파이겐바움 상수

파이겐바움 상수 δ 거리의 연속 분기 도표의 비율의 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den의 한계를 표현한다.{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}Li/Li+1.

특히 분리 이론인 수학에서 Feigenbaum 상수는 둘 다 비선형 지도에 대한 분리 도표에서 비율을 표현하는 두 개의 수학 상수다. 그것들은 물리학자 미첼 J의 이름을 따서 지어졌다. 파이겐바움.

역사

파이겐바움(Feigenbaum)은 원래 첫 번째 상수를 로지스틱 지도에서 기간별 분기와 연관시켰지만, 또한 단일 2차원의 최대치로 모든 1차원 지도를 보유하는 것을 보여주었다. 이러한 일반성의 결과로, 이 설명에 해당하는 모든 혼란스러운 시스템은 동일한 비율로 분리될 것이다. 파이겐바움은 1975년에 이 발견을 하였고,^[1]^[2] 1978년에 정식으로 출판했다.^[3]

첫 번째 상수

첫 번째 파이겐바움 상수 Δ는 1-모수 지도의 두 배가 되는 모든 기간 사이의 다음 분기 간격에 대한 제한 비율이다.

x_{i+1}=f(x_{i}),

여기서 $f (x)$ 는 분기 매개변수 $a$ 에 의해 매개변수화된 함수다.

그것은 한계에^[4] 의해 주어진다.

\cHB =\lim _{n\to \flt }{n-1}-a_{n-2}}:{a_{n}-a_{n-1}}=4.669\,1909\,\,\ldots,

여기서 $a$ 는_n n번째 기간의 두 배인 $a$ 의 이산형 값이다.

이름

파이겐바움 상수
파이겐바움 분기 속도
삼각주를 달다

가치

소수점 30자리 : Δ = 4.669201609102990671853203820466…
(OEIS에서 시퀀스 A006890)
단순한 합리적 근사치는 다음과 같다: 621/133이며, 이는 5개의 유의한 값(반올림 시)으로 정확하다. 더 정밀하게 하려면 7개의 유의한 값으로 올바른 1228/263을 사용하십시오.
대략 $10(1 / 192$ - $1$ )과같으며 오류는 0.0015%이다.

삽화

비선형 지도

이 숫자가 어떻게 발생하는지 보려면 실제 1-모수 맵을 고려하십시오.

f(x)=a-x^{2}.

여기서 $a$ 는 분기 매개변수, $x$ 는 변수다. 주기가 2배가 되는 $a$ 값(예: 주기-2 궤도가 없는 $a$ 에 대한 가장 큰 값 또는 주기-4 궤도가 없는 a에 대한 $가장$ 큰 값)은 $a 1$ , $등$ 이다₂. 아래 표는 다음과 같다.^[5]

$n$	기간	분기 매개변수( $a n$ )	$비율 n -1 n -1$ a - $a n -2 / a n$ - a
1	2	0.75	—
2	4	1.25	—
3	8	1.3680989	4.2337
4	16	1.3940462	4.5515
5	32	1.3996312	4.6458
6	64	1.4008286	4.6639
7	128	1.4010853	4.6682
8	256	1.4011402	4.6689

마지막 열의 비율은 첫 번째 파이겐바움 상수로 수렴된다. 로지스틱 지도에 대해 동일한 숫자가 발생함

f(x)=ax(1-x)

실제 매개변수 $a$ 및 변수 $x$ . 분기 값 다시 표 작성:^[6]

$n$	기간	분기 매개변수( $a n$ )	$비율 n -1 n -1$ a - $a n -2 / a n$ - a
1	2	3	—
2	4	3.4494897	—
3	8	3.5440903	4.7514
4	16	3.5644073	4.6562
5	32	3.5687594	4.6683
6	64	3.5696916	4.6686
7	128	3.5698913	4.6692
8	256	3.5699340	4.6694

프랙탈

음-x

방향으로 이동하면서 둥근 형상을 줌으로써 보여지는 만델브로트 세트의 자기 유사성. 디스플레이 중심은 (-1, 0)에서 (-1.31, 0)까지 회전하고, 뷰는 0.5 × 0.5에서 0.12 × 0.12로 확대하여 Feigenbaum 비율을 근사하게 한다.

복합 2차 다항식을 위한 만델브로트의 경우

f(z)=z^{2}+c

파이겐바움 상수는 복잡한 평면에서 실제 축에 있는 연속 원 지름 사이의 비율이다(오른쪽 애니메이션 참조).

$n$	$기간 n$ = 2	분기 매개변수( $c n$ )	비율 $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ = $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ - $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ - c $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ - $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ - 2 $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ - n $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ - $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$ ${\dfrac{c_{n-1}-c_{n-2$ }}:{ $c_{n}-c_{n-1$ }-{n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1 $}:{$ n-1}:{n-1}:{n-1}:{n-1}
1	2	−0.75	—
2	4	−1.25	—
3	8	−1.3680989	4.2337
4	16	−1.3940462	4.5515
5	32	−1.3996312	4.6458
6	64	−1.4008287	4.6639
7	128	−1.4010853	4.6682
8	256	−1.4011402	4.6689
9	512	−1.401151982029
10	1024	−1.401154502237
$\infty$		−1.4011551890…

분기 매개변수는 기간-2 $n$ 성분의 루트 포인트다. 이 시리즈는 파이겐바움 $포인트$ c = -1.401155...... 마지막 열의 비율은 첫 번째 파이겐바움 상수로 수렴된다.

