이 글은 3차원 공간 에서 회전 의 주요 성질을 도출한다.
3개의 오일러 회전 은 물체에 비례하여 축의 고정된 부분을 중심으로 순차적으로 회전함 으로써 강체 몸 을 원하는 방향으로 이끌어내는 한 가지 방법이다. 그러나 이 역시 한 번의 회전(얼러의 회전 정리 )으로 달성할 수 있다. 선형 대수학 의 개념을 사용하여 이 단일 회전이 어떻게 수행될 수 있는지를 보여준다.
수학적 공식화 ( 에1 , 에, 에) 방향2 3 A의 변화를 통해 새로운 방향으로 인도되도록 신체에 고정된 좌표계가 되도록 한다.
A e ^ 1 , A e ^ 2 , A e ^ 3 . {\displaystyle \mathbf {A} {\hat {e}_{1},\mathbf {A} {\hat {e}_{2},\mathbf {A} {\hat {e}_{3}. }
임의 벡터
x ¯ = x 1 e ^ 1 + x 2 e ^ 2 + x 3 e ^ 3 {\displaystyle {\x}=x_{1}{\hat {e}_{1}+x_{2} }}{\hat{e}_{2}+x_{3} }}{\hat{e}_{3}} 그리고 나서 몸체와 함께 회전하는 것은 새로운 방향으로 간다. A x ¯ = x 1 A e ^ 1 + x 2 A e ^ 2 + x 3 A e ^ 3 , {\displaystyle \mathbf {A} {\bar {x}=x_{1}\mathbf {A} {\hat {e}_{1}+x_{2} }}\mathbf {A} {\hat {e}_{2}+x_{3} }}\mathbf {A} {\hat {e}_{3}}
즉, 이것은 선형 연산자 입니다.
좌표계에 상대적인 이 연산자 의 행렬 (에 1 , 에 2 ,에 3 )
[ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] = [ ⟨ e ^ 1 A e ^ 1 ⟩ ⟨ e ^ 1 A e ^ 2 ⟩ ⟨ e ^ 1 A e ^ 3 ⟩ ⟨ e ^ 2 A e ^ 1 ⟩ ⟨ e ^ 2 A e ^ 2 ⟩ ⟨ e ^ 2 A e ^ 3 ⟩ ⟨ e ^ 3 A e ^ 1 ⟩ ⟨ e ^ 3 A e ^ 2 ⟩ ⟨ e ^ 3 A e ^ 3 ⟩ ] . {\displaystyle {\bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31일}&.A_{32}&.A_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\langle{\hat{e}};\langle{\hat{e}}\mathbf{A}{\hat{e}}_{2}\rangle 및 _{1}, \langle{\hat{e}}\mathbf{A}{\hat{e}}_{3}\rangle \\\langle{\hat{e}_{1}}\mathbf{A}{\hat{e}}_{1}\rangle 및 _{2}, \langle{\hat{e}}\mathbf{A}{\hat{e}}_{2}\rangle 및 _{2}, \langl\mathbf{A}{\hat{e}}_{1}\rangle 및 _{1}.e {\hat {e}}_{2} \mathbf {A} {\hat {e}}_{3}\rangle \\\langle {\hat {e}}_{3} \mathbf {A} {\hat {e}}_{1}\rangle &\langle {\hat {e}}_{3} \mathbf {A} {\hat {e}}_{2}\rangle &\langle {\hat {e}}_{3} \mathbf {A} {\hat {e}}_{3}\rangle \end{bmatrix}}. }
로서
∑ k = 1 3 A k i A k j = ⟨ A e ^ i A e ^ j ⟩ = { 0 , i ≠ j , 1 , i = j , {\displaystyle \sum _{k=1}^{3 }}A_{ki}A_{kj}=\langle \mathbf {A}{\hat{e}_{i}\mathbf {A}{\hat {e}_{j}\angle ={\begin}0,&i\neq j,\1,&i=j,}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 또는 행렬 표기법에서 동등하게 [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] T [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] , {\displaystyle {\bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}^{\mathsf{T}{\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\0&0\\0&0\\nd{bmatrix},} 매트릭스는 직교 하며 오른손잡이 베이스 벡터 시스템이 다른 오른손잡이 시스템으로 방향을 바꾸면서 이 매트릭스의 결정 인수 는 값 1을 가진다.
