스투름-리우빌 이론

수학 및 그 응용에서 고전적 스터름-리우빌 이론은 형식에 대한 실제 2차 선형 보통 미분 방정식의 이론이다.

{\frac {d}{dx}\!\!\왼쪽[\,p(x){dy}{dx}\right]+q(x)y=-\w(x)y,

(1)

주어진 계수 함수 p $(x),$ $q (x$ )및 $w (x)$ 및 자유 $변수$ x의 알 수 없는 $함수$ y. $w$ $(x)$ 는 r $(x)$ 로 표시되기도 하는 함수를 중량 또는 밀도함수라고 한다. 모든 2차 선형 보통 미분 방정식은 이 형태로 축소할 수 있다.

모든 계수가 유한 폐쇄 구간 $[a,$ $b]$ 과 $p$ 가 연속적인 파생형을 갖는 가장 단순한 경우, $함수$ y는 ( $a,$ $b)$ 에 대해 연속적으로 상이하며 ( $a$ , $b$ )의 모든 지점에서 등식 (1)을 만족하면 해결책이라고 불린다 $.($ 더 일반적인 $p (x),$ $q (x),$ $w (x$ )의 경우 $,$ 다음에서 해결책을 이해해야 한다. 약한 감각) 또한 $일반적$ 으로 $a$ 와 b의 일부 경계 조건을 만족시키기 위해 $y$ 가 필요하다. 각각의 그러한 방정식 (1)과 그것의 경계조건은 스터름-리우빌(S-L) 문제를 구성한다.

$λ$ 의 값은 방정식에 명시되어 있지 않다: 비교 용액이 존재하는 $λ$ 을 찾는 것은 주어진 S-L 문제의 일부분이다. 그러한 $λ$ 의 값은 존재할 때 문제의 고유값이라고 하며, 이에 상응하는 해결책은 $λ$ 과 관련된 고유 특성이다. 이 용어는 용액이 적절한 기능 공간에서 은둔자 미분 운영자의 고유값과 고유 기능에 해당하기 때문이다. 스터름-리우빌 이론은 고유값의 존재와 점증거동, 고유특성의 상응하는 질적 이론과 기능공간의 완전성을 연구한다.

이 이론은 특히 분리 가능한 선형 부분 미분 방정식을 다룰 때 S-L 문제가 매우 빈번하게 발생하는 응용 수학에서 중요하다. 예를 들어 양자역학에서 1차원 시간독립 슈뢰딩거 방정식은 S-L 문제다.

스터름-리우빌 문제는 $p (x),$ $w (x)$ > $0$ , $p (x),$ $p$ (x), p $'(x$ ), $q (x$ ), $w (x)$ 가 유한 구간 $[a, b]$ 에 걸쳐 연속적인 함수이고 문제가 형식의 경계 조건을 구분한 경우 다음과 같이 규칙적이라고 한다.

\cHB_{1}y(a)+\cHB_{2}y(a)=0\qquad \cHB_{1}^{2}+\cHB_{2}^{2}},

(2)

\property \{1}y(b)\,+\,\pairs _{2}y'=0\qquad \pair _{1}^{2}+\pair _{2}^{2}}0.

(3)

Sturm-Louville 이론의 주요 결과는 정규적인 Sturm-Louville 문제의 경우 (1), (2), (3):

고유값 $λ 1,$ $λ 2,$ $λ 3, ...$ 은 실재하며 번호가 매겨질 수 있다. $\cdda _{1}{2}<\cdda _{3}<\cdots <\cdda _{n}<\cdots \to \infty]}$
각 고유값 $λ$ 에_n 해당하는 고유함수 $y n (x$ )는 ( $a, b)$ 에 정확히 0 - $1$ 의 0을 갖는 고유함수 y(x $)$ 로 n번째 기본 해법이라고 한다 $.$
정규화된 고유 기능은 힐버트 공간 $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ ( $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ [ $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ , $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ , w $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ ( $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ ) $){\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\dx)}}$ 의 w-가중치 내제품에 따라 정형외과적 기준을 형성한다 $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ 즉, $\langle y_{n},y_{m}\angle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}w(x)\,dx=\mn,$ 여기서 $Δ$ 는_mn Kronecker delta이다.

이 이론은 자크 샤를 프랑수아 스투름(1803–1855)과 조셉 리우빌(1809–1882)의 이름을 따서 지어졌다.

