오스굿 곡선
Osgood curve
수학적 분석에서 오스굿 곡선(Osgood curve)은 양의 면적을 갖는 자기 교차 곡선이 아닌 곡선을 말합니다.그 면적에도 불구하고, 그러한 곡선이 공간을 채우는 곡선과 구별되는 2차원 영역을 덮는 것은 불가능합니다.오스굿 곡선은 윌리엄 포그 오스굿의 이름을 따서 지어졌습니다.
정의 및 속성
유클리드 평면의 곡선은 자기 교차가 없고(즉, 요르단 곡선 또는 요르단 호) 양의 면적을 가질 때 Osgood 곡선으로 정의됩니다.[1]좀 더 형식적으로, 그것은 긍정적인 2차원 르베그 측정을 가져야 합니다.
Osgood 곡선에는 공간 채우기 곡선처럼 하우스도르프 차원 2가 있습니다.그러나 그것들은 공간을 채우는 곡선이 될 수 없습니다. Netto의 정리에 의해 평면의 모든 점 또는 평면의 임의의 2차원 영역을 덮는 것은 자기 교차를 초래할 것입니다.[2]
역사
오스굿 곡선의 첫 번째 예는 윌리엄 포그 오스굿(1903)과 앙리 르베그(1903)에 의해 발견되었습니다.두 예제 모두 곡선의 일부에는 양의 면적이 있지만 다른 부분에는 0의 면적이 있습니다. 이 결함은 Wacwaw Sierpi ń스키의 이전 구성을 기반으로 각 점의 모든 이웃에서 양의 면적이 있는 곡선을 발견한 Knop(1917)에 의해 수정되었습니다.노브의 예는 볼록한 선체의 면적에 임의로 가깝게 만들 수 있다는 추가적인 이점을 가지고 있습니다.[3]
시공
Osgood 곡선을 얻기 위해 특정 프랙탈과 공간 채우기 곡선의 재귀적 구성을 수정할 수 있습니다.[4]예를 들어, Knopp의 구성은 삼각형 쐐기를 제거하여 삼각형을 더 작은 삼각형 쌍으로 재귀적으로 분할하여 공유된 꼭지점에서 만나는 것을 포함합니다.이 구조의 각 수준이 삼각형 면적의 동일한 부분을 제거할 때 결과는 코흐 눈송이와 같은 세사로 프랙탈입니다.대신, 일정한 면적 분율이 제거되지 않은 상태로 남을 수 있을 정도로 수준별로 제거된 면적 분율을 줄이면 Osgood 곡선이 생성됩니다.[3]
오스굿 곡선을 구성하는 또 다른 방법은 스미스-볼테라-칸토르 집합의 2차원 버전을 형성하는 것인데, 이 집합은 0이 아닌 영역을 갖는 완전한 단절점 집합입니다. 그런 다음 평면의 모든 경계 및 완전한 단절점 부분 집합이 조던 곡선의 부분 집합인 덴조이-리즈 정리를 적용합니다.[5]
메모들
- ^ 라도 (1948).
- ^ Sagan (1994), p. 131
- ^ a b Knop(1917); Sagan(1994), 섹션 8.3, The Osgood Curves of Sierpinski and Knop, 페이지 136-140
- ^ Knopp (1917); Lance & Thomas (1991); Sagan (1993)
- ^ Balcerzak & Kharazishvili (1999).
참고문헌
- Balcerzak, M.; Kharazishvili, A. (1999), "On uncountable unions and intersections of measurable sets", Georgian Mathematical Journal, 6 (3): 201–212, doi:10.1023/A:1022102312024, MR 1679442.
- Knopp, K. (1917), "Einheitliche Erzeugung und Darstellung der Kurven von Peano, Osgood und von Koch", Archiv der Mathematik und Physik, 26: 103–115.
- Lance, Timothy; Thomas, Edward (1991), "Arcs with positive measure and a space-filling curve", American Mathematical Monthly, 98 (2): 124–127, doi:10.2307/2323941, JSTOR 2323941, MR 1089456.
- Lebesgue, H. (1903), "Sur le problème des aires", Bulletin de la Société Mathématique de France (in French), 31: 197–203, doi:10.24033/bsmf.694
- Osgood, William F. (1903), "A Jordan Curve of Positive Area", Transactions of the American Mathematical Society, 4 (1): 107–112, doi:10.1090/S0002-9947-1903-1500628-5, ISSN 0002-9947, JFM 34.0533.02, JSTOR 1986455, MR 1500628.
- Radó, Tibor (1948), Length and Area, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 30, American Mathematical Society, New York, p. 157, ISBN 9780821846216, MR 0024511.
- Sagan, Hans (1993), "A geometrization of Lebesgue's space-filling curve", The Mathematical Intelligencer, 15 (4): 37–43, doi:10.1007/BF03024322, MR 1240667, S2CID 122497728, Zbl 0795.54022.
- Sagan, Hans (1994), Space-filling curves, Universitext, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, MR 1299533.
외부 링크
- Dickau, Robert, Knopp's Osgood Curve Construction, Wolfram Demonstrations Project, retrieved 20 October 2013
