교 그룹, 그리고 동시적 그룹 U, O, Sp이다. 이런 맥락에서 안정이란 포함 순서의 조합 U(직접 한계라고도 함)를 취하는 것을 말한다.

${\displaystyle U(1)\subset U(2)\cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\inful }U(k)}$

그리고 O와 Sp의 경우와 유사하다. 보트가 그의 세미날 논문의 제목에 안정적이라는 단어를 사용한 것은 이러한 안정된 고전 그룹들을 지칭하는 것이지 안정된 호모토피 그룹들을 지칭하는 것은 아니라는 점에 주목하라.

The important connection of Bott periodicity with the stable homotopy groups of spheres ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ comes via the so-called stable J-homomorphism from the (unstable) homotopy groups of the (stable) classical groups to these stable homotopy groups ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$. Originally desc조지 W에 의해 갈비뼈가 부러진. 화이트헤드, 그것은 유명한 아담스 추측(1963년)의 주제가 되었고, 마침내 다니엘 퀼렌(1971년)에 의해 긍정적으로 해결되었다.

Bot의 원래 결과는 다음과 같이 간결하게 요약될 수 있다.

코롤러리: (무한한) 고전 그룹의 (불확실한) 호모토피 그룹은 주기적이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

참고: 이러한 이형성 중 두 번째와 세 번째가 뒤얽혀 8배의 주기성 결과를 제공한다.

${\displaystyle {\begin}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(Operatorname {Sp})\\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} )&k=0,1,\ldots \ed}}}정렬}$

공간 반복 및 공간 분류

무한 유니터리 그룹 U와 관련된 이론의 경우, 공간 BU는 안정적인 복합 벡터 번들(무한 치수의 그래스만어)을 위한 분류 공간이다. Bott의 한 공식은 2중 루프 공간인 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {B\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Oomega ^{2}$를 설명한다.BU의 $BU}.$ 여기서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 루프 공간 펑터(loop space functor로, 오른쪽은 서스펜션에, 왼쪽은 공간 구조 분류에 적합하다. Bott는 이 이중 루프 공간이 본질적으로 다시 BU라고 말한다; 더 정확히 말하면,

본질적으로 (즉, 호모토피와 동등한) BU의 셀 수 없는 수의 사본의 결합이다. 등가 공식은

둘 중 어느 것이든 위상학 K이론이 왜 (복잡한) 2배 주기론인지를 보여주는 즉각적인 효과가 있다.

무한직교군 O에 대한 해당 이론에서 공간 BO는 안정적인 실제 벡터 번들을 위한 분류 공간이다. 이 경우 Bott의 주기성은 8배 루프 공간에 대해

또는 동등하게

KO-이론이 8배 주기 이론이라는 결과를 낳는다. 또한 무한감소집단인 Sp의 경우 공간 BSp는 안정된 쿼터니온 벡터 번들을 위한 분류공간으로 Bott는 다음과 같이 기술하고 있다.

또는 동등하게

따라서 위상학적 실제 K-이론(KO-이론이라고도 함)과 위상학적 쿼터니온 K-이론(KSp-이론이라고도 함)은 모두 8배의 주기적 이론이다.

루프 공간의 기하학적 모형

Bott의 한 우아한 형태는 클래식 그룹 사이에 자연적인 임베딩(폐쇄된 부분군)이 존재한다는 관찰을 활용한다. Bott 주기성의 루프 공간은 연속적인 인수의 대칭 공간과 동등한 호모토피(homotopy)로 Z의 추가 이산 인자가 있다.

복잡한 숫자에 걸쳐:

$U\displaystyle U\time U\subset U\time U.}$

실제 수 및 분기에 대한 설명:

${\displaystyle O\time O\subset O\subset O\subset \operatorname {Sp}\times \subset \operatorname {Sp}\subset U\subset O\subset O\time O\times.}$

이러한 시퀀스는 Clifford Algebras의 시퀀스에 해당한다. Clifford Algebras의 분류 참조, 복잡한 숫자에 대한:

${\displaystyle \mathb {C} \oplus \mathb {C} \subset \mathb {C} \mathb {C} \oplus \mathb {C}}$

실제 수 및 분기에 대한 설명:

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,}$

여기서 디비전 알헤브라는 "그 대수보다 중요한 것"을 나타낸다.

2주기/8주기이기 때문에 원형으로 배열할 수 있는데, 여기서 Bott의 주기성 시계와 Clifford 대수 시계라고 한다.