스투름-리우빌 양식으로 축소

미분방정식(1)은 스투름-리우빌 형식 또는 자화형이라고 한다. 모든 2차 선형 보통 미분 방정식은 적절한 적분 인자에 방정식의 양쪽을 곱하여 (1)의 좌측에 있는 형태로 재작성할 수 있다(2차 부분 미분 방정식 또는 $y$ 가 벡터인 경우에는 동일하지 않지만). 몇 가지 예는 다음과 같다.

베셀 방정식

x^{2}y'+xy'+\왼쪽(x^{2}-\nu ^{2}\오른쪽)y=0

스투름-리우빌 형식(처음에는

x

로 나눈 다음 왼쪽의 처음 두 용어를 하나의 용어로 붕괴시킴)으로 쓸 수 있다.

\left(xy'\오른쪽)+\\left(x-{\frac {\nu ^{2}}:{x}\right)=0.

레전드레 방정식

\left(1-x^{2}\오른쪽)y'-2xy'+\nu(\nu +1)y=0

어느 쉽게 Sturm–Liouville 형태로,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-pars부터 나올 수 없다.Er-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫd(1− 미국))−2x, 그래서 르장드르 방정식에 해당합니다.

\displaystyle \left(\왼쪽(1-x^{2}\오른쪽)y'\right')+\nu(\nu +1)y=0}

통합 요인 사용 예제

x^{3}y'-xy'+2y=0

전체적으로 $x$ 로³ 나누기:

y'-{\frac {1}{x^{2}}}y'+{\frac {2}{x^{3}}}}y=0

전체에서 다음 통합 계수를 곱함

\mu(x)=\exp \left(\int - {dx}{x^{2}}}\오른쪽)=e^{1}/{x},

주다

e^{1}/{x}y'-{\frac {e^{1}/{x}}{x^{2}}}}y'+{\frac {2e^{{1}/{x}}{x^{3}}}}y=0

스투름-리우빌 형식은 그 이후부터 쉽게 넣을 수 있다.

{\displaystyle {\frac{d}{dx}e^{1}/{x}=-{\frac{e^{1}/{x}}{x^{2}}:

따라서 미분 방정식은

\left(e^{1}/{x}y'\오른쪽)+{\frac {2e^{1}/{x}}{x^{3}}}}y=0.

일반 2차 방정식의 통합 인자

P(x)y'+Q(x)y'+R(x)y=0

통합 요인에 의한 다중화

\mu(x)={\frac {1}{P(x)}}\exp \좌측(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}}}}

그리고 수집은 스터름-리우빌 양식을 제공한다.

{\frac {d}{dx}\왼쪽(\mu(x)P(x)y'\오른쪽)+\mu(x)R(x)y=0,

또는 명시적으로:

{\frac {d}{dx}}\left(\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y'\right)+{\frac {R(x)}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y=0.

스투름-리우빌 방정식(self-adjoint differential operator)

다음에 의해 정의된 매핑:

Lu=-{\frac {1}{1}{w(x)}}\왼쪽({dx}}\왼쪽[p(x)\,{\frac {du}}{dx}\right]+q(x)u\right)}}}

함수

u

를 다른 함수

Lu

에 매핑하는 선형 연산자L로 볼 수 있으며, 함수 분석의 맥락에서 연구될 수 있다. 사실 방정식(1)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

Lu=\lambda u.}

\langle f,g\angle =\int _{a}^{b}{\\overline {f(x)}g(x)w(x)\,dx.

이 공간에서 $L$ 은 위의 규칙적인 경계 조건을 만족하는 충분히 부드러운 함수에 대해 정의된다. 더욱이 L은 자기 적응 연산자다.

\displaystyle \langle Lf,g\langle =\langle f,Lg\angle .}

이것은 경계조건에 의해 경계조건이 소멸되는 부분별 통합을 두 번 사용함으로써 공식적으로 볼 수 있다. 그 후 스터름-리우빌 연산자의 고유값이 실제이고 다른 고유값에 $해당$ 하는 L의 고유특성은 직교한다는 것을 따른다. 단, 이 연산자는 한이 없으므로 고유 기능의 정형화된 기초가 존재한다는 것은 명백하지 않다. 이 문제를 극복하기 위해, 사람들은 그 해결책들을 본다.

