쌓기(수학)

수학에서 스택(stack)이나 2-sheaf는 대략적으로 집합이 아닌 범주의 값을 취하는 sheaf이다.스택은 하강 이론의 주요 구성의 일부를 공식화하고, 미세한 모듈리 공간이 존재하지 않을 때 미세한 모듈리 스택을 구성하는 데 사용된다.

강하 이론은 위상학적 근거의 제한 내에서 이소형적이고 호환 가능한 기하학적 물체(위상학적 공간의 벡터 번들 등)를 "함께 글레이징"할 수 있는 상황의 일반화와 관련이 있다.보다 일반적인 설정에서 제한사항은 풀백으로 대체된다; 그런 다음 섬유로 된 범주는 그러한 접착 가능성을 논의하기 위한 좋은 프레임워크를 만든다.스택의 직관적인 의미는 "모든 가능한 글루잉이 작동한다"와 같은 섬유화된 범주라는 것이다.글루잉의 규격에는 글루잉을 고려할 수 있는 커버링의 정의가 필요하다.이러한 커버링을 설명하는 일반적인 언어는 그로텐디크 토폴로지의 언어인 것으로 밝혀졌다.따라서 스택은 공식적으로 다른 기본 범주에 걸쳐 섬유화된 범주로 주어지는데, 여기서 베이스는 Grotendieck 토폴로지를 가지고 있고 섬유화된 범주는 Grotendieck 토폴로지에 관한 특정 글루들의 존재와 고유성을 보장하는 몇 개의 공리를 만족한다.

개요

스택은 대수적 스택(Artin 스택이라고도 함)과 Deligne-Mumford 스택의 기본 구조로, 체계와 대수적 공간을 일반화하고 모듈리 공간을 연구하는 데 특히 유용하다.포함: 체계 ⊆ 대수적 공간 del Deligne-Mumford 스택 algebra 대수적 스택(Artin 스택) ⊆ 스택.

에디딘(2003)과 판타지(2001)는 스택에 대한 간략한 소개 설명을 하고, 고메즈(2001), 올손(2007), 비스토리(2005)는 좀 더 상세한 소개를 하고, 로몽 & 모레트 베일리(2000)는 좀 더 발전된 이론을 설명한다.

동기부여와 역사

스택의 개념은 그로텐디크(1959년)의 유효 강하 데이터의 정의에서 비롯된다.1959년 세레에게 보낸 편지에서 그로텐디크는 좋은 모듈리 공간을 건설하는 근본적인 방해는 자동화의 존재라고 관찰했다.스택에 대한 주요한 동기는 자동화의 존재로 인해 어떤 문제에 대한 모듈리 공간이 존재하지 않더라도, 모듈리 스택을 구성하는 것이 여전히 가능할 수 있다는 것이다.

Mumford(1965)는 스택이 정의되기 전에 타원 곡선 모듈리 스택의 Picard 그룹을 연구했다.스택은 처음에 지로(1966, 1971)에 의해 정의되었고, "스택"이라는 용어는 Deligne & Mumford(1969)에 의해 "필드"라는 뜻의 원래 프랑스어 용어인 "챔프"에 도입되었다.이 논문에서 그들은 또한 Deligne-Mumford 스택을 도입했는데, 그들은 이것을 대수적 스택이라고 불렀지만, 현재는 "알제브라틱 스택"이라는 용어가 보통 Artin(1974년)에 의해 소개된 보다 일반적인 Artin 스택을 가리킨다.

집단행동에 의해 제도의 인수를 정의할 때, 그 인수가 하나의 체계가 되는 것은 불가능하고 여전히 인수에 대한 바람직한 속성을 만족시키는 경우가 많다.예를 들어, 몇 개의 지점이 비교 안정기를 가지고 있다면, 체계들 사이에 범주형 지수가 존재하지 않을 것이다.

같은 방식으로 곡선, 벡터 번들 또는 다른 기하학적 객체의 모듈리 공간은 종종 체계 대신 스택으로 가장 잘 정의된다.모듈리 공간의 구성은 우선 해당 물체를 파라메트링하는 더 큰 공간을 구성한 다음, 과대 계상된 자동화를 가진 물체를 설명하기 위해 그룹 액션에 의한 몫으로 진행되는 경우가 많다.

