페이소르

직렬 RLC 회로의 예 및 특정의 각 페이저 다이어그램ω위 다이어그램의 화살표는 페이저 다이어그램(축이 표시되지 않은 복잡한 평면)에 그려진 페이저이며, 아래 다이어그램의 화살표(전압의 기준 극성 및 전류의 기준 방향)와 혼동해서는 안 됩니다.

물리학 및 공학에서 위상소(phasor, 위상^[1]^[2] 벡터의 포트만테오)는 진폭(A), 각도 주파수(θ) 및 초기 위상(θ)이 시간 불변인 사인파 함수를 나타내는 복소수이다.이것은 분석 ^[3]표현이라고 불리는 보다 일반적인 개념과 관련이 있는데, 이것은 시간과 주파수에 따라 정현동을 복잡한 상수와 인자의 곱으로 분해합니다.진폭과 위상에 따라 달라지는 복소 상수는 위상 또는 복소 ^[4]^[5]진폭으로 알려져 있으며 (이전 텍스트에서는) 소결체^[6] 또는 ^[6]복소체로 알려져 있습니다.

시간 변동 전류에 의해 구동되는 전기 네트워크의 일반적인 상황은 모두 같은 주파수와 다른 진폭과 위상을 가진 여러 개의 정현파가 존재한다는 것입니다.분석 표현의 유일한 차이는 복잡한 진폭(위상)이다.이러한 함수의 선형 조합은 위상(위상 산술 또는 위상 대수라고^[7]^{: 53} 알려져 있음)과 시간/주파수 의존 인자의 선형 조합으로 모두 공통으로 표현될 수 있다.

페이저라는 용어의 기원은 벡터의 가능성과 다소 유사한 (다이어마틱) 미적분이 ^[6]페이저에게도 가능하다는 것을 정당하게 시사한다.위상 변환의 중요한 추가 특징은 사인파 신호의 미분 및 적분(진폭, 주기 및 위상이 일정함)이 위상에서의 단순한 대수 연산에 대응한다는 것입니다. 따라서 위상 변환은 단순한 대수적 해법으로 RLC 회로의 AC 정상 상태를 분석(계산)할 수 있습니다. 시간 ^[8]^[9]^[a]영역의 미분 방정식(실제 계수를 사용하여)을 푸는 대신 위상 영역의 방정식(복잡한 계수를 사용하여 계산)을 수행합니다.위상 변환의 원조는 19세기 ^[10]^[11]후반 제너럴 일렉트릭에서 일하던 찰스 프로테우스 스타인메츠였습니다.

몇 가지 수학적 세부사항을 광택함으로써 페이저 변환은 라플라스 변환의 특정 사례로도 볼 수 있으며, 추가로 RLC ^[9]^[11]회로의 과도 응답을 (동시에) 도출하는 데 사용할 수 있습니다.그러나 라플라스 변환은 수학적으로 적용하기가 더 어려우며, 정상 상태 ^[11]분석만 필요한 경우 노력이 정당화되지 않을 수 있습니다.

그림 2. 복소평면에

A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}

A

A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}

e

A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}

(

A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}

t +

)

) {

displaystyle

A \

cdot

e ^ {

i

( \

메가

t + \

theta

) } 를

A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}

나타내면, 그 허수부와 실수에 의해 형성된 벡터는 원점을 중심으로 회전한다.매그니튜드는 A이며, 2µ/µ초마다 1 사이클이 완료됩니다.θ는 t =

0

(

및

n의 모든 정수

값

에 대해 t =

n 2µ

/m2에서)에서 양의 실제

축

으로 형성되는 각도이다.