\left(L-z\right)^{-1},\qquad z\in \mathb {R},

여기서

z

는 고유값이 아니다. 그런 다음, 분해능을 계산하는 것은 모수식의 변동을 사용하여 수행할 수 있는 비균형 방정식을 해결하는 것에 해당한다. 이는 분해자가 연속적인 대칭 커널(문제의 그린 함수)을 가진 일체형 연산자임을 보여준다. 아르젤라-아스콜리 정리의 결과, 이 적분 연산자는 콤팩트하며 0으로 수렴되는 고유값

α

의_n 시퀀스가 존재하며, 직교 기준을 형성하는 고유특성은 콤팩트 연산자의 스펙트럼 정리에서 따른다. 마지막으로, 에 유의하십시오.

\left(L-z\right)^{-1}u=\alpha u,\qquad Lu=\left(z+\alpha ^{-1}\right)u,

\lambda =z+\alpha ^{-1}

한 고유 기능을 가진 e

\lambda =z+\alpha ^{-1}

=

\lambda =z+\alpha ^{-1}

+

\lambda =z+\alpha ^{-1}

-

\lambda =z+\alpha ^{-1}

{\

를 취할 수 있다.

구간에 제한이 없거나 계수가 경계점에 특이치를 갖는 경우 $L$ 단수를 호출한다. 이 경우 스펙트럼은 더 이상 고유값만으로 구성되지 않으며 연속 성분을 포함할 수 있다. 관련 고유함수 확장(Fourier 시리즈 대 Fourier 변환과 유사함)이 여전히 존재한다. 이는 양자역학에서 중요한데, 1차원 시간 독립 슈뢰딩거 방정식은 S-L 방정식의 특수한 경우이기 때문이다.

비균형 2차 경계 값 문제에 대한 적용

일반적인 불균형 2차 선형 미분 방정식을 고려하십시오.

P(x)y'+Q(x)y'+R(x)y=f

P(x),Q(x),R(x),f(x)

함수

P(x),Q(x),R(x),f(x)

( x

P(x),Q(x),R(x),f(x)

)

P(x),Q(x),R(x),f(x)

,

P(x),Q(x),R(x),f(x)

(

P(x),Q(x),R(x),f(x)

)

P(x),Q(x),R(x),f(x)

, R

P(x),Q(x),R(x),f(x)

( x

P(x),Q(x),R(x),f(x)

)

P(x),Q(x),R(x),f(x)

, f

P(x),Q(x),R(x),f(x)

( x ) ,

P(x),Q(x),R(x),f(x)

(

P(x),Q(x),R(x),f(x)

)

{\displaystyle P(x),

Q

(x)

,

R

(

x) ,

f(x)}

. 이전과 같이

Ly=f

Ly=f

= f

displaystyle Ly=f

: 일반 S-L 연산자를 다음과 같이 쓸 수 있다.

Lu={\frac {p}{w(x)}}u'+{\frac {p'}{p'}{w(x)}u,

시스템 문제 해결:

[\displaystyle p=Pw,\quad p'=Qw,\quad q=Rw.}

해결 $(Pw)'$ = $Qw$ 에 해당하는 앞의 두 방정식을 푸는 것으로 충분하다.

w'={\frac {Q-P'}{P}{P}w:=\alpha w.

해결책은 다음과 같다.

w=\ex \left(\int \ 알파 \,dx\right),\quad p=P\ex \left(\int \alpha \,dx\right),\quad q=R\ex \left(\int \alpha \,dx\rig)

이러한 변혁을 고려할 때 다음 중 하나를 해결해야 한다.

Ly=f.}

일반적으로 $y (a)$ = 0, $y$ $0$ $(a)$ = $0$ 과 같은 특정 지점의 초기 조건이 명시된 경우, 2차 순서 미분 방정식은 통상적인 방법을 사용하여 해결할 수 있으며, Picard-Lindelöf 정리에서는 미분 방정식이 초기 조건이 지정된 지점의 인접 지역에서 고유한 해법이 있음을 보장한다.

그러나 한 지점에서 초기값을 지정하는 대신, $y (a)$ = $0$ , $y$ ( $b)$ = $1$ 과 같이 서로 다른 두 지점( 소위 경계 값)에서 값을 지정하는 것이 바람직하다면, 문제는 훨씬 더 어려운 것으로 판명된다. $a$ 와 $b$ 의 값이 원하는 경계 조건을 만족하는 $y$ 에 적절히 알려진 구별 가능한 함수를 추가하고 제안된 미분 방정식 내부에 주입함으로써 경계 조건이 $y (a)$ = $0$ , $y (b)$ = $0$ 형식이라는 일반성을 잃지 않고 가정할 수 있다는 점에 유의한다.