정의들

추상 스택

A category ${\displaystyle c}$ with a functor to a category ${\displaystyle C}$ is called a fibered category over ${\displaystyle C}$ if for any morphism ${\displaystyle F:X\to Y}$ in ${\displaystyle C}$ and any object ${\displaystyle y}$ of ${\displaystyle c}$ with image ${\dis$$playstyle Y}$ (under the functor), there is a pullback ${\displaystyle f:x\to y}$ of ${\displaystyle y}$ by ${\displaystyle F}$. This means a morphism with image ${\displaystyle F}$ such that any morphism ${\displaystyle g:z\to y}$ with image ${\displaystyle G=F\circ H}$ can be factored as ${\displaystyle g=f\circ h}$ by a unique morphism ${\displaystyle h:z\to x}$ in ${\displaystyle c}$ such that the functor maps ${\displaystyle h}$ to ${\displaystyle H}$. The element ${\displaystyle x=F^{*}y}$ is called the pullback of ${\displaystyle y$${}$ $F{\displaystyle }${\$displaystyle F}$을(를) 따라다니며$$ 표준 이형성까지 독특하다.

범주 c는 C를 통해 섬유화되는 경우 Grotendieck 위상이 있는 범주 C 위에 프리스트랙이라고 하며, C의 개체 U와 이미지 U의 개체 x, c의 y, 오버 범주 C/U의 펑터(functor)에서 F:를 설정한다.V→U to Hom(F*x,F*y)은 피복이다.이 용어는 전단용 용어와 일치하지 않는다: 프리스트랙스는 사전 예열보다는 분리된 사전 예열용어의 유사점이다.일부 저자들은 이것을 프리스트랙스가 아닌 스택의 속성으로 요구한다.

범주 c는 C에 대한 프리스트랙이고 모든 하강 기준점이 유효할 경우 Grotendieck 위상이 있는 범주 C 위에 스택이라고 불린다.강하 기준점은 대략 패밀리_i V에 의한 C의 물체 V의 커버, V에_i 대한 섬유 내 요소 x_i, 그리고 f_ki = ff의_kjji 호환성 조건을 만족하는_iij x와_j x의 V=V_i×_VV의_j 제약 사이의 형태 f로_ji 구성된다.하강 기준점은 원소 x가_i 영상 V와 함께 원소 x의 풀백일 경우 유효하다고 불린다.

스택(Stack)은 groupoids 또는 a(2,1)-shaf에서 스택(Stack)이라고도 하는데, 이 스택의 섬유(C의 물체의 역행상)이 groupoids라는 뜻이다.어떤 저자들은 "stack"이라는 단어를 사용하여 groupoids에서 스택의 보다 제한적인 개념을 언급한다.

대수적 스택

대수적 스택 또는 Artin 스택은 X의 대각선 지도를 나타낼 수 있고 X에 대한 (관련된 스택)에서 X에 대한 매끄러운 추출을 할 수 있도록 fppf 사이트 위의 groupoids X에 있는 스택이다.형태론 Y${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \rightarrow }$ $X$ 스택의 형태론 S${\displaystyle }$→ 모든 형태론 S → ${\displaystyle \rightarrow }$ $X$에 대해 X에 대한 (관련 스택에 연결된 스택) 섬유 제품 Y ×_X S가 대수 공간과 (관련된 스택) 이형인 경우 나타낼 수 있다.스택의 섬유 제품은 일반적인 보편적 특성을 사용하여 정의되며, 다이어그램이 2 커밋 요구 사항으로 통근하는 요건을 변경한다.자세한 내용은 대수적 스택의 형태론도 참조하십시오.

The motivation behind the representability of the diagonal is the following: the diagonal morphism ${\displaystyle \Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$ is representable if and only if for any pair of morphisms of algebraic spaces ${\displaystyle X,Y\to {\mathfrak {X}}}$$$, 그들의 섬유 제품 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ ${\displaystyle X\times _{\mathfak{X}Y}$을(를) 나타낼 수$$ 있다.

Deligne-Mumford 스택은 어떤 계획에서 X로의 에테일 추론이 있는 대수적 스택 X이다.대략적으로, Deligne-Mumford 스택은 물체가 극소수의 자동화되지 않는 대수적 스택으로 생각할 수 있다.