축을 중심으로 회전 R 2 3 3 직교 방향의 베이스 벡터 시스템이 되도록 1 . 선형 연산자 "에3 의해 정의된 축 주위의 각도 θ 에 의한 회전"은 행렬을 나타낸다.
[ Y 1 Y 2 Y 3 ] = [ cas θ − 죄를 짓다 θ 0 죄를 짓다 θ cas θ 0 0 0 1 ] [ X 1 X 2 X 3 ] {\displaystyle {\bmatrix} Y_{1}\\Y_{2}\\ Y_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}} 이 기준 벡터 시스템에 상대적인. 이것은 벡터라는 것을 의미한다. x ¯ = [ e ^ 1 e ^ 2 e ^ 3 ] [ X 1 X 2 X 3 ] {\displaystyle {\bar}}={\begin{bmatrix}{\hat {e}_{1}&#{e}}&#{e}_{3}\end{bmatrix}{\gin{bmatrix}X_{1}\X_{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{bmatmatrix}}}}}}}}} 벡터로 회전하다 y ¯ = [ e ^ 1 e ^ 2 e ^ 3 ] [ Y 1 Y 2 Y 3 ] {\displaystyle {\bar}={\bmatrix}{\hat {e}_{1}{1}>{e}}{e}}>{e}_{3}\end{bmatrix}}{\nd{bmatrix}}{bmatrix}}}}}}}}{\matrix {bmat}}}}}}}}{bmatrix}}}}}} Y_{1}\\Y_{2}\\ Y_{3}\end{bmatrix}} 선형 연산자에 의해 이 행렬의 결정 요인은 퇴장시키다 [ cas θ − 죄를 짓다 θ 0 죄를 짓다 θ cas θ 0 0 0 1 ] = 1 , {\displaystyle \det{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\0&1\end{bmatrix}=1,} 그리고 특징적인 다항식은 cas θ − λ − 죄를 짓다 θ 0 죄를 짓다 θ cas θ − λ 0 0 0 1 − λ = ( ( cas θ − λ ) 2 + 죄를 짓다 2 θ ) ( 1 − λ ) = − λ 3 + ( 2 cas θ + 1 ) λ 2 − ( 2 cas θ + 1 ) λ + 1. {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}\cos \theta -\lambda &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta -\lambda &0\\0&0&1-\lambda \end{vmatrix}}&=\left(\left(\cos \theta -\lambda \right)^{2}+\sin ^{2}\theta \right)(1-\lambda )\\&=-\lambda ^{3}+(2\cos \theta +1)\lambda ^{2}-(2\cos \theta +1)\lambda +1. \end{정렬}}}
만일 죄악 sin = 0이면, 즉 symmet = 0 과 θ π 케이스 θ 0 은 ID 연산자의 사소한 케이스다. 사례 θ π 특성 다항식은
− ( λ − 1 ) ( λ + 1 ) 2 , {\displaystyle -(\displayda -1)\왼쪽(\displayda +1\오른쪽)^{2},} 그래서 회전 조작자는 고유값 을 갖는다. λ = 1 , λ = − 1. \displaystyle \putda =1,\putes \putda =-1. }
λ 1 에 해당하는 Eigenspace 는 회전축의 모든 벡터, 즉 모든 벡터다.
x ¯ = α e ^ 3 , − ∞ < α < ∞ . {\displaystyle {\x}=\hat {e}_{3},\cHT -\inful <\inful.}
λ -1 에 해당하는 Eigenspace 는 회전축에 직교하는 모든 벡터, 즉 모든 벡터로 구성된다.
x ¯ = α e ^ 1 + β e ^ 2 , − ∞ < α < ∞ , − ∞ < β < ∞ . {\displaystyle {\x}=\hat {e}_{1}+\cHat {e}+\cHat {e}}{2},\hat -\cHotty <\cHotty,\cHotty <\cHotty,\cHT -\cHott.}
all 의 다른 모든 값에 대해 행렬은 대칭이 아니며 죄 sin2 0 으로 회전 축에 벡터의 1차원 Eigenspace 가 있는 고유값 λ 1만 있다.
x ¯ = α e ^ 3 , − ∞ < α < ∞ . {\displaystyle {\x}=\hat {e}_{3},\cHT -\inful <\inful.}
회전 k 각도 by에 의한 회전 행렬은 로드리게스의 회전 공식 에 의해 주어진다.