여기서 스터름-리우빌 이론이 실행된다. 실제로, 다음과 같은 고유값 $λ$ 을_i 가진 관련 리우빌 운영자의 일련의 정형외과적 고유특징 $u$ 의_i 관점에서 $f$ 의 많은 종류의 함수가 확장될 수 있다.

f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}(x),\quad \alpha _{i}\in {\mathb {R}}}}

그렇다면 제안된 방정식에 대한 해결책은 명백하게 다음과 같다.

y=\sum _{i}{\frac {\fract_{i}}{i}{\proda _{i}u_{i}.

이 해결책은 열린 $간격$ a < $x$ < b $>$ 에 의해서만 유효하며, 경계에서 실패할 수 있다.

예: 푸리에 시리즈

Sturm-Louville 문제를 고려하십시오.

Lu=-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}=\lambda u

(4)

미지의 것은 $λ$ 과 $u (x$ )이다 $.$ 경계 조건의 경우 다음을 예로 들 수 있다.

u(0)=u(\pi )=0.

$k$ 가 임의의 정수일 경우

u_{k}(x)=\sin kx

고유값

λ

=

k

를² 갖는 해법이다. 우리는 S-L 문제의 해결책이 직교 기준을 형성한다는 것을 알고 있으며, 푸리에 시리즈로부터 우리는 이 사인파 함수의 집합이 직교 기준이라는 것을 알고 있다. 직교 베이스는 항상 최대적이므로(정의상) 이 경우 S-L 문제는 다른 고유 벡터가 없다는 결론을 내린다.

앞서 말한 바와 같이 이제 비균형 문제를 해결하자.

Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )

y(0)=y(\pi )=0

한 경계 조건

y(0)=y(\pi )=0

( 0

y(0)=y(\pi )=0

)

y(0)=y(\pi )=0

= y (

y(0)=y(\pi )=0

)

y(0)=y(\pi )=0

=

y(0)=y(\pi )=0

{\displaystyle

y

(0)=y(\pi )=0

이 경우

f (x)

=

x

를 푸리에 시리즈로 확장해야 한다. 독자는 ∫

ex ikx

dx

를 통합하거나 Fourier 변환 표를 참조하여 우리가 얻은 것을 확인할 수 있다.

Ly=\sum _{k=1}^{\inflt }-2{\frac {\\frac(-1\오른쪽)^{k}}{k}\sin kx.

이 특별한 푸리에 시리즈는 컨버전스 특성이 좋지 않기 때문에 골칫거리다. 시리즈가 포인트로 수렴되는지 여부는 확실하지 않다. 푸리에 분석 때문에 푸리에 계수는 "제곱-섬머블"이기 때문에 푸리에 시리즈는 $L$ 로² 수렴되는데, 이것이 우리가 이 특정 이론이 작용하는 데 필요한 전부다. 우리는 이 경우에 푸리에 시리즈가 상이한 모든 지점에서 수렴되고 점프 지점(주기적 함수로 간주되는 함수 $x$ 는 at에서 점프를 한다)에서 좌우 한계의 평균으로 수렴된다는 결과에 의존할 수 있다고 관심 있는 독자를 위해 언급한다(푸리에 시리즈의 수렴 참조).

따라서 공식 (4)을 사용하여 다음과 같은 솔루션을 얻는다.

y=\sum _{k=1}^{\frac{{k-1)^{{k^{3}}}\sin kx={1}{6}(x^{3}-\pi ^{2}x).

이 경우 반분화를 이용해 답을 찾을 수도 있었지만, 이는 미분방정식이 많은 변수에 있는 대부분의 경우 더 이상 유용하지 않다.

부분 미분 방정식에 적용

정상 모드

특정 부분 미분방정식은 S-L 이론의 도움을 받아 해결할 수 있다. 직사각형 프레임, 0≤ $x$ ≤ $L 1$ , $0$ ≤ y ≤ $L$ 에₂ 고정된 얇은 막의 진동 모드에 관심이 있다고 가정합시다. 수직 막의 변위 $W (x, y, t)$ 에 대한 운동 방정식은 파동 방정식에 의해 주어진다.

{\frac {\reason ^{2}W}{\partial x^{2}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}.