대수적 스택의 국부적 구조

대수적 스택의 개시 이후$,{\displaystyle }$G {\$displaystyle [{\text{Spec}(A)/G]$ 형식의 로컬 지수 스택인 것으로 예상되었으며, $여기$서 G ${\displaystyle G}$은 선형 ${\displaystyle \mathrm{환원}}$ 대수 그룹이다.이 최근에 그 경우:입증되었다[1]된quasi-separated 대수 스택 X{\displaystyle{\mathfrak{X}}}국내의 한정된 형식에 대한 대수적으로 닫혀 들판 k{k\displaystyle}의 안정 장치들은 아핀,∈ X({\displaystyle x\in{\mathfrak{X}}(k)} 부드러운 시스템과 폐쇄적 관점에 선.rly reductive stabilizer group ${\displaystyle G_{x}}$, there exists an etale cover of the GIT quotient ${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}$, where ${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }}$, such that the diagram

${\displaystyle {\begin{x}}([W/G_{x}],w)&#([N_{x}/G_{x}],0)\\\\downarrow \\\\(U,u)\&(N_{x}/{x},0)\end{matrix}}}}}}}$

데카르트적이고, 에탈 형태주의가 존재한다.

${\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to({\mathfrak {X},x)}$

$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$ 및$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 스태빌라이저 그룹의 이형성 유도$.$

예

기본 예

• 매 sheaf $F{\displaystyle \mathcal{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle o^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$→ ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal{F}:$Grotendieck $위상$이 있는$$범주 C {\$displaystyle$$C$$}$의 $C^{op$}\$to$ Sets$}$는 표준적으로 스택으로 변환될 수 있다.For an object ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(C)}$, instead of a set ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ there is a groupoid whose objects are the elements of ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ and the arrows are the identity morphism.
• $좀{\displaystyle }$ 더 구체적으로,$$h {\$displaystyle$ h$}$을(를) 왜곡된 펑터가 되게$$ 하라.

${\displaystyle h:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

그런 다음 이 펑터가 다음 범주 H {\$displaystyle{\displaystyle }$ H$}을($를) 결정한다$.$

1. 개체는${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$${\displaystyle }$${\displaystyle c}$/ ${\displaystyle S{}^{}}$)$$${\displaystyle o^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$$displaystyle$ $X}$의 체계 X ${\displaystyle$$$X} o p {\$displaystyle (Sch/S)^{op}$와 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ h${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaysty x\in h(X)}$로 구성된$$ 쌍이다$.$
2. a morphism ${\displaystyle (X\to S,x)\to (Y\to S,y)}$ consists of a morphism ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ in ${\displaystyle (Sch/S)}$ such that ${\displaystyle h(\phi )(y)=x}$.

건망증이 있는 functor $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle (S}$ ${\displaystyle c}$ h${\displaystyle }$/ S$){\displaystyle p:$$H\to (Sch/S)}$, the category ${\displaystyle H}$ is a category fibered over ${\displaystyle (Sch/S)}$. For example, if ${\displaystyle X}$ is a scheme in ${\displaystyle (Sch/S)}$, then it determines the contravariant functor ${\displaystyle h=\operatorname {Hom}$$(,X)}$과(와) 해당하는 섬유화된 범주는 X와 연결된 스택이다.스택(또는 프리스트랙스)은 이 구조의 변형으로 건설될 수 있다.실제로 준 컴팩트 대각선이 있는$$ 모든 스키마 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$은 스키마 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$과(와) 연관된 대수적 스택이다$.$

객체 스택

• 그룹 스택.
• 벡터 번들의 모듈리 스택: 벡터 번들의 범주 V→S는 위상 공간 S의 범주 위에 쌓인 스택이다.V→S→W→T의 형태론은 명백한 사각형이 통용되는 S→T와 V→W(섬유에 대한 선형)의 연속 지도로 구성된다.위상학적 공간의 연속적인 지도에 걸쳐 벡터 번들의 풀백(pullback)을 취할 수 있기 때문에 이것이 섬유화된 범주라는 조건이 따르며, 개방형 커버의 요소에 벡터 번들을 함께 붙임으로써 공간 위에 벡터 번들을 구성할 수 있기 때문에 하강 기준점이 효과적이라는 조건이 따르게 된다.
• (fpqc-토폴로지 및 약한 토폴로지에 대한) 계획에 대한 준 일관성 있는 층 쌓기
• 기본 구성표 상의 부속 체계 스택(fpqc 토폴로지 또는 약한 구성표와 관련)

