선택함수

선택 함수(selector, selection)는 비어 있지 않은 집합의 일부 집합 X에 정의되고 그 집합에 있는 각 집합 S의 일부 요소를 f(S)에 의해 S에 할당하고, f(S)는 S의 일부 요소에 S를 매핑하는 수학 함수 f이다.즉, f는 X의 직접 생산물에 속하는 경우에만 X의 선택함수다.

예

X = {1,4,7}, {9}, {2,7} }.그러면 집합 {1,4,7}에 7을 할당하고, 집합에 9를 {9}에 할당하고, 2를 {2,7}에 할당하는 함수는 X의 선택함수다.

역사와 중요성

에른스트 제르멜로(1904)는 선택 기능뿐만 아니라 선택 기능(AC)을 도입하여 모든 세트가 잘 정돈될 수 있다고 하는 질서 정리를 증명했다.^[1]AC는 모든 비빈 세트에는 선택 기능이 있다고 말한다.더 약한 형태의 AC, 계산 가능한 선택(AC_ω)의 공리는 모든 계산 가능한 세트의 비어 있지 않은 세트는 선택 함수를 가지고 있다고 말한다.그러나 AC 또는 AC가_ω 없는 경우, 일부 세트는 여전히 선택 기능이 있는 것으로 나타날 수 있다.

$X$ $X$ 이 $X$ (가) 비어 있지 않은 세트의 유한 집합인 경우 $X$ . $X$ 의 각 멤버에서 하나의 요소를 선택하여 $X$ X $X$ 에 대한 선택 함수를 구성할 수 있으며, 이는 $X.$ 미세하게 많은 선택만 필요하므로 AC와 AC_ω 둘 다 필요하지 않다.
$X$ $X$ 의 모든 멤버가 비어 있지 않은 세트이고 $X$ $\bigcup X$ $\bigcup X$ X $\bigcup X$ 이(가) 잘 정렬되어 있다면 $\bigcup X$ , $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 의 각 멤버 중 최소 요소를 선택할 수 있다 $X$ 이 경우, 한 번의 선택만으로 $X$ $X$ ${\displaysty X}$ 의 모든 멤버를 동시에 잘 정렬할 수 있었다.f 조합이 잘 정돈되어 있어서 AC나 AC가_ω 필요하지 않았다.(이 예는 잘 정돈된 정리가 AC를 내포하고 있음을 보여준다.그 반론도 사실이지만 사소하지는 않다.)

다중값 맵의 선택 기능

X와 Y가 두 세트인 경우, F는 X와 Y의 다중값 맵이 되도록 한다(동일하게 $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ : $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ → $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ $){\displaystyle F:X\오른쪽$ 화살표 ${\mathcal{P}(Y)}$ 는 $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ X에서 Y의 전원 집합까지의 함수다.

$f:X\rightarrow Y$ f : $f:X\rightarrow Y$ → $f:X\rightarrow Y$ ${\displaystyle f:X\오른쪽 화살표$ Y $}$ 는 다음과 같은 경우 F의 선택이라고 한다 $f:X\rightarrow Y$ .

(\displaystyle \forall x\in X\, (f(x)\in F(x)\,)\,}

보다 규칙적인 선택함수의 존재, 즉 연속적이거나 측정 가능한 선택은 미분포함수, 최적제어, 수학적 경제학 이론에서 중요하다.^[2]선택 정리를 참조하십시오.

부르바키 타우 함수

니콜라스 부르바키는 주어진 명제를 만족시키는 물체를 선택하는 $\tau$ 으로 해석될 수 있는 $\tau$ interpreted {\ $displaystyle \tau }$ 기호가 $\tau$ 있는 그들의 기초에 엡실론 미적분을 사용했다.따라서 $P(x)$ ( $P(x)$ ) $P(x)$ 이( $\tau _{x}(P)$ ) 술어라면 $P(x)$ , $\tau _{x}(P)$ $\tau _{x}(P)$ ( $\tau _{x}(P)$ P $\tau _{x}(P)$ {\ $displaystyle \tau _{x}(P)}$ 은 P{\ $displaystyle P$ }을(가 있는 경우, 그렇지 않으면 임의의 객체를 반환함)을 만족시키는 하나의 특정 객체인 $\tau _{x}(P)$ 것이다. $P$ 따라서 우리는 선택함수로부터 정량자를 얻을 수 있다. 예를 들어 $P(\tau _{x}(P))$ $P(\tau _{x}(P))$ ( $P(\tau _{x}(P))$ x ( $P(\tau _{x}(P))$ ) ${\displaystyle$ P $(\tau _{x}(P)}}$ 는 $P( \tau_{x}(P))$ ( $(\exists x)(P(x))$ x ) $(\exists x)(P(x))$ ( $(\exists x)(P(x))$ ( ( $(\exists x)(P(x))$ ) ${\displaystystyle (\exist$ x $)(x)})}$ 과 동일하다 $(\exists x)(P(x))$ ^[3]

하지만 부르바키의 선택 운영자는 평소보다 더 강력하다. 즉, 세계적인 선택 운영자다.즉, 글로벌 선택의 공리를 내포하고 있다.^[4]힐버트는 엡실론 미적분을 소개하면서 이것을 깨달았다.^[5]

참고 항목

메모들

^ Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann". Mathematische Annalen. 59 (4): 514–16. doi:10.1007/BF01445300.
^ Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.
^ Bourbaki, Nicolas. Elements of Mathematics: Theory of Sets. ISBN 0-201-00634-0.
^ 존 해리슨, "Bourbaki View" 에프린트.
^ "Here, moreover, we come upon a very remarkable circumstance, namely, that all of these transfinite axioms are derivable from a single axiom, one that also contains the core of one of the most attacked axioms in the literature of mathematics, namely, the axiom of choice: $A(a)\to A(\varepsilon (A))$ , where $\varepsilon$ $\varepsilon$ 은 $\varepsilon$ (는) transfinite 논리적 선택 함수다."힐버트(1925), "인피니트 온 더 인피니트"는 프레게에서 괴델까지 장 반 헤이제노르트에서 발췌했다.nCatLab에서.

참조

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Choice 함수의 자료가 통합되어 있다.

[Zermelo,_1904-1] Zermelo, Ernst (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann". Mathematische Annalen. 59 (4): 514–16. doi:10.1007/BF01445300.

[2] Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.

[3] Bourbaki, Nicolas. Elements of Mathematics: Theory of Sets. ISBN 0-201-00634-0.

[4] 존 해리슨, "Bourbaki View" 에프린트.

[5] "Here, moreover, we come upon a very remarkable circumstance, namely, that all of these transfinite axioms are derivable from a single axiom, one that also contains the core of one of the most attacked axioms in the literature of mathematics, namely, the axiom of choice: $A(a)\to A(\varepsilon (A))$ , where $\varepsilon$ $\varepsilon$ 은 $\varepsilon$ (는) transfinite 논리적 선택 함수다."힐버트(1925), "인피니트 온 더 인피니트"는 프레게에서 괴델까지 장 반 헤이제노르트에서 발췌했다.nCatLab에서.

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