변수의 분리 방법은 간단한 $형태$ 의 W = $X (x)$ × Y $(y)$ × $T (t$ )의 해결책을 먼저 찾는 것을 제안한다 $.$ 그러한 함수 $W$ 의 경우 부분 미분 방정식은 $X ″/ X$ + Y $″/ Y$ = 1 $/ c 2$ T $″/ T$ 가 된다. 이 방정식의 세 항은 $x,$ $y,$ $t$ 의 함수가 따로 있으므로 상수여야 한다. 예를 들어 첫 번째 항은 상수 $λ$ 에 대해 $X ″$ = $λX$ 를 준다. 경계 조건("사각형 프레임에 고정")은 $x$ = 0, $L$ $또는 1$ $y$ = $0$ , $L일 2$ 때 W = $0$ 이며, 예와 같이 가능한 가장 단순한 S-L 고유값 문제를 정의하여 고조파 시간 의존성을 가진 $W$ 에 대해 "정상 모드 솔루션"을 산출한다.

W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{1}}}\right)\sin \sin \left({\frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\mn}t\rig)

여기서

m

과

n

은 0이 아닌 정수,

A

는_mn 임의의 상수 및

\ega_{mn}^{2}=c^{2}\왼쪽({\frac {m^{2}\pi^{2}}:{{{1}^{1}2}}+{\frac {n^{n^{2}\2}}:{L_{2}^{2}}:}\오른쪽).

함수 $W$ 는_mn 파동 방정식의 (일반화된) 해법 힐버트 공간의 기초를 형성한다. 즉, 임의의 해법 $W$ 는 이들 모드의 합으로 분해될 수 있으며, 이는 개별 주파수 $Ω$ 에서_mn 진동한다. 이 표현에는 수렴 무한 합이 필요할 수 있다.

2차 선형 방정식

하나의 공간 차원에 선형 2차 순서와 형식의 시간 내에 1차 순서가 있는 경우:

f(x){\frac {\frac }{\frac }{\frac x^{2}}:}+g(x){\frac u}{\preason xh(x)={\fract u}{\frac t}}+k(t)u,},},}

u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).

변수를 분리하면

[\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)]}

그러면 위의 부분 미분 방정식은 다음과 같이 기록될 수 있다.

{{\frac {{L}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {{M}T(t)}{T(t)}}}}}}}}

어디에

{\L}=f{d^{2}}{dx^{2}}+g(x){\frac{d}{dx}+h(x),\qquad {\m}={\frac}{d}{d}{d}}}+k(t).

정의상 $L$ by과 $X (x)$ 는 시간 $t$ 와 독립적이고 M $̂$ 와 $T (t)$ 는 위치 $x$ 와 독립적이므로, 위의 방정식의 양쪽은 상수와 같아야 한다.

{\L}X(x)=\lambda X(x)=\qquad X(a)=0,\qquad {\m}T(t)=\lambda T(t).

이 방정식들 중 첫 번째 방정식은 $고유 n$ $특성$ X( $x)$ 와 고유값 $λ$ 의_n 관점에서 스터름-리우빌 문제로서 해결되어야 한다. 이들 방정식의 두 번째 방정식은 일단 고유값을 알면 분석적으로 해결할 수 있다.

{\frac {d}{dt}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)

T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int_{0}^{t(\tau )\,d\tau \right)

u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int_{0}^{t(\tau )\,d\tau \rig)}}

a_{n}={\bigl \langle }X_{n}(x), s(x){\bigr \langle }}{{n}(x),X_{n}(x){\bigr \r \rangele }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

어디에

{\bigl \langle }y(x),z(x){bigr \angle }=\int_{a}^{b}y(x)w(x)\,dx,

w(x)={\frac {\ex \ex \left(\int {\frac(x)}{f(x)}}}{f(x)}}

해결책의 표현 및 수치 계산

경계 조건이 있는 스터름-리우빌 미분방정식(1)은 정밀하거나 근사치를 제공할 수 있는 분석적 방법으로, 또는 게르크 외 연구소의 매트릭스-변량 방법으로 해결할 수 있다.^[1]^[2]^[3]

수치상으로도 다양한 방법을 이용할 수 있다. 어려운 경우 소수점 이하 몇 자리까지 고유값을 정확하게 얻기 위해서는 소수점 이하 수백 자리까지 중간 계산을 수행해야 할 수도 있다.