그런 다음 Bott의 주기성은 일련의 균등성(homotophy)으로 세분화된다.

복합 K 이론의 경우:

${\displaystyle {\begin{ligned}\Oomega U&\simeq \mathb {Z} \time BU/(U\time BU)\\\simeq U=(U\time U)/U\ended{ligned}}}}$

실제 및 쿼터니온 KO- 및 KSp-이론:

${\displaystyle{\begin{정렬}\Omega(\mathbb{Z}BO\times)&, \simeq O=(O\times O)/O&amp을 말한다.\Omega(\mathbb{Z}\times\operatorname{BSp})&, \simeq\operatorname{파}=(\operatorname{파}\times\operatorname{파})/\operatorname{파}\\\Omega O&, \simeq O/U&, \Omega\operatorname{파}&\simeq\operatorname{파}/U\\\Omega(O/U)&, \simeq U/\operatorname{파}&\.Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}}$

결과 공간은 고전적 환원 대칭 공간과 동등한 호모토피(homotopy)이며, Bott 주기성 시계의 항에 대한 연속적인 인용이다. 이러한 동등성은 즉시 Bott의 주기성 이론들을 산출한다.

특정 공간은 다음과 같다(^{[note 1]}그룹의 경우 주요 균질 공간도 나열됨):

루프 스페이스페이스	지수	카르탄의 라벨	설명
${\displaystyle \Oomega ^{0}}$	$\displaystyle \mathb {Z} \time O/(O\time O)}$	BDI	레알 그라스만니안
${\displaystyle \Oomega ^{1}.$	${\displaystyle O=(O\time O)/O}$		직교군(실제 스티펠 다지관)
${\displaystyle \Oomega ^{2}}$	$(\디스플레이 스타일 O/displaystyle O/U}$	DIII	주어진 직교 구조와 호환되는 복잡한 구조의 공간
${\displaystyle \Oomega ^{3}}$	${\displaystyle U/\mathrm {Sp} }$	AII	주어진 복잡한 구조와 호환되는 쿼터니온 구조의 공간
${\displaystyle \Oomega ^{4}}$	${\displaystyle \mathb {Z} \time \mathrm {Sp} /(\mathrm {Sp} \time \mathrm {Sp} )}$	13세	콰터니오닉 그라스만니아어
${\displaystyle \Oomega ^{5}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} =(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp})/\mathrm {Sp}}$		Symmetric group(양자극 스티펠 다지관)
${\displaystyle \Oomega ^{6}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} /U}$	CI	복잡다단한 라그랑기안 그라스만니안
${\displaystyle \Oomega ^{7}}$	$U/O}$	AI	라그랑기안 그라스마니안

교정쇄

보트의 원본 증명서(Bot 1959년)는 이전에 보트(1956년)가 리 집단들의 호몰로지 연구에 사용했던 모르스 이론을 사용했다. 많은 다른 증거들이 제시되었다.

메모들

참조

• Bott, Raoul (1956), "An application of the Morse theory to the topology of Lie-groups", Bulletin de la Société Mathématique de France, 84: 251–281, doi:10.24033/bsmf.1472, ISSN 0037-9484, MR 0087035
• Bott, Raoul (1957), "The stable homotopy of the classical groups", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 43 (10): 933–5, Bibcode:1957PNAS...43..933B, doi:10.1073/pnas.43.10.933, JSTOR 89403, MR 0102802, PMC 528555, PMID 16590113
• Bott, Raoul (1959), "The stable homotopy of the classical groups", Annals of Mathematics, Second Series, 70 (2): 313–337, doi:10.2307/1970106, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970106, MR 0110104, PMC 528555, PMID 16590113
• Bott, Raoul (1970), "The periodicity theorem for the classical groups and some of its applications", Advances in Mathematics, 4 (3): 353–411, doi:10.1016/0001-8708(70)90030-7. 정리정리와 그것을 둘러싼 수학에 대한 설명.
• Giffen, C.H. (1996), "Bott periodicity and the Q-construction", in Banaszak, Grzegorz; Gajda, Wojciech; Krasoń, Piotr (eds.), Algebraic K-Theory, Contemporary Mathematics, vol. 199, American Mathematical Society, pp. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, MR 1409620
• Milnor, J. (1969). Morse Theory. Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9.
• Baez, John (21 June 1997). "Week 105". This Week's Finds in Mathematical Physics.