R = I cas θ + [ k ] × 죄를 짓다 θ + ( 1 − cas θ ) k k T , {\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +[\mathbf {k}}{\mathbf {k} ^{\mathbf {T},} 여기서 I Identity matrix 이고 [k ]× 또는 cross product matrix 의 듀얼 2-폼 이다. [ k ] × = [ 0 − k 3 k 2 k 3 0 − k 1 − k 2 k 1 0 ] . {\displaystyle [\mathbf {k} ]{\mathbf {k}}={\\bmatrix}0&-k_{3}&k_{3}\n3}\-k_{1}\-k_{2}&k_{1}&k_{1}&0\end{bmatrix}}}}. }
[k ]× 는 모든 벡터 v k ]× v k v
일반적인 경우 위에서 논한 연산자 "특정 축을 중심으로 한 각도 by에 의한 회전"은 직교 매핑이며, 따라서 기본 벡터 시스템에 상대적인 행렬은 직교 행렬 이다. 게다가 그것의 결정요인은 값 1을 가지고 있다. 비삼차적 사실은 반대인데, 결정인자 1을 가진 R 3 직교 선형 매핑에 대해 매트릭스가 "수동형"을 취하는 기본 벡터 ê 1 , ê 2 ,ê 3 존재한다는 것이다.
[ cas θ − 죄를 짓다 θ 0 죄를 짓다 θ cas θ 0 0 0 1 ] {\displaystyle{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\0&1\end{bmatrix}}} 얼마간의 가치로 실제로 선형 측정 시스템에 직교 행렬 이 있는 경우 [ A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 ] {\displaystyle {\bmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}} 일부 베이스 벡터 시스템(ff, 1 f ̂, 2 ̂) 3 R n 있지 않다고 하여 적용된다. 이 3 좌표계가 존재 1 3차원 사례에 대해 행렬이 형태를 취하는 것 2 의미한다. [ B 11 0 0 0 B 22 0 0 0 B 33 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}B_{11}&0&0\\0> B_{22}&0\\0&0&B_{33}\end{bmatrix}}. }
직교 행렬이므로 대각선 원소 B 는ii 1 또는 -1이다. 결정인자가 1이므로 이들 원소는 모두 1이거나 원소의 하나가 1이고 나머지 두 원소는 -1이다. 첫 0 에 해당하는 사소한 ID 연산자다.두 번째 경우에는 이 형식을 가지고 있다.
[ − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\bmatrix}-1&0&0\0&0&0\\\0&0&1\end{bmatrix}}
고유값 1이 지수 3을 가질 수 있도록 베이스 벡터에 번호가 매겨진 경우. 그러면 이 행렬 for
행렬이 비대칭이면 벡터
E ¯ = α 1 f ^ 1 + α 2 f ^ 2 + α 3 f ^ 3 , {\displaystyle {\bar}=\alpha _{1}{f}_{1}+\alpha _{2}{f}+\alpha _{3}{\hat {f}_{3}}}}} 어디에 α 1 = A 32 − A 23 2 , α 2 = A 13 − A 31 2 , α 3 = A 21 − A 12 2 {\displaystyle \alpha _{1}={\frac {A_{32}-A_{23}{2}},\quad \alpha _{2}={\frac {A_{13}-A_{31}}}2}},\quad \alpha _{3}={\frac {21}-A_{122}}:2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} 0이 아니다. 이 벡터는 고유값 λ 설정값 을 갖는 고유 벡터다. e ^ 3 = E ¯ E ¯ {\displaystyle {\hat {e}_{3}={\frac {\bar {E}{\bar {E}}}}
그리고 ê 1 , ê 2 , ê 3 양방향의 삼중으로 형성되도록 ê 3 직교하는 평면에서 두 개의 직교 단위 벡터 ê 1 ê 2 선택한다. 운영자는 원하는 형태를 다음과 같이 취한다.