사격법^[4]^[5]
유한차법
스펙트럼 파라미터 파워 시리즈 방식^[6]

사격법

슈팅 방법은 $λ$ 의 값을 추측하고, 예를 들어, a, 구간[ $a$ , $b]$ 의 경계조건에 의해 정의된 초기값 문제를 해결하며 $,$ 다른 엔드포인트 $b$ 에서 이 솔루션이 취하는 값을 다른 원하는 경계조건과 비교하고, 마지막으로 $λ$ 의 값을 증가시키거나 감소시켜 원래의 값을 수정하는 방법으로 진행된다. 값. 이 전략은 복잡한 고유값을 찾는 데 적용할 수 없다.^{[clarification needed]}

스펙트럼 파라미터 파워 시리즈 방식

스펙트럼 파라미터 파워 시리즈(SPPS) 방법은 2차 일반 미분방정식에 대한 다음과 같은 사실을 일반화한다: $y$ 가[ $a, b]$ 의 어느 지점에서도 사라지지 않는 솔루션인 경우, 그 기능을 사용한다.

{\displaystyle y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}:

같은 방정식의 해법이며

y

로부터 선형적으로 독립적이다. 또한 모든 용액은 이 두 용액의 선형 결합이다. SPPS 알고리즘에서는 임의의 값

λ * 0

(

흔히 * 0

= =

0

; 고유값이 될 필요는 없음)과 (1)의₀ 솔루션 y가 [

a, b]

에서 사라지지 않는

λ

=

λ

으로^∗
₀ 시작해야 한다. (적절한

y

와₀

λ

을^∗
₀ 찾는 방법 아래 논의) 반복 통합이라고 하는

[

a, b

]의

X (n) (t

),

X),((n) t)

함수 두 시퀀스는 다음과 같이 반복적으로 정의된다.

첫째

, n =

0일

때, 그것들은 [

a, b]

의 1과 동일한 것으로 간주된다. 다음 기능을 얻기 위해

그들

은

1/

py

와²
₀

wy

를²
₀ 번갈아 곱하고

특히

n >

0

에 대해 통합한다.

X^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle -\int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle \quad \int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ even}}\end{cases}}

(5)

{\tilde {X}}^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle \quad \int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle -\int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ even.}}}\end{case}

(6)

결과적인 반복적 통합은 이제 λ에서 다음의 두 개의 동력계열의 계수로 적용된다.

u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infit }\left(\ftda -\ftda _{0}^{0}}\오른쪽)^{k}{\tilde{X}^{(2k)}

u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infit }\left(\ftda -\putda _{0}^{0}}\right)^{k}X^{(2k+1)}

그런 다음

λ

(실제 또는 복합)에 대해

u

와₀

u

는₁ 해당 방정식 (1)의 선형 독립 솔루션이다. (

p (x)

와

q (x)

함수는

y

의₀ 선택에 대한 영향을 통해 이 구조에 참여한다.)

다음에는 계수 $c$ 와₀ $c$ 를₁ 선택하여 $조합$ y = $cu 00$ + $cu$ 가₁₁ 첫 번째 경계 조건(2)을 만족시킨다. $이$ 는 n > $0$ 에 $대해$ $X (n) (a)$ = 0, X $((n) a)$ = $0$ 이므로 간단하다. $X (n) (b)$ 와 $X((n) b)$ 의 값은 $u 0 (b)$ 와 $u 1 (b)$ 의 값을 제공하고, 파생상품 $0 u (b$ )와 $u (0 b$ )의 값을 제공하므로 $,$ 두 번째 경계 조건(3)은 $λ$ 의 파워 시리즈에서 방정식이 된다. 수치 작업의 경우, $one$ 에서 계산 가능한 다항식을 생성하며, 그 뿌리가 추구하는 고유값의 근사치인 경우, 이 시리즈를 한정된 수의 항으로 자를 수 있다.

$λ$ = $λ$ 이면₀ 이는 주어진 용액에 선형적으로 독립적인 용액에 대해 위에서 설명한 원래 구조로 감소한다. 표현 (5)와 (6)도 스투름-리우빌 이론에 이론적 적용이 있다.^[6]