스택이 있는 시공

스택 인용구

만약 X{X\displaystyle}것은(Sch/S){\displaystyle(Sch/S)}, 그리고 G{G\displaystyle}은 매끈매끈한 아핀군 계획 X{X\displaystyle}에 따라 행동하고, 그렇다면 지수 대수 스택[X/G]{\displaystyle[X/G]},[2]YS→{\displaystyle Y\to S}은 groupoid에 계획하고 있다. 의${\displaystyle G}$-torsors over the ${\displaystyle S}$-scheme ${\displaystyle Y}$ with ${\displaystyle G}$-equivariant maps to ${\displaystyle X}$. Explicitly, given a space ${\displaystyle X}$ with a ${\displaystyle G}$-action, form the stack ${\displaystyle [X/G]}$ which(직관적으로 말하면) 풀백 다이어그램의 그룹사이드에$$ 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$을(를) 전송

${\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow{\\phi }}\\\\xrightarrow }\\Y&{\xrighrightarrow }}}\\\\xRightarrow}}$

여기서 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi}$은(는) G ${\displaystyle$G$}$- 등가변$$ 공간 형태론이고, $Z{\displaystyle }$ →${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ Z$\to$ Y}은$($는) 주 G ${\displaysty G}$ - 번들이다$$.이 범주의 형태는 오른쪽의 화살표가 같고 왼쪽의 화살표가 $주{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$ - 번들의$$ 형태인 다이어그램의 형태일 뿐이다.

스택 분류

X가 포인트인 경우, 매끄러운 아핀 그룹 구성표 G:${\displaystyle B}$ G${\displaystyle :=}$ [${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$/ ${\displaystyle G].}$ ${\displaystyle {\textbf{B}G:=[pt/G]$의 분류 스택 BG를 제공한다.$}$ It is named so since the category ${\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}$, the fiber over Y, is precisely the category ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$ of principal ${\displaystyle G}$-bundles over ${\displaystyle Y}$. Note that ${\displaystyle \operatornam$$e {Bun} _{G}(Y)}$ 자체는$$ Y에 있는 주 G번들의 모듈리 스택인 스택으로 간주할 수 있다.

이 구조에서 중요한 하위 예로는 $G{\displaystyle \mathbf{}}$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 있는데, 이는$$ 주 G ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ -분들의$$ 모듈리 스택이다.주체 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle {Ln}_{}}$ ${\$ -번들$$ 데이터는 $순위{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 벡터$$ 번들의 데이터와 동일하므로, $순위{\displaystyle }$ n ${\displaystyn}$ 벡터$$ 번들 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle e_{}}$ t {\$displaysty Vector_{n}$의 모듈리 스택과 이형이다$.$

선다발 모듈리 스택

줄다발 모듈리 스택은 $모든{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$이 주 G m${\displaystyle$B$\mathb {G}$ $_{m}$ -bundle에$$ 대해 표준적으로 이형성이기 $때문$에 B ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\$ _{m}} -bundle이다.실제로, $구성표{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$ 위에$$ 선다발 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이$($가) 지정되면 상대 사양

${\displaystyle {\underline {\text{Spec}_{Sysm}({\text{Sym}_{S})(L^{\vee }})\to S}$

기하학적 선 묶음을 준다.영점 섹션의 이미지를 제거하여 $주{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ m$${\$displaystyle \mathb{G$} $_{m}}$ -분들을$$ 얻는다.반대로 $표현{\displaystyle }$ i${\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle \text{Aut}}$(${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle id:\mathb {G} _{m}\text{\text}$$Aut}}(\mathbb {A} ^{1$ 관련 라인 번들을 재구성할 수 있다.

