피타고라스 덧셈

수학에서 피타고라스 덧셈은 두 면으로 볼 때 직각 삼각형의 하이포텐 사용 길이를 계산하는 실제 숫자에 대한 이진 연산이다.피타고라스 정리에 따르면, $옆면$이 ${\displaystyle$ a$}$과 b$$ ${\displaystyle b}$인 삼각형의 경우$,$ 이 길이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

여기서 $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$은(는) 피타고라스 추가 작업을 의미한다$$.^[1]

이 작업은 데카르트 좌표를 극좌표로 변환하는 데 사용할 수 있다.그것은 또한 그것의 합계가 복잡할 때 몇몇 공식에 대해 간단한 표기법과 용어를 제공한다. 예를 들어, 물리학의 에너지-모멘텀 관계가 된다.

그것은 컴퓨터에서 수행되는 제한된 정밀도 계산으로 인해 발생하는 오류를 방지하도록 설계된 방법으로 많은 프로그래밍 라이브러리에서 하이팟 함수로 구현된다.신호 처리 및 측정 불확도 전파에 대한 그것의 응용에서, 같은 조작을 사분법에서 추가라고도 한다.^[2]

적용들

피타고라스 덧셈(및 하이팟 함수로서의 구현)은 종종 카트리지 좌표$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,y)}$에서 극좌표$({\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle (r,\theta )}$^[3][4]:

If measurements ${\displaystyle X,Y,Z,\dots }$ have independent errors ${\displaystyle \Delta _{X},\Delta _{Y},\Delta _{Z},\dots }$ respectively, the quadrature method gives the overall error,

반면 전체 오차의 상한은 다음과 같다.만약 오류가 독립적이지 ^[5]않다면

이는 피타고라스의 정리를 이용하여 각각 불확실성과 동일한 크기를 갖는 직교 벡터를 추가하는 결과물의 크기를 찾아내는 것과 같다.

신호 처리에서, 독립된 소음원으로부터 전체적인 노이즈를 찾기 위해 4차원의 추가가 사용된다.예를 들어, 이미지 센서가 6개의 디지털 숫자의 샷 노이즈, 3개의 다크 전류 노이즈, 그리고 특정 조건 하에서 존슨-나이키스트 노이즈의 twp를 제공하는 경우, 전체적인 노이즈는 다음과 같다.

더 큰 소음원의 지배력을 보여주는 디지털 번호.^[6]

특성.

$▼{\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ 작업이 연관되고 상호 ^[7]작용하며$$

이 정도면 $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus$}에 따른 실수를 콤콤포스메모그룹으로 형성하기에$$ 충분하다.

$\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ 아래의 실제 숫자는 그룹이 아니다$$. because ${\displaystyle \oplus }$은(는) 결과로서 음수를 절대 생성할 수 없는$$ 반면, 그룹의 각 요소는 ID 요소에 의한 곱셈의 결과여야 하기 때문이다.음수가 아닌 숫자에 대해서는 여전히 집단이 아니다. 왜냐하면 피타고라스가 한 숫자를 두 번째 양의 숫자에 더하면 첫 번째 숫자만 증가시킬 수 있기 때문에, 어떤 양의 숫자도 역 요소를 가질 수 없기 때문이다.그 대신 0을 정체성으로 하여 비음수(non-negative number)에 정류성 단모형을 형성한다.

실행

하이픈은 직각 삼각형의 저선용 길이를 계산하기 위해 정의된 수학적 함수다.컴퓨터에서 수행되는 제한적인 정밀도 계산으로 인한 오류를 방지하기 위해 설계되었다.삼각형의 저선용 길이를 계산하는 것은 두 개의 제곱합에 제곱근 함수를 사용하여 가능하지만, 하이픈(x, y)은 매우 크거나 매우 작은 숫자를 제곱할 때 발생하는 문제를 피한다.자연식을 사용하여 계산하면,

x와 y의 매우 크거나 작은 값의 제곱은 컴퓨터에서 계산할 때 기계 정밀도 범위를 초과할 수 있으며, 산술적 과부하 및/또는 산술적 과부하로 인한 부정확한 결과를 초래할 수 있다.하이팟 함수는 이 문제를 일으키지 않고 결과를 계산하도록 설계되었다.