표기법

위상 표기법(각도 표기법이라고도 함)은 전자 공학 및 전기 공학에서 사용되는 수학 표기법입니다. $1\angle \theta$ ∠ { $displaystyle$ 1 $\ angle$ \ $theta$ }는 $1\angle \theta$ $(\cos \theta ,\,\sin \theta )$ $(\cos \theta ,\,\sin \theta )$ $cos$ 、 $(\cos \theta ,\,\sin \theta )$ \ $theta ) 또는$ $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ cos $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ + $i$ $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ $(\cos \theta ,\,\sin \theta )$ $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ $e$ { $displaystyle$ \ $cos \theta +$ \ $sin \theta =$ { displaystyle $})$ 를 나타낼 수 있습니다.nnitude가 1. 극좌표가 $매그니튜드$ A(\ $displaystyle$ $\theta$ $)$ 이고 $\theta$ 가 {\ $displaystyle\$ theta $\theta$ }인 $A\angle \theta .$ 벡터는 $A\angle \theta .$ 로 $A\angle \theta .$ 됩니다 $.$

각도는 도에서 라디안으로 암묵적으로 변환하여 도 단위로 나타낼 수 있습니다. $1\angle 90$ 를 들어 1 $1\angle 90$ 90 ${$ $displaystyle$ 1 \ $angle$ 90 $1\angle 90$ }은 $1\angle 90$ $1\angle 90^{\circ },$ $(0,\,1)$ $(0,\,1)$ 는) 1 $1\angle 90^{\circ },$ 90 $1\angle 90^{\circ },$ , { $style$ 1 \ $angle$ 90^ { \ $display$ }, 즉 벡터 ( $(0,\,1)$ , 1) $(0,\,1)$ { $displaystyle (0 , 1$ ) 또는 $e^{i\pi /2}=i.$ e $e^{i\pi /2}=i.$ $e^{i\pi /2}=i.$ $e^{i\pi /2}=i.$ $=$ . { $e^{i\pi /2}=i.$ \ $displaystyle$ e ^ { $i \ pi$ / 2 } }로 가정합니다 $.$ $}$

정의.

일정한 진폭, 주파수 및 위상을 갖는 실값 사인파의 형식은 다음과 같습니다.

(\displaystyle A\cos(\Omega t+\theta )

$t$ 서 t $\displaystyle$ t만 시간 $t$ 지연됩니다.가상 성분 포함:

(\displaystyle i\cdot A\sin(\omega t+\theta))}

는 오일러의 공식에 따라 lede 단락에서 설명된 인수분해 특성을 제공한다.

A\cos(\Omega t+\theta)+i\cdot A\sin(\Omega t+\theta)=Ae^{i\theta}\cdot e^{i\cdot t

진짜 부위는 정현동체예요복소수 표현의 장점은 다른 복소수 표현과의 선형 연산이 다른 복소수 정현동체의 실제 부분과 동일한 선형 연산을 반영하는 복잡한 결과를 낳는다는 것이다.또한 모든 연산은 위상 $Ae^{i\theta },$ $Ae^{i\theta },$ $,,$ {\ $displaystyle$ Ae $^{i\theta}}$ 만으로 $Ae^{i\theta },$ 수행할 수 있으며, 결과의 실제 부분 앞에 공통 인수 $e^{i\omega t}$ i $e^{i\omega t}$ t {\ $displaystyle$ e $^{i\obega$ t $}$ 를 $e^{i\omega t}$ 다시 삽입한다.

$Ae^{i(\omega t+\theta )}$ A $Ae^{i(\omega t+\theta )}$ i ( $Ae^{i(\omega t+\theta )}$ t + $display$ ) ${$ i ( \ $displaystyle$ Ae^ { i ( \ $A\cos(\omega t+\theta ).$ t $A\cos(\omega t+\theta ).$ + $A\cos(\omega t+\theta ).$ \ $theta$ ) $A\cos(\omega t+\theta ).$ is $Ae^{i(\omega t+\theta )}$ $A\cos(\omega t+\theta ).$ 、 $A\cos(\omega t+\theta ).$ \ $displaystyle$ A \ $cos$ ( \ $메가$ t + \ $theta$ ) $A\cos(\omega t+\theta ).$ } 2 figure $A\cos(\omega t+\theta ).$ figure figure figure the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the the 다음 섹션에서처럼 전체 기능을 ^[13]단계라고 부르는 것이 편리할 수 있습니다.그러나 phasor라는 용어는 보통 정적 $Ae^{i\theta }.$ $Ae^{i\theta }.$ $Ae^{i\theta }.$ . { $displaystyle$ Ae $^{i\theta }$ 만을 의미합니다.