게르베

게르베는 항상 비어있지 않은 범주를 가진 그룹오이드의 스택이다.예를 들어 일부 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대해 주 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -bundles를$$ 각 체계에 할당하는 사소한$$ 게르베 ${\displaystyle B}$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$\}.$

상대 사양 및 프로지

만약 A가 계통 S에 대한 대수 스택 X에 있는 알헤브라의 준정합성 층이라면, 역률 링 A의 스펙트럼 스펙(A)의 구성을 일반화하는 스택 스펙(A)이 있다.Spec(A)의 물체는 S-scheme T, X(T)의 물체 X, 그리고 X*(A)에서 T의 좌표 링 O(T)에 이르는 알헤브라의 덩어리 형태론에 의해 주어진다.

만약 A가 계략 S에 대한 대수 스택 X에 있는 등급화된 알헤브라의 준 일관성 있는 층이라면, 등급이 매겨진 고리 A의 투사 체계 Proj(A)의 건설을 일반화하는 스택 프로즈(A)가 있다.

모둘리 스택

곡선모듈리

• 뭄포드(1965)는 타원곡선의 모듈리 스택 M을_1,1 연구했고, 피카르 그룹이 순서 12의 순환임을 보여주었다.복잡한 숫자에 걸친 타원곡선의 경우 해당 스택은 모듈 그룹의 작용에 의한 상부 하프 평면의 몫과 유사하다.
• 주어진 속 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\mathcal {M}_{g$$}$의 부드러운 곡선의 범용 계열로 정의되는 대수곡선$$ g의 모듈리 공간은 특히 비유전적 자동화를 인정하는 곡선이 있기 때문에 대수적 다양성으로 존재하지 않는다$$.그러나 moduli stack M ${\displaystyle g_{}}$ ${\$이(가) 있는데, 이는$$ $매끄러운$$$속 g {\$displaysty g}$ 곡선의 존재하지 않는 미세한 moduli 공간을 잘 대체할 수 있다.$보다{\displaystyle }$ 일반적으로 moduli $stack{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$g , ${\displaystyle n_{}}$ ${\${\$mathcal {\m}_{g,n}$ 속 g ${\displaystyle g}$의 표시점을$$ 갖는 모듈리 스택이 있다.일반적으로 이것은 대수적 스택이며, g${\displaystyle }g{\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ 또는$$ g${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle n1}$ 1$${\$displaystyle g=1$,n$\geq$1} ${\displaystyle \mathrm{또는<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; g=1,n\backslash geq\; 1\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/90e09543e119fa9f02ab479c693cffd805a6afc1"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:12.066ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="369">}}$g =${\displaystyle }$0, ${\displaystyle n3}$ 3$${\$displaystyle$g=0$,n\g\geq$ 3$}$에 대한 Deligne-Mumford 스택이다.이 모듈리 스택은 규격 Z에 적합한 안정적인 곡선($예{\displaystyle }$: g ${\displaystyle g}$ $및$ n ${\displaystyle$ n$\})$의 모듈리 스택으로 구성된다.예를 들어 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$ {$M}_{0}$은(는) 분류 스택 $B{\displaystyle }$ $){\displaystyle$ B${\text{}$이다.$투영$ 일반 선형 $그룹$의 PGL$$}(2$)$($M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ ${\$1}을$$구성하기 위한 계략보다는 대수적 공간을 사용해야 함으로 정의하는데 미묘함이 있다.)

콘체비치 모둘리 공간

모듈리 공간의 또 다른 널리 연구된 등급은 고정된 속성의 곡선들 사이의 안정적 지도 공간을 고정된 $공간{\displaystyle }$ X$[\displaystyle X}$에 대한 매개변수로 나타낸 Kontsevich moduli 공간이다.이 모듈리 공간은 다음과^[3] 같이 표시된다.