cas θ = A 11 + A 22 + A 33 − 1 2 , 죄를 짓다 θ = E ¯ . {\displaystyle {\begin}\cos \theta &={\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1},\\sin \theta &= {\bar{E}}\ended}}}}}
위의 표현은 사실 0 또는 π 벡터 있다
E ¯ = α 1 f ^ 1 + α 2 f ^ 2 + α 3 f ^ 3 {\displaystyle {\bar {{E}=\alpha _{1}{1}{f}_{1}+\alpha _{2}{f}+\alpha _{3}{\hat {f}}_{3}}{{f}}}}}_{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
0이며 고유값 1의 Eigenspace를 찾는 데 아무 소용이 없다. 그런 다음 회전 축을 순환한다.
E 4 cos 로 정의 defining 회전
1 − E 4 E 1 2 + E 2 2 + E 3 2 [ E 1 E 1 E 1 E 2 E 1 E 3 E 2 E 1 E 2 E 2 E 2 E 3 E 3 E 1 E 3 E 2 E 3 E 3 ] + [ E 4 − E 3 E 2 E 3 E 4 − E 1 − E 2 E 1 E 4 ] , {\displaystyle {\frac {1-E_{4}{E_{1}^{2}+E_{2} }^{2}+E_{3 }^{2}}}{\begin{bmatrix}E_{1}E_{1}&E_{1}E_{2}&E_{1}E_{3}\\E_{2}E_{1}&E_{2}E_{2}&E_{2}E_{3}\\E_{3}E_{1}&E_{3}E_{2}&E_{3 }}E_{3}\end{bmatrix}+{\begin{bmatrix}E_{4}&-E_{3}&E_{2}\\ E_{3}&E_{4}&-E_{1}\\-E_{2}&E_{1}&E_{1}&E_{4}\end{bmatrix},}
의 조건이라면
E 1 2 + E 2 2 + E 3 2 > 0. {\displaystyle E_{1}^{2}+E_{2} }^{2}+E_{3 }^{2}>0. } 즉, 사례 θ 0 (정체 연산자)과 = = π
쿼터니온스 Quaternions E1, E, E3, E4와 비슷한 차이점은 바로 반 각도.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{ 정의된다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}θ/2은 전체 각도 θ 대신 사용됩니다. 즉, 벡터의 처음 3개 성분 1 Q 2 ,성분은 3
q 1 f ^ 1 + q 2 f ^ 2 + q 3 f ^ 1 = 죄를 짓다 θ 2 , e ^ 3 = 죄를 짓다 θ 2 죄를 짓다 θ , E ¯ , {\displaystyle q_{1}{\hat {f}_{1}+q_{1}+q_{2}{\hat {f}{2}+q_{3} }{\hat{f}_{1}=\sin {\frac {\theta }{2}},\quad {\e}_{3}={\frac {\\prac {\prac{}}}}{\sin \theta }}}}{\sin \sin \chat }, {\e}}}} 그리고 네 번째 구성 요소는 스칼라 입니다. q 4 = cas θ 2 . {\displaystyle q_{4}=\cos {\frac {\theta }{2}. }
표준형식에서 정의한 각도 θ 이 간격에 있으므로
0 ≤ θ ≤ π , {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,} 보통 q 4 0 . 그러나 quaternion을 사용한 회전의 "듀얼" 표현, 즉 (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q)}과1 (-q2 , -q, -'q3 4 , -q) 은 같은 회전의 두 가지 대체 표현이다.
기업 E 는k 다음과 같이 쿼터에서 정의된다.