산술

상수에 의한 곱셈(스칼라)

위상 $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ i $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ t \ $display style$ Ae^ { $i$ \ $theta$ } $e^$ { $i$ \ $obega$ t $}$ 에 $Ae^{i\theta }e^{i\omega t}$ 복소수 $Be^{i\phi }$ $Be^{i\phi }$ ${\$ \ $display style$ Be^ { $i$ \ $phi }$ 를 곱하면 다른 위상 A가 생성된다.즉, 유일한 효과는 기본 사인파의 진폭과 위상을 변경하는 것입니다.

{begin {aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta}\cdot Be^{i\phi}\right)\cdot e^{i\operatorname t}\right)\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABE^{i(\theta +\phi)}\right)\cdot e^{i\operatorname {Re}\right)\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi)).\end { aligned}

전자제품에서 B $Be^{i\phi }$ i $Be^{i\phi }$ ( \ $displaystyle$ Be $^$ { i \ phi $}$ )는 $Be^{i\phi }$ 시간에 관계없이 임피던스를 나타냅니다.특히 이것은 다른 페이저의 약어 표기가 아닙니다.위상 전류에 임피던스를 곱하면 위상 전압이 생성됩니다.그러나 두 개의 위상(또는 위상 제곱)의 곱은 새로운 주파수 성분을 생성하는 비선형 연산인 두 개의 사인파의 곱을 나타냅니다.위상 표기법은 사인파에 의해 자극되는 선형 시스템과 같이 하나의 주파수를 가진 시스템만 나타낼 수 있습니다.

추가

회전 벡터의 덧셈으로서의 위상 합

여러 개의 위상을 합하면 다른 위상이 생성됩니다.이는 동일한 주파수의 정현동의 합계가 해당 주파수의 정현동이기도 하기 때문입니다.

디스플레이 스타일A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1}+)+A_{2}\cos(\operatorname {{2}\[3pt]={}&\operatorname {Re}\left(A_{1}e^{i\theta_{1}e^{1}){i\theta_{1}\right}+\operatorname {Re}\left(A_{2}e^{ta})_2ta}_ta{2}A_{2}e^{i\theta_{2}\right}\[3pt]={}&\operatorname {Re}\left(\left(A_{1}e^{i\theta_{1}e^{1})+A_{2}e^{i\theta_{2}\right}^{i}\operatorname{i}\light})A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end {aligned}}}

여기서:

{\displaystyle A_{3}^2}=(A_{1}\cos \theta_{2}\cos \theta_{2}^{2}+(A_{1}\sin \theta_{2}\sin \theta_{2}\sin \theta_{2})^2}+{2}\sin \theta_{2},

${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ 3 ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ [ - ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ 2, ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ 2 ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ ]{ $textstyle \theta$ _ { $3}\in \left$ [ - { \ $frac$ { \ $pi$ } {2 $}$ }, {\ $frac { 3$ \ $pi$ }{2}}\ $right$ 를 선택하면 $\theta _{3}$ 3 \ $displaystyle$ \ $theta _ {$ 3}는 다음과 같습니다 $\theta _{3}$ .