${\displaystyle {\overline {\m}_{g,n}(X,\beta )}$

구성 요소가 비파괴 치수가 되는 축소 가능한 스택과 같은 거친 행동을 할 수 있다.예를 들어,^[3] 모듈리 스택

${\displaystyle {\mathcal {M}_{1,0}(\mathb {P} ^{2},3[H])}$

has smooth curves parametrized by an open subset ${\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$. On the boundary of the moduli space, where curves may degenerate to reducible curves, there is a substack parametrizing reducible curves w그것은 속 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ 성분과$$ $속{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1}$ 성분이$$ 한 점에서 교차하며, 지도는 속 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$ 곡선을$$ 한 점으로 보낸다.$이러한{\displaystyle }$ $모든{\displaystyle \mathrm{}}$ 속 1 ${\displaystyle 1}$ 곡선은$$ U ${\displaystyle U}$에 의해 파라미터로 지정되며$,$ $속{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle$ $1$$}$ 곡선이$$ 교차하는 위치에 대해 추가로 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $1$$}$차원$$ 선택이 있기 때문에 경계 구성요소는 차원 ${\displaystyle 10}$ ${\displaystylease 10}$을 갖는다$.$

기타 모듈리 스택

• 피카르 스택은 피카르 품종을 일반화한다.
• 공식적인 집단법의 모듈리 스택은 공식적인 집단법을 분류한다.
• 무한히 투영된 공간과 형식적인 계획과 같은 인드 스키마는 스택이다.
• 슈투카스의 모듈리 스택은 기하학적 랭랜즈 프로그램에서 사용된다.(슈투카스도 참조)

기하학적 스택

가중 투영 스택

가중 투영 공간을 구성하려면 일부 ${\displaystyle {\mathrm{An}}^{}}$+ 1${\displaystyle }$- { 0} {\$displaystyle \mathb {$A$}$ ^{$+$1}-\{0\}}}의 지수 품종을 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 의해$$ 취하는 것이 포함된다.특히 액션은 튜플을 보낸다.

${\displaystyle g\cdot(x_{0},\ldots,x_{n})\mapsto(g^{a_{0}x_{0},\ldots,g^{a_{n}x_{n}}}}}}}$

그리고 이 동작의 몫은 가중 투영 공간 ${\displaystyle \mathbb{W}}$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle 0_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathb${WP} ($a_{0},\ldots, a_n}}}}$을(를) 준다$.$ 대신 스택 인수로 취할 수 있기 때문에 가중 투영 스택은^[4]

${\displaystyle {\textbf {WP}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathb {A}^{n}-\{0\}/\mathb {G} _{m}}}}$

Taking the vanishing locus of a weighted polynomial in a line bundle ${\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$ gives a stacky weighted projective variety.

스택 곡선

겹겹 곡선 또는 궤도 곡선들은 일반적인 점 위에 덮개의 단조로운 그룹에 의한 곡선 형태론의 스택 지수를 취함으로써 구성될 수 있다.예를 들어, 투사적 형태론을 들어보자.

${\displaystyle {\text{Proj}(\mathb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5})\text{Proj}(\mathb {C}[x,y])}})에 연결$

일반적으로 에일(etale)이다.${\displaystyle {\mu 5\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 의한 도메인의 스택 지수는 $x{\displaystyle }$/ y${\displaystyle$ $\mathb {P} ^1}$에 스태빌라이저 그룹 ${\displaystyle Z}$/ 5 ${\displaystyle \mathb${$Z}$$$/$5$$}$을(를$$)를$$ 갖는 스택$$ 포인트를 $제공$한다.이런 점들이 표지가 부딪히는 지점이기 때문이다.^{[citation needed]}

비아핀 스택

비 Affine 스택의 예는 두 겹의 기원을 가진 반선(半線)에 의해 주어진다.이것은${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)$$${\displaystyle ]}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle }$( Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$) ${\displaystyle ]}$의 두 개 포함 콜리밋으로 구성될 수 있다$.$ $[\mathb {G} _{m}/(\mathb {Z} /2)]에 [\mathb {A} ^{1}/(\mathb {Z}/2)]$에 [\mathb {Z}/2].

대수적 스택에 대한 준조립식 단층

대수적 스택에서, 계획 위에 있는 준 일관성 있는 피복의 범주와 유사한 준 일관성 있는 피복의 범주를 구성할 수 있다.