E 1 = 2 q 4 q 1 , E 2 = 2 q 4 q 2 , E 3 = 2 q 4 q 3 , E 4 = q 4 2 − ( q 1 2 + q 2 2 + q 3 2 ) . {\displaystyle {\reasoned} E_{1}&=2q_{4}q_{1},\quad E_{2}=2q_{4}q_{2},\quad E_{3}=2q_{4}q_{3},\\[8px]E_{4}&=q_{4}^{2}-\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3 }^{2}\오른쪽). \end{정렬}}}
쿼터니온을 사용하여 회전 연산자의 행렬은
[ 2 ( q 1 2 + q 4 2 ) − 1 2 ( q 1 q 2 − q 3 q 4 ) 2 ( q 1 q 3 + q 2 q 4 ) 2 ( q 1 q 2 + q 3 q 4 ) 2 ( q 2 2 + q 4 2 ) − 1 2 ( q 2 q 3 − q 1 q 4 ) 2 ( q 1 q 3 − q 2 q 4 ) 2 ( q 2 q 3 + q 1 q 4 ) 2 ( q 3 2 + q 4 2 ) − 1 ] . {\displaystyle {\bmatrix}2\좌측(q_{1}^{2}+q_{4) }^{2}\right)-1&2\left(q_{1}q_{2}-q_{3}q_{4}\right)&2\left(q_{1}q_{3}+q_{2}q_{4}\right)\\2\left(q_{1}q_{2}+q_{3}q_{4}\right)&2\left(q_{2}^{2}+q_{4 }^{2}\right)-1&2\left(q_{2}q_{3}-q_{1}q_{4}\right)\\2\left(q_{1}q_{3}-q_{2}q_{4}\right)&2\left(q_{2}q_{3}+q_{1}q_{4}\right)&2\left(q_{3}^{2}+q_{4 }^{2}\오른쪽)-1\end{bmatrix}. }
숫자 예제 오일러 각도 α 10°, β 20° 에 해당하는 방향 전환,γ 30° (f̂, 1 ̂, 2 f̂) 3 이 베이스 벡터 시스템에 상대적인 매트릭스는 다음과 같다( 오일러 각도#매트릭스 방향 참조).
[ 0.771281 − 0.633718 0.059391 0.613092 0.714610 − 0.336824 0.171010 0.296198 0.939693 ] , {\displaystyle {\displaysty}0.771281&-0.633718&0.059391\\0.613092&0.714610&-0.33610\0.1710&0.2968&0.939693\end{bmatrix},},},} 그리고 문제는 ( 0.171010 , − 0.030154 , 0.336824 , 0.925417 ) . {\displaystyle(0.171010,-0.030154,0.336824,0.925417). }
이 연산자의 표준 형식
[ cas θ − 죄를 짓다 θ 0 죄를 짓다 θ cas θ 0 0 0 1 ] {\displaystyle{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\0&1\end{bmatrix}}} with 44.537° 는 다음과 같이 구한다. e ^ 3 = ( 0.451272 , − 0.079571 , 0.888832 ) . {\displaystyle {\hat{e}_{3}=(0.451272,-0.079571,0.88832)). }
이 새로운 제도에 관련된 쿼터는 그때 이다.
( 0 , 0 , 0.378951 , 0.925417 ) = ( 0 , 0 , 죄를 짓다 θ 2 , cas θ 2 ) . {\displaystyle (0,0.378951,0.925417)=\좌측(0,0,0,\sin {\frac {\fracta {}{2}},\cos {\fracta {}{2}}\오른쪽). }
3개의 오일러 회전을 10°, 20°, 30°로 만드는 대신, ê주위 3 44.537° 크기의 단일 회전으로 동일한 방향에 도달할 수 있다.
참조 Shilov, Georgi (1961), An Introduction to the Theory of Linear Spaces , Prentice-Hall, Library of Congress 61-13845 
![{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +[\mathbf {k} ]_{\times }\sin \theta +(1-\cos \theta )\mathbf {k} \mathbf {k} ^{\mathsf {T}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba095a0d9f8cc06da18c2d0047cf97bc16a63149)
![{\displaystyle [\mathbf {k} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-k_{3}&k_{2}\\k_{3}&0&-k_{1}\\-k_{2}&k_{1}&0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1573d3b3ad8e4eebc511b590146c4dd8985f139c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}&=2q_{4}q_{1},\quad E_{2}=2q_{4}q_{2},\quad E_{3}=2q_{4}q_{3},\\[8px]E_{4}&=q_{4}^{2}-\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6811db245e604ac02fdfb45933cab1bb92328af1)