$2$ $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ ${2}\sin(\theta$ _{ $2})\cdot {frac$ { $pi }{$ 2 ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$ }, $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ 1 $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ + $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ cos $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ 2 $=$ $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ , $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ { $displaystyle A_{1}\cos$ \ $theta _$ { $2}\$ $cos$ \ $ta$ _2} $,$ (\displaystyle A_1+ $A_{2$ } sn $A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,$ $)$
Arctan ⁡(1죄 ⁡ θ 1+A2죄 ⁡ θ 21. 왜냐하면 ⁡ θ 1+A2야 ⁡ θ 2),{\displaystyle\arctan \left({\frac{A_{1}\sin \theta_{1}+A_{2}\sin \theta_{2}}{A_{1}\cos \theta_{1}+A_{2}\cos \theta_{2}}}\right),}A1-뭔 ⁡ θ 1+A2야 ⁡ θ 2>0{\displaystyle A_{1}\cos cm이다.그 $ta$ _ ${1}+A_{2}\cos \theta$ _ ${2}>0$
π+arctan ⁡(1죄 ⁡ θ 1+A2죄 ⁡ θ 21. 왜냐하면 ⁡ θ 1+A2야 ⁡ θ 2),{\displaystyle\pi+\arctan \left({\frac{A_{1}\sin \theta_{1}+A_{2}\sin \theta_{2}}{A_{1}\cos \theta_{1}+A_{2}\cos \theta_{2}}}\right),}A1-뭔 ⁡ θ 1A2야 ⁡ θ 2<+0{\displaystyle A_.{1} $\cos \theta$ _ ${1}+A_{2}\cos \theta$ _ ${2}<0$

또는 복소 평면의 코사인 법칙(또는 각도 차이에 대한 삼각 항등식):

{\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ}-\Delta \theta)=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta )

여기서

\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.

\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.

\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.

1 -

\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.

2

\Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.

. {

displaystyle \Delta \theta

= \

theta

_

{1}-\theta

_

{2}.

}

요점은 A와 do이₃ or 또는 t에 의존하지 않는다는 점이며₃, 이것이 위상 표기를 가능하게 한다.시간 및 빈도 의존성은 다른 페이저를 생성하는 연산만 사용한다면 억제되고 결과에 다시 삽입될 수 있습니다.각도 표기법에서는 위에 표시된 연산이 다음과 같이 표시됩니다.

\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}

덧셈을 보는 또 다른 방법은 좌표가 $[A 1$ cos $(δt + θ 1 1$ ), A sin $(δt$ $+ θ 1$ ), $A 2 cos(δt + θ 2),$ A sin(θt + $θ 2$ )]인₂ 2개의 벡터를 벡터적으로 $가산$ 하여₃ 좌표가 $[A 3$ cos( $δt$ $+ θ 3$ ), $SIN(θ + θ 3$ )]인 결과 벡터를 생성하는 것이다(애니메이션 참조).

완전 파괴적 간섭의 세 파동의 위상도

물리학에서, 이러한 종류의 덧셈은 정현동체가 건설적으로 또는 파괴적으로 서로 간섭할 때 발생합니다.정적 벡터 개념은 다음과 같은 질문에 대한 유용한 통찰력을 제공합니다: "완벽한 취소를 위해 세 개의 동일한 사인파 사이에 어떤 위상 차이가 필요할까요?"이 경우 길이가 같은 3개의 벡터를 가져다가 마지막 머리가 첫 번째 꼬리와 일치하도록 머리부터 꼬리까지 배치하는 것을 상상해 보십시오.분명히, 이러한 조건을 만족시키는 모양은 정삼각형이므로, 각 위상과 다음 위상 사이의 각도는 120°이다.2µµµ3 라디안) 또는 파장 µ3의 3분의 1입니다.따라서 각 파형의 위상차도 3상 전력의 경우와 마찬가지로 120°여야 합니다.

즉, 이것은 다음과 같은 것을 나타내고 있습니다.