다른 지도들 또한 이 비율을 재현하는데, 이러한 의미에서 분기 이론의 파이겐바움 상수는 기하학에서는 $π$ , 미적분학에서는 $e$ 와 유사하다.

두 번째 상수

두 번째 파이겐바움 상수 또는 파이겐바움 알파 상수(OEIS에서 시퀀스 A006891),

\displaystyle \cHB\2.502\907\875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218...,}

틴의 폭과 틴의 두 부분 중 하나의 너비 사이의 비율이다(폴드에 가장 가까운 틴은 제외). 부호(-)는 하부 하위조(하위조)와 티네( $tine$ ) 폭(^[7]width) 사이의 비율을 측정할 때 α에 적용된다.

이러한 수치는 대규모의 역동적 시스템(예를 들어 인구 증가에 수도꼭지를 떨어뜨리는 것)에 적용된다.^[7]

단순한 합리적 근사치는 13/11 × 17/11 × 37/27 = 8177/3267이다.

특성.

두 숫자 모두 비록 그것이 증명되지는 않았지만 초월적이라고 여겨진다.^[8] 또한 어느 상수라도 비이성적이라는 알려진 증거도 없다.

1982년 오스카 란포드가^[9] 컴퓨터 보조로 수행한 파이겐바움 상수의 보편성에 대한 첫 번째 증거 (1987년^[10] 제네바 대학의 장 피에르 에크만과 피터 위트워의 작은 수정으로) 수년에 걸쳐, 미하일 류비히가 최초의 완전한 비수적 증거를 만드는 데 도움을 주면서, 증명서의 다른 부분에 대해 비수리적 방법이 발견되었다.^[11]

참고 항목

메모들

^ Feigenbaum, M. J. (1976). "Universality in complex discrete dynamics" (PDF). Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975–1976.
^ Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (1996). Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer. ISBN 0-387-94677-2.
^ Feigenbaum, Mitchell J. (1978). "Quantitative universality for a class of nonlinear transformations". Journal of Statistical Physics. 19 (1): 25–52. doi:10.1007/BF01020332. S2CID 124498882.
^ Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920825-8.
^ 악어드, 페이지 503.
^ 악어드, 페이지 504.
^ ^a ^b Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Studies in Nonlinearity. Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0453-6.
^ Briggs, Keith (1997). Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems (PDF) (PhD thesis). University of Melbourne.
^ Lanford III, Oscar (1982). "A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures". Bull. Amer. Math. Soc. 6 (3): 427–434. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15008-X.
^ Eckmann, J. P.; Wittwer, P. (1987). "A complete proof of the Feigenbaum conjectures". Journal of Statistical Physics. 46 (3–4): 455. Bibcode:1987JSP....46..455E. doi:10.1007/BF01013368. S2CID 121353606.
^ Lyubich, Mikhail (1999). "Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture". Annals of Mathematics. 149 (2): 319–420. arXiv:math/9903201. Bibcode:1999math......3201L. doi:10.2307/120968. JSTOR 120968. S2CID 119594350.

참조

엘거드, 캐슬린 T, 팀 D. 사우어, 제임스 A. 요크, 혼돈: 동력학 시스템 소개, 수학 과학 스프링거 교과서, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1
Briggs, Keith (July 1991). "A Precise Calculation of the Feigenbaum Constants" (PDF). Mathematics of Computation. 57 (195): 435–439. Bibcode:1991MaCom..57..435B. doi:10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6.
Briggs, Keith (1997). Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems (PDF) (PhD thesis). University of Melbourne.
Broadhurst, David (22 March 1999). "Feigenbaum constants to 1018 decimal places".

Weisstein, Eric W. "Feigenbaum Constant". MathWorld.

외부 링크

OEIS 시퀀스 A006891(Feigenbaum 감소 파라미터의 십진수 확장)

OEIS 시퀀스 A094078(Pi + 아크탄(e^Pi)의 십진 확장)

파이겐바움 상수 – PlanetMath
Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). " $δ$ – Feigenbaum Constant". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.

[1] Feigenbaum, M. J. (1976). "Universality in complex discrete dynamics" (PDF). Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975–1976.

[2] Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (1996). Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer. ISBN 0-387-94677-2.

[3] Feigenbaum, Mitchell J. (1978). "Quantitative universality for a class of nonlinear transformations". Journal of Statistical Physics. 19 (1): 25–52. doi:10.1007/BF01020332. S2CID 124498882.

[4] Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920825-8.

[5] 악어드, 페이지 503.

[6] 악어드, 페이지 504.

[NonlinearDynamics-7] Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Studies in Nonlinearity. Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0453-6.

[8] Briggs, Keith (1997). Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems (PDF) (PhD thesis). University of Melbourne.

[9] Lanford III, Oscar (1982). "A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures". Bull. Amer. Math. Soc. 6 (3): 427–434. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15008-X.

[10] Eckmann, J. P.; Wittwer, P. (1987). "A complete proof of the Feigenbaum conjectures". Journal of Statistical Physics. 46 (3–4): 455. Bibcode:1987JSP....46..455E. doi:10.1007/BF01013368. S2CID 121353606.

[11] Lyubich, Mikhail (1999). "Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture". Annals of Mathematics. 149 (2): 319–420. arXiv:math/9903201. Bibcode:1999math......3201L. doi:10.2307/120968. JSTOR 120968. S2CID 119594350.

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