준조립형 피복은 대략 링 위에 있는 모듈의 피복과 국소적으로 보이는 피복이다.첫 번째 문제는 "로컬하게" 무엇을 의미하는지 결정하는 것이다: 이것은 그로텐디크 토폴로지를 선택하는 것과 관련이 있고, 이것에는 많은 가능한 선택들이 있는데, 이 모든 것들은 약간의 문제를 가지고 있고 그 어느 것도 완전히 만족스러워 보이지 않는다.그로텐디크 위상은 스택이 이 위상에 로컬로 부착되도록 충분히 강해야 한다. 계획은 자리스키 위상에 로컬로 부착되므로, 이것은 세레가 발견한 것과 같은 체계, 대수적 공간 및 Deligne-Mumford 스택이 에틸 위상에 로컬로 부착되기 때문에 보통 에틸 위상을 사용한다.대수적 스택은 부드러운 위상에 국소적으로 부착되어 있기 때문에 이 경우 부드러운 위상을 사용할 수 있다.일반 대수적 스택의 경우, 에탈레 위상에는 충분한 오픈 세트가 없다. 예를 들어, G가 매끄러운 연결 그룹이라면, 분류 스택 BG의 유일한 에탈레 커버는 BG 복사본의 조합으로, 정합성 피복의 올바른 이론을 제시하기에 충분하지 않다.

대수적 스택의 부드러운 위상 대신 Lis-Ete 위상(Lisse-Etale의 줄임말: lise는 평활을 뜻하는 프랑스어 용어)이라는 수정법을 사용하는 경우가 많은데 평활 위상과 같은 오픈 세트를 가지고 있지만, 평활 지도보다는 에탈레로 개방형 커버가 주어진다.이것은 일반적으로 준 일관성 있는 피복의 동등한 범주로 이어지는 것처럼 보이지만, 사용하기 더 쉽다. 예를 들어 대수 공간의 에탈 위상과 비교하는 것이 더 쉽다.Lis-Et 위상은 미묘한 기술적 문제를 가지고 있다. 스택 사이의 형태론은 일반적으로 해당 토포이 사이에 형태론을 부여하지 않는다.(문제는 topoi의 기하학적 형태론에 필요한 보조형_* 펑커 f, f* 한 쌍을 구성할 수 있지만 펑터 f*는 일반적으로 정확하게 남아 있지 않다는 것이다.이 문제는 출판된 논문과 책에 일부 오류를 일으킨 것으로 악명이 높다.)^[5]이것은 스택의 형태론 하에서 퀘이시코 일관성 있는 피복의 풀백을 건설하는 것은 약간의 추가적인 노력이 필요하다는 것을 의미한다.

또한 보다 미세한 위상 사용도 가능하다.가장 합리적인 "충분히 큰" 그로텐디크 토폴로지는 준 일관성 있는 피복의 동등한 범주로 이어지는 것처럼 보이지만, 토폴로지가 클수록 다루기 어렵기 때문에 일반적으로 개방형 세트가 충분히 있는 한 작은 토폴로지를 사용하는 것을 선호한다.예를 들어, 큰 fppf 위상은 Lis-Et 위상과 본질적으로 동일한 범주의 준정합성 피복으로 이어지지만, 이 위상의 O 모듈에_X 준정합 피복의 자연적 내장(일반적으로 커널을 보존하지 않음)이 정확하지 않다는 미묘한 문제를 가지고 있다.

기타 스택 유형

구별 가능한 스택과 위상 스택은 아핀 구조의 기본 범주가 부드러운 다지관 또는 위상 공간의 범주로 대체되는 것을 제외하고 대수적 스택과 유사한 방식으로 정의된다.

보다 일반적으로는 n-sheaf 또는 n–1 스택의 개념을 정의할 수 있는데, 이는 대략 n–1 범주의 값을 취하는 일종의 sheaf이다.이것을 하는 데는 몇 가지 불평등한 방법이 있다. 1-싸움은 깎는 것과 같고, 2-싸움은 쌓는 것과 같다.그것들은 더 높은 스택이라고 불린다.

매우 유사하고 유사한 확장은 비분해 물체에 대한 스택 이론을 개발하는 것이다(즉, 공간은 대수 위상에서의 스펙트럼이다.그 결과 쌓이는 물체를 파생 스택(또는 스펙트럼 스택)이라고 한다.제이콥 루리의 저작 '스펙트럼 대수 기하학 기하학'은 그가 '스펙트럼 딜린-엠포드 스택'이라고 부르는 일반화를 연구한다.정의에 따르면, E-링의_∞ étalic 스펙트럼인 링 ∞-topos이다(이 개념은 적어도 특성 0에서 파생된 구성의 스펙트럼을 약화시킨다).