\displaystyle \cos(\opha t)+\cos \left(\opha t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\opha t-{\frac {2\pi }{3}}\right)= 0.}

세 개의 파형의 예에서 첫 번째 파형과 마지막 파형의 위상차는 240°인 반면 두 개의 파형의 경우 파괴적 간섭은 180°에서 발생합니다.많은 파도의 한계에서 위상자는 파괴적 간섭을 위한 원을 형성해야 하며, 따라서 첫 번째 위상자는 마지막 위상자와 거의 평행해야 합니다. $즉$ , 많은 소스에서는 첫 번째 파장과 $마지막$ 파장이 360도 다를 때 파괴적 간섭이 발생한다는 것을 의미합니다 $.$ $\lambda$ , 단일 슬릿 회절에서는 원단의 빛이 근방의 빛보다 더 먼 파장을 이동할 때 최소 파장이 발생합니다 $\lambda$

단일 벡터가 시계 반대 방향으로 회전하면 A 지점의 팁이 360° 또는 2µ 라디안의 완전한 회전으로 하나의 완전한 사이클을 나타냅니다.위와 같이 이동 팁의 길이가 다른 각도 간격으로 그래프에 전송되면 정현파 파형이 시간 0으로 왼쪽부터 그려집니다.수평 축을 따라 있는 각 위치는 0 시간 이후 경과한 시간을 나타냅니다( $t$ = $0$ ).벡터가 수평일 때 벡터의 끝은 0°, 180° 및 360°의 각도를 나타냅니다.

마찬가지로 벡터의 끝이 수직인 경우 90° 또는 µ2에서 양의 피크값(+ $A max$ )과 270° 또는 3µ2에서 음의 피크값(- $A max$ )을 나타냅니다.그런 다음 파형의 시간 축은 페이저가 이동한 각도를 도 또는 라디안으로 나타냅니다.따라서 위상기는 회전 벡터의 스케일 전압 또는 전류 값을 나타내며, $어느$ 시점에서는 "동결"되어 있으며, 위의 예에서는 30°의 각도로 되어 있습니다.

때로는 교대 파형을 분석할 때 특히 동일한 축에서 서로 다른 두 파형을 비교하고자 할 때 특정 순간에 교대 양을 나타내는 위상기의 위치를 알아야 할 수도 있습니다.예를 들어 전압과 전류입니다.위 파형에서는 파형이 시간 $t$ = $0$ 에서 해당 위상각(도 또는 라디안)으로 시작된다고 가정했습니다.

그러나 두 번째 파형이 이 영점의 왼쪽 또는 오른쪽에서 시작되거나 두 파형 간의 관계를 단계적 표기법으로 나타내려면 이 위상 차이를 고려해야 합니다.Φ를 선택합니다.이전 위상차 자습서의 아래 다이어그램을 참조하십시오.

차별화 및 통합

페이저의 시간 미분 또는 적분은 다른 페이저를 ^[b]생성합니다.예를 들어 다음과 같습니다.

{begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {mathrm {d} {\mathrm {d} t}}}{\mathord {left(Ae^{i\theta}\cdot e^{i\light}}}}}}}}\오른쪽)\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta}\cdot i\omega e^{i\omega t}\오른쪽)\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta}\cdot e^{i\pi /2}\operatorname {Re}\right)\={}&\operatorname {Re} \left(\ota Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\operatorname t}\right)\={}&\obega A\cdot \cos \left(\obega t+\theta + {\frac {pi }{2}}\오른쪽).\end { aligned}

따라서, 위상 표현에서, 정현파의 시간 도함수는 단지 ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$ i ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$ ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$ ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$ / 2 $⋅$ { $textstyle$ i \ $omega$ = $e^{i\pi /2}\cdot \omega$ ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$ 의 곱이 된다.