비파니싱 용액 제조

SPPS 방법은 그 자체로 시작 솔루션 $y$ 를₀ 찾는 데 사용될 수 있다. 등식 $(py')$ = $μqy$ , 즉 $q$ , $w$ , $μ$ 는 (1)에서 각각 0, $-q$ , $μ$ 로 대체되는 것을 고려한다. 그러면 상수함수 1은 고유값 $μ 0$ = $0$ 에 해당하는 비파니싱 용액이다. $u$ 나₀ $u$ 가₁ 사라지지 않을 것이라는 보장은 없지만, sturm 분리 정리의 결과로서 정규 S-L 방정식의 두 선형 독립 해법이 동시에 사라질 수 없기 때문에 $복합함수 0$ y = $u 0$ + $아이유$ 는₁ 결코 사라지지 않을 것이다. $이 0$ 트릭은 ∆ = $0$ 값에 대해 (1)의 $솔루션 0$ y를 제공한다. 실제로 (1)에 실제 계수가 있는 경우, $y$ 에₀ 기반한 솔루션은 폐기해야 하는 매우 작은 가상 부품을 가질 것이다.

참고 항목

참조

^ 에드 게르크, A. B. D'Oliveira, H. F. 드 카르발호. "세 쿼크의 경계 상태로서 무거운 바리온." 레테레 알 누오보 시멘토 38(1:27–32, 1983년 9월)
^ 아우구스토 B. D'Oliveira, Ed Gerck, Jason A. C. Gallas. "폐쇄형식으로 묶인 상태에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해결" 신체검사 A, 26:1(1) 1982년 6월.
^ 로버트 F. 오코넬, 제이슨 A. C. 갈라스, 에드 게르크. "자기장의 라이드버그 원자에 대한 스켈링 법칙" 물리적 검토서 50(5):324–327, 1983년 1월.
^ Pryce, J. D. (1993). Numerical Solution of Sturm–Liouville Problems. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853415-9.
^ Ledoux, V.; Van Daele, M.; Berghe, G. Vanden (2009). "Efficient computation of high index Sturm–Liouville eigenvalues for problems in physics". Comput. Phys. Commun. 180: 532–554. arXiv:0804.2605. Bibcode:2009CoPhC.180..241L. doi:10.1016/j.cpc.2008.10.001.
^ ^a ^b Kravchenko, V. V.; Porter, R. M. (2010). "Spectral parameter power series for Sturm–Liouville problems". Mathematical Methods in the Applied Sciences. 33 (4): 459–468. arXiv:0811.4488. doi:10.1002/mma.1205.

추가 읽기

"Sturm–Liouville theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Hartman, Philip (2002). Ordinary Differential Equations (2 ed.). Philadelphia: SIAM. ISBN 978-0-89871-510-1.
Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2003). Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2 ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. (5장)
Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. (단수 S-L 연산자 및 양자역학과의 연결은 9장 참조)
Zettl, Anton (2005). Sturm–Liouville Theory. Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3905-5.
Birkhoff, Garrett (1973). A source book in classical analysis. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ISBN 0-674-82245-5. (Sturm과 Louville의 작품에서 발췌한 내용과 그에 대한 해설은 8장 B부를 참조)
Kravchenko, Vladislav (2020). Direct and Inverse Sturm-Liouville Problems: A Method of Solution. Cham: Birkhäuser. ISBN 978-3-030-47848-3.

[1] 에드 게르크, A. B. D'Oliveira, H. F. 드 카르발호. "세 쿼크의 경계 상태로서 무거운 바리온." 레테레 알 누오보 시멘토 38(1:27–32, 1983년 9월)

[2] 아우구스토 B. D'Oliveira, Ed Gerck, Jason A. C. Gallas. "폐쇄형식으로 묶인 상태에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해결" 신체검사 A, 26:1(1) 1982년 6월.

[3] 로버트 F. 오코넬, 제이슨 A. C. 갈라스, 에드 게르크. "자기장의 라이드버그 원자에 대한 스켈링 법칙" 물리적 검토서 50(5):324–327, 1983년 1월.

[4] Pryce, J. D. (1993). Numerical Solution of Sturm–Liouville Problems. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853415-9.

[5] Ledoux, V.; Van Daele, M.; Berghe, G. Vanden (2009). "Efficient computation of high index Sturm–Liouville eigenvalues for problems in physics". Comput. Phys. Commun. 180: 532–554. arXiv:0804.2605. Bibcode:2009CoPhC.180..241L. doi:10.1016/j.cpc.2008.10.001.

[KP-6] Kravchenko, V. V.; Porter, R. M. (2010). "Spectral parameter power series for Sturm–Liouville problems". Mathematical Methods in the Applied Sciences. 33 (4): 459–468. arXiv:0811.4488. doi:10.1002/mma.1205.

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