이론적 설정 문제

스택은 종종 집합 범주에 대한 특정 functors로 정의되고 따라서 집합이 아니기 때문에 스택 이론의 일반적인 기초에는 약간의 사소한 집합 이론적 문제가 있다.이 문제에 대처하는 몇 가지 방법이 있다.

• 하나는 Grotendieck 우주와 함께 일할 수 있다: 스택은 고정된 Grotendieck 우주의 클래스들 사이의 functor가 된다. 따라서 이러한 클래스들과 스택들은 더 큰 Grotendieck 우주에 설정된다.이 접근방식의 단점은 본질적으로 큰 추기경 공리인 충분한 Grotendieck 우주의 존재를 가정해야 한다는 것이다.
• 스택을 충분히 큰 순위의 집합에 대한 functor로 정의하고, 자신이 사용하는 다양한 집합의 순위를 주의 깊게 추적할 수 있다.이것의 문제는 다소 지루한 부기를 추가로 필요로 한다는 것이다.
• 어떤 ZFC 공리의 유한한 파편의 집합 모델을 찾을 수 있다는 것을 나타내는 집합 이론으로부터 반사 원리를 사용하여 모든 집합의 우주에 충분히 가까운 집합들을 자동적으로 찾을 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.
• 사람은 그 문제를 간단히 무시할 수 있다.이것은 많은 작가들이 취하는 접근법이다.

참고 항목

• 대수적 스택
• 스택의 차우 그룹
• 딜린-맘포드 스택
• 대수 기하학 용어집
• 스택 추적
• 대수적 스택의 지수 공간
• 모듈형 링
• 단순 프리슈프
• 스택 프로젝트
• 토릭 스택

메모들

참조

교육학

• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Algebraic stacks, archived from the original on 2008-05-05
• Goméz, Tomás (1999), Algebraic stacks, arXiv:math/9911199, Bibcode:1999math.....11199G 예를 들어 스택의 기본을 설명하는 해설서 입니다.
• Edidin, Dan (2003), "What is... a Stack?" (PDF), Notices of the AMS, 50 (4): 458–459

문헌 안내서

• https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/html/html-html.pdf
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0

참조

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• Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), "The irreducibility of the space of curves of given genus", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, doi:10.1007/BF02684599, ISSN 1618-1913, MR 0262240, S2CID 16482150
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• Giraud, Jean (1964), "Méthode de la descente", Société Mathématique de France. Bulletin. Supplément. Mémoire, 2: viii+150, MR 0190142
• Giraud, Jean (1966), Cohomologie non abélienne de degré 2, thesis, Paris
• Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abélienne, Springer, ISBN 3-540-05307-7
• Gómez, Tomás L. (2001), "Algebraic stacks", Proceedings - Mathematical Sciences, 111 (1): 1–31, arXiv:math/9911199, doi:10.1007/BF02829538, MR 1818418, S2CID 373638
• Grothendieck, Alexander (1959). "Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats". Séminaire Bourbaki. 5 (Exposé 190).
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• Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2008), "The six operations for sheaves on Artin stacks. I. Finite coefficients", Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques, 107 (1): 109–168, arXiv:math/0512097, doi:10.1007/s10240-008-0011-6, MR 2434692, S2CID 371801
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• Olsson, Martin Christian (2007), Geraschenko, Anton (ed.), Course notes for Math 274: Stacks (PDF)
• Olsson, Martin (2016), Algebraic spaces and stacks, Colloquium Publications, vol. 62, American Mathematical Society, ISBN 978-1470427986
• Vistoli, Angelo (2005), "Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory", Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 1–104, arXiv:math/0412512, Bibcode:2004math.....12512V, MR 2223406

추가 읽기

• Morava, Jack (2012). "Theories of anything". arXiv:1202.0684 [math.CT].

외부 링크

• nLab에 쌓다
• nLab 강하
• de Jong, Aise Johan, Stacks Project
• Fulton, William, What is a stack?, MSRI video lecture and notes
• Toën, Bertrand (2007), Cours de Master 2 : Champs algébriques (2006-2007)
• "대수적 스택에 대한 좋은 소개서?"