마찬가지로 위상 적분은 1 ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ e - ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ / ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ . { $textstyle$ \ ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ $frac$ { $1 }$ { $i$ \ $omega$ } $= frac$ { $e$ ^ { - $i$ $e^{i\omega t},$ \ $pi$ ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ / } { \ $obega$ ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ }} $e^{i\omega t},$ }의 ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ $e^{i\omega t},$ 에 해당한다 $.$

단계적 산술로 선형 미분 방정식을 풀 때는 방정식의 모든 항에서 e $e^{i\omega t}$ $e^{i\omega t}$ ${\$ e $^{i\mega t}$ 를 $e^{i\omega t}$ $e^{i\omega t}$ 해답에 다시 삽입하기만 하면 됩니다.예를 들어, RC 회로의 캐패시터 전체 전압에 대한 다음 미분 방정식을 고려합니다.

{\mathrm {d} {\text{C}} {\mathrm {d} t} + {\frac {RC} {{RC}} = displaystyle {RC} v_{\text{S}}}(t)

이 회로의 전압 소스가 사인파일 경우:

{\displaystyle v_{\text{S}}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta )

$v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ S $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ ( $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ ) $=$ $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ ( $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ V $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ e $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ t ) $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ . $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ { $display$ style $v_{\text{S}}(t$ )=\operatorname { $Re} \left(V_{\text{s}}\cdot$ e $^{i\obe$ t $}\$ right $)$ 로 $v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).$ 할 수 있습니다. $}$

({displaystyle v_{\text{C}}=\operatorname {Re}\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\operatorname t}\right)})

여기서

V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },

V

V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },

V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },

V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },

V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },

、

{

displaystyle

V _ { \

text

{ s } =

V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },

V _ { \

V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },

{

P}}e^{i\theta}}

및

V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },

V_{\text{c}}

V_{\text{c}}

c

V_{\text{c}}

{\

displaystyle V_{\text{c}}}

는

V_{\text{c}}

미지량이다.

단계적 속기 표기법에서 미분방정식은 다음과 같이 감소합니다.

i_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}=black {1}{RC}V_{\text{s}}}.

파생

({displaystyle {\frac {mathrm {d} {\mathrm {d} t}} \operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}} \cdot e^{i\operatorname {Re} \right) + {\frac {RC} \operatorname {Re}(V_{\text{c}\c} \c} \cdi})

(제1호)

이는 $모든$ t $\displaystyle$ t $t$ 특히 ${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$ - ${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$ 2 ${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$ { \ $textstyle$ t - { \ $frac }$ { $2$ \ $omega }$ 에 ${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$ 대해 유지되어야 하므로 다음과 같습니다.

{\frac {mathrm {d} {\mathrm {d} t}} \operatorname {Im} \left(V_{\text{c}) \cdot e^{i\operatorname {Im}\right} + {\frac {RC} \ operatorname {Imega} \left(V_{cd}\cd} \cd})

(제2호)

또한 다음과 같은 것을 쉽게 볼 수 있다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\operatorname{리}\left(V_{\text{c}}\cdote^{i\omega t}\right)&,=\operatorname{리}\left({\frac{\mathrm{d}}{{d}t}}\mathrm{\mathord{\left(V_{\text{c}}\cdote^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname{리}\left(i\omega V_{\text{c}}\cdote^{i\omega t}\right)\\{\frac{\math.회사{d} {\mathrm {d} t} {\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\Omega t}\right)&=\operatorname {Im} \leftfrac {mathrm {d} {d} {\mathrm {d}} {\mathrm {d}}} {\cd}} {\cd} {\cd} {\cd}} {\cd} {\cd} {\cd}}} {\cd}}\end { aligned}}

이들을 Eq.1과 Eq.2로 대체하고 Eq.2에 $,\display$ i $,\$ 를 $i,$ 곱하고 두 방정식을 모두 더하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

{\text{c}\cdot e^{i\opega t}+{\frac {1}{RC}}\cdot e^{i\opha t}&=cdot frac {1}{RC}V_{\texts}\cdot e^{\i}좌측면 t}\cdot e^{i\opha t}&=\frac {1}{RC}V_{\text{s}\right}\cdot e^{i\opha t}\i\opha V_{\text{c}+{\frac {1}V_{\text{c}}}&frac{RC}}}V}}}V\end { aligned}

페이저 콘덴서 전압에 대한 해결은 다음과 같습니다.

