시간 의존 벡터 필드

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v t

수학에서 시간에 의존하는 벡터 장은 벡터장의 개념을 일반화하는 벡터 미적분학의 구성이다.그것은 시간이 지남에 따라 움직이는 벡터장이라고 생각할 수 있다.매 순간, 그것은 유클리드 공간이나 다지관의 모든 점에 벡터를 연결한다.

정의

다지관 M의 시간 종속 벡터 필드는 T $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle TM}$의 열린$$ 부분 집합 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$⊂ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Oomega \subset \mathb$ {R$} \time$ times $M}$에서 가져온 맵이다.

$[\displaystyle X:\Oomega \subset \mathb {R} \time M\longrightarrow TM}$

${\displaystyle (t,x)\longmapsto X(t,x)=X_{t}(x)\in T_{x}M}$

모든 ( ${\displaystyle t}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}${\$displaystyle (t,x$)\in $\Oomega },$X ${\displaystyle t{}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle X_{t}(x$)}이$($가) $T{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{x}M$의 요소인 경우.

${\displaystyle 모든\mathbb{}}$ $math$ R ${\$\mathb ${R}$에 대해 ({R$})$

${\displaystyle \Oomega_{t}=\{x\in M(t,x)\in \Oomega \}\subset M}$

${\displaystyle {비어}_{}}$ 있지 않은 X t ${\$는 오픈$$ 세트 Ω ${\displaystyle t{}_{}}\omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ M ${\displaystyle \Oomega_{t}\subset$ M$}$에 정의된 통상적인 의미의 벡터 필드다$.$

연관미분방정식

다지관 M에 시간 의존적인 벡터 필드 X를 부여하면 다음과 같은 미분 방정식을 연결할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}=X(t,x)}$

그것은 정의상 비자율이라고 불린다.

적분 곡선

위 방정식의 적분 곡선(X의 적분 곡선이라고도 함)은 지도다.

$[\displaystyle \property :I\subset \mathb {R} \longrightarrow M}$

such${\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {}_{}}$ I ${\displaystyle \forall t_{0}\in$ I$\},$${\displaystyle }$(t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\alpha }$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle (t_{0},\alpha (t_{0})}$이(가) X의 정의 영역의 한 요소인 경우

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}\왼쪽.$${\!\!{\frac{}}\오른쪽 _{t=t_{0}=X(t_{0},\알파(t_{0$

시간 독립 벡터 필드와 동등성

A time-independent vector field ${\displaystyle X}$ on ${\displaystyle M}$ can be thought of as a vector field ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ on ${\displaystyle \mathbb {R} \times M,}$ where ${\displaystyle {\tilde {X}}(t,p)\in T_{(t,p)}(\mathbb {$$R} \time$ M$)}$은(는) $t{\displaystyle }$. ${\displaystyle t.}$에 종속되지 않음

반대로, $M{\displaystyle }${\$displaystyle$M}의$$ 시간 의존적 벡터 $필드{\displaystyle }$X {\$displaystyle$X}과(와) 연관되어 $있으며$,${\displaystyle \stackrel{}{}}$X$$~ {\$displaystyle {\tilde{$X}}} 시간 독립적이다.

${\displaystyle \mathb {R} \time M\ni(t,p)\mapsto {\dfrac {\partial t}{\dfrac }{\biggl }_{t}+X(p)\in T_{(t,p)}(\mathb {R}\t}\time M) \time M)})}}).$

$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle M}$. ${\displaystyle \mathb {R} \time$ M$.}$ 좌표에서$$,

${\displaystyle {\tilde{X}(t,x)=(1,X(t,x))).}$

The system of autonomous differential equations for ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ is equivalent to that of non-autonomous ones for ${\displaystyle X,}$ and ${\displaystyle x_{t}\leftrightarrow (t,x_{t})}$ is a bijection between the sets of integral curves of ${\displaystyle X}$ and${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{각각}}}$ X${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\tilde{X},}$

흐름

시간 의존적 벡터 필드 X의 흐름은 고유하게 다른 맵이다.

${\displaystyle F:D(X)\subset \mathb {R} \times \Oomega \longrightarrow M}$

$({\displaystyle }$t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle x}$)$Ω$in $\Oomega$ $\},$

${\displaystyle t\longwrightarrow F(t,t_{0}x)}$

$t$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle \alpha$$}$을(를$)$ 만족하는 X의 적분 곡선이다$.$

특성.

$우리$는 F ${\displaystyle t_{}}$, ${\displaystyle s_{}}$ ${\$${\displaystyle s}$$}$를 ${\displaystyle F_{}}$ t , s (${\displaystyle {}_{}}$p )${\displaystyle }$= F${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$,${\displaystyle s}$,${\displaystyle p}$ )$${\$displaystyle F_{t,s}(p)=F(t,s,p)}$로 정의한다.

1. If ${\displaystyle (t_{1},t_{0},p)\in D(X)}$ and ${\displaystyle (t_{2},t_{1},F_{t_{1},t_{0}}(p))\in D(X)}$ then ${\displaystyle F_{t_{2},t_{1}}\$$순환 F_{t_{1},t_{0}(p)=$$F_{t_{2},t_{0}(p)}$
2. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \forall t,s$ ${\displaystyle F_{}}$ $t{\displaystyle {}_{}}$, s ${\$는 역 ${\displaystyle F_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle t_{}}$ ${\$를 갖는 차이점형식이다.

적용들

X와 Y를 매끄러운 시간에 의존하는 벡터 필드로 $하고{\displaystyle }$ F$${\$displaystyle$F} X의 흐름을$$ 유지한다.다음과 같은 정체성을 증명할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\왼쪽.{\!\!{\frac {}{}}}\right _{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}Y_{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left([X_{t_{1}},Y_{t_{1}}]+{\frac {d}{dt}}\left.{\!\!{\frac{}}\오른쪽 _{t=t_{1}Y_{t}\오른쪽)\오른쪽)_{p}}$

또한 $\eta {\displaystyle }$ {\$displaystyle \eta }$이(가) 부드러운 시간 종속 텐서 필드라고$$ 가정하여 유사한 정체성을 증명할 수 있다$.$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}\왼쪽.{\!\!{\frac {}{}}}\right _{t=t_{1}}(F_{t,t_{0}}^{*}\eta _{t})_{p}=\left(F_{t_{1},t_{0}}^{*}\left({\mathcal {L}}_{X_{t_{1}}}\eta _{t_{1}}+{\frac {d}{dt}}\left.{\\\!{\frac{}}\right _{t=t_{1}}\eta_{t}\right)_{p}}}{p}}$

이 마지막 정체성은 다르부스의 정리를 증명하는 데 유용하다.

참조

• Lee, John M, Springer-Verlag, 뉴욕(2003)의 Smooth 매니폴드 소개 ISBN0-387-95495-3.매끄러운 다지관에 관한 대학원 수준의 교과서.