어느 한 입력이 무한하면 결과는 무한하다.이는 다른 입력의 가능한 모든 값에 대해 사실이기 때문에 IEEE 754 부동소수점 표준은 다른 입력 내용이 숫자(NaN)가 아닌 경우에도 참으로 유지되도록 요구한다.^[8]

계산순서

순진한 구현의 어려움은 중간 결과를 확장된 정밀도로 계산하지 않는 한 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$개가 넘치거나 부족할 수 있다는$$ 것이다.일반적인 구현 기법은 필요한 경우 값을 교환하여 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle y}$ $displaystyle$x$\geq$ y$$}}과$($와) 동일한 형식을 사용하는 것이다.

$y{\displaystyle }$/ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y/x}$의 계산은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(가) 모두 0이 아니면$$ 오버플로될 수 없다$$.$y{\displaystyle }$/ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y/x}$ 언더플로우인$$ 경우 최종 결과는 ${\displaystyle 계산}$의${\displaystyle }$정밀도 $내$에서 올바른 x {\$displaystyle$ x $}$과$($와) 같다.제곱근은 1과 2 사이의 값으로 계산된다.마지막으로 ${\displaystyle x}$ $displaystyle$x$}$에 의한 곱셈은 과소 흐름할 수 없으며$$, 결과가 너무 커서 나타낼 수 없을 때만 오버플로된다.

이 이행은 일반적으로 곱셈과 덧셈이 분할과 제곱근보다 훨씬 빠르기 때문에 순진한 이행 비용을 배가할 수 있는 부동소분할이 추가로 필요하다는 단점이 있다.

보다 복잡한 구현에서는 입력 내용을 더 많은 사례로 나누어 이를 회피한다.

• x ${\displaystyle x}$이(가) y ${\displaystyle y}$보다 훨씬 큰 경우$,$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ y ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle x}$ $displaystyle$ x$\oplus y\$ 약 x $\}$ .
• $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$개가 오버플로되면$$ $x$ ${\displaystyle x}$ 및 x ${\displaystyle$ x$}$에 작은 스케일 팩터(예: IEEE 단일 정밀도의 경우⁻⁶⁴ 2)를$$ 곱한 후, 이제 오버플로되지 않는 순진한 알고리즘을 사용하고 결과를 (대) 역(예: 2)으로⁶⁴ 곱하십시오.
• $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$개의 언더플로우인$$ 경우 위와 같이 스케일링하되 스케일링 계수를 반전하여 중간 값을 스케일업하십시오.
• 그렇지 않으면, 순진한 알고리즘을 사용해도 안전하다.

추가 기법을 사용하면 결과를 더 정확하게 계산할 수 있다(예:^[9] ulp 1개 미만).

프로그래밍 언어 지원

이 기능은 CSS,^[10] C++11,^[11] D,^[12] Go,^[13] JavaScript(ES2015년 이후),^[14] 줄리아,^[15] 자바(프로그래밍 언어) (버전 1.5 이후),^[16] 코틀린,^[17] MATLAB,^[18] PHP,^[19] 파이톤,^[20] 루비,^[21] 러스트,^[22] 스칼라 등 많은 프로그래밍 언어와 라이브러리에 존재한다.^[23]

참고 항목

• 유클리드 거리
• 알파 최대 + 베타 최소 알고리즘
• 메타퐁은 피타고라스 덧셈과 뺄셈을 내장 작전으로 하고 있다.++그리고+-+각각

참조

추가 읽기

• Dubrulle, Augustin A. (1983). "A class of numerical methods for the computation of Pythagorean sums" (PDF). IBM Journal of Research and Development. 27 (6): 582–589. CiteSeerX 10.1.1.94.3443. doi:10.1147/rd.276.0582..