V_{\text{c}}=param frac {1}{1+i\Omega RC}}\cdot V_{\texts}}}=paramfrac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta}

앞에서 설명한 바와 같이 $V를$ 계수는 V $V_{\text{P}}$ 에 $V_{\text{P}}$ V $v_{\text{C}}(t)$ )의 진폭과 위상 $v_{\text{C}}(t)$ 를 $V_{\text{s}}$ $v_{\text{C}}(t)$ 나타냅니다(\ $displaystyle$ $V_{\text{$ $C}}(t$ $\theta .$ $}}$ 및 $..$ {\ $displaystyle \theta$ }

극좌표 형태에서는 다음과 같다.

{\sqrt {1+((오메가 RC)^{2}}}}}\cdot e^{-i\phi(\omega)

\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)

서

\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)

(

\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)

)

\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)

\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)

r

R C

\phi (\omega )=\arctan(\omega RC)

） \

displaystyle \phi

( \ omega ) = \

arctan

( \

omega

RC

)

。

그 때문에,

v_{\text{C}}(t)=param frac {1}{\displayrt {1+(오메가 RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{\text}P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega ) 。

위상비

복소 임피던스라고 불리는 양은 정현적으로 변화하는 함수에 대응하지 않기 때문에 위상자가 아닌 두 위상자의 비율입니다.

적용들

회로 법칙

페이저를 사용하면 DC 회로를 해결하는 기술을 적용하여 선형 AC ^[a]회로를 해결할 수 있습니다.

저항기에 대한 옴의 법칙: 저항기는 시간 지연이 없으므로 신호의 위상이 변경되지 $않으므로$ V = $IR$ 이 유효한 상태로 유지됩니다.
저항기, 인덕터 및 콘덴서에 대한 옴의 법칙: V = IZ입니다. 여기서 $Z$ 는 복합 임피던스입니다.
키르히호프의 회로 법칙: 전압과 전류를 복잡한 페이저로 사용합니다.

AC 회로에는 회로로의 평균 전력을 나타내는 실제 전력( $P$ )과 전력이 앞뒤로 흐르는 것을 나타내는 무효 전력(Q)이 있습니다.복소수 $검정력$ S $= P$ + $jQ$ 및 S의 $크기$ 인 겉보기 검정력을 정의할 수도 있습니다. $위상수로$ 표현되는 AC 회로의 $멱법칙$ 은^* S = VI입니다( $여기$ 서^* I는 $I$ 의 복소공역이고 전압 및 전류 $위상$ V의 크기와 $I$ 는 각각 전압 및 전류의 RMS 값입니다).

이를 통해 저항기, 캐패시터 및 인덕터를 포함하는 단일 주파수 선형 AC 회로를 분석하기 위해 페이저를 사용한 저항 회로 분석 기법을 적용할 수 있습니다.중첩 정리에 따라 모든 파형을 크기와 위상이 있는 사인파 성분(푸리에 직렬 사용)으로 변환한 다음 각 주파수를 별도로 분석하여 서로 다른 파형의 다중 주파수 선형 AC 회로와 AC 회로를 분석하여 전압과 전류를 찾을 수 있습니다.이 솔루션 방법은 사인파형 입력 및 모든 과도현상이 ^[14]소멸된 후 안정 상태에 있는 솔루션에만 적용됩니다.

이 개념은 전기적 임피던스를 나타내는 데 자주 관여합니다.이 경우 위상각은 임피던스에 인가되는 전압과 임피던스를 통해 구동되는 전류 사이의 위상차입니다.

전력 공학

3상 교류 전력 시스템을 분석할 때, 보통 위상자 집합은 0도, 120도 및 240도의 각도에서 단위 크기로 그래픽으로 표현되는 3개의 복잡한 단일 입방근으로 정의됩니다.다상 교류회로량을 페이저로 취급함으로써 평형회로를 간소화할 수 있고, 불균형회로를 대칭성분의 대수적 조합으로 취급할 수 있다.이 접근방식은 전압강하, 전력흐름 및 단락전류의 전기적 계산에 필요한 작업을 크게 단순화합니다.전원 시스템 분석의 맥락에서 위상각은 종종 도 단위로, 크기는 사인파의 피크 진폭 대신 rms 값으로 지정됩니다.

싱크로파저 기술은 디지털 기기를 사용하여 전송 네트워크의 광범위한 지점에서 전송 시스템 전압을 나타내는 페이저를 측정합니다.위상 간의 차이는 전력 흐름과 시스템 안정성을 나타냅니다.

통신: 아날로그 변조

위상기를 사용한 회전 프레임 사진은 진폭 변조(및 그 변형^[15]) 및 주파수 변조와 같은 아날로그 변조를 이해하는 강력한 도구가 될 수 있습니다.

({displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta}\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),})

여기서 괄호 안의 항은 복소 평면에서 회전 벡터로 간주됩니다.

페이저의 $A$ 는 A $(\displaystyle$ A $A$ 이며, $f_{0}$ f(\ $displaystyle f_{$ 0 $f_{0}$ }) $f_{0}$ 속도로 시계 반대 방향으로 회전하며, $t=0$ t $t=0$ (\ $displaystyle$ $\theta$ t $=0)$ 에서 $t=0$ 양의 실제 축에 대한 각도는 $θ$ (\ $displaystyle$ \theta $\theta$ })가 $\theta$ 됩니다.

$x(t)$ x $x(t)$ ( $x(t)$ ) $x(t)$ { $displaystyle$ x $(t)}$ 는 $x(t)$ 이 벡터를 실제 축에 투영한 것으로 볼 수 있습니다.

AM 변조: 단일 톤 $f_{m}$ $({$ })의 위상도
FM 변조: 단일 톤 $f_{m}$ $fm의$ 위상도({displaystyle $f_{m$ })

「」를 참조해 주세요.

동상 및 직교 컴포넌트
분석 신호, 시간 가변 진폭, 위상 및 주파수에 대한 위상 일반화.
- 복잡한 봉투
단위 크기의 단계인 위상 계수

각주

^ ^a ^b AC ^[7]^{: 53}회로 분석을 포함합니다.
^ 이는 d ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ e ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ t $=$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ t ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ , ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ {\ $textstyle {\frac$ {d $}{dt}e^{i\omega$ t}= $i\omega$ e $^{i\omega$ t $}}$ 에서 ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ 비롯되며, 이는 복소수가 미분 연산자의 고유 함수임을 의미한다.

레퍼런스

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추가 정보

Douglas C. Giancoli (1989). Physics for Scientists and Engineers. Prentice Hall. ISBN 0-13-666322-2.
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외부 링크

[ac-circuits-10] AC ^[7]^{: 53}회로 분석을 포함합니다.

[15] 이는 d ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ e ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ t $=$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ t ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ , ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ {\ $textstyle {\frac$ {d $}{dt}e^{i\omega$ t}= $i\omega$ e $^{i\omega$ t $}}$ 에서 ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$ 비롯되며, 이는 복소수가 미분 연산자의 고유 함수임을 의미한다.

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[14] Singh, Ravish R (2009). "Section 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities". Electrical Networks. Mcgraw Hill Higher Education. p. 4.13. ISBN 978-0070260962.

[16] Clayton, Paul (2008). Introduction to electromagnetic compatibility. Wiley. p. 861. ISBN 978-81-265-2875-2.

[IJRES-17] De Oliveira, H.M. 및 Nunes, F.D. 아날로그 진폭 변조에서의 Phasor 경로에 대하여IJRES(International Journal of Engineering and Science) Vol.2, N.1, Jan., 2014.11-18 페이지.ISSN 2320-9364

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