σ-compact 공간
σ-compact space수학에서 위상학적 공간은 셀 수 없이 많은 콤팩트한 서브스페이스의 결합이라면 σ-compact라고 한다.[1]
공간은 σ콤팩트하고 국소적으로 콤팩트하면 σ-locally compact라고 한다.[2]
속성 및 예제
- 모든 콤팩트 공간은 is-콤팩트 공간이며, σ-콤팩트 공간은 린델뢰프(즉, 모든 오픈 커버에는 카운트 가능한 서브커버가 있다)[3]이다.역방향 함축은, 예를 들어, 표준 유클리드 공간(Rn)은 σ-compact이지만 콤팩트하지 않으며,[4] 실제 라인의 하한 위상은 린델뢰프(Lindelöf)이지만 comp-compact는 아니다.[5]사실, 셀 수 없는 세트의 카운트 가능한 보완 위상은 린델뢰프지만, σ-콤팩트나 국소적 컴팩트도 아니다.[6]그러나 국지적으로 콤팩트한 린델뢰프 공간은 모두 σ-compact인 것은 사실이다.
- 하우스도르프(Hausdorff), 또한 σ-compact인 Baire 공간은 적어도 한 점 이상 국소적으로 압축되어야 한다.
- 만약 G가 위상학 집단이고 G가 한 지점에서 국소적으로 압축된다면, G는 어디에서나 국소적으로 압축된다.따라서 이전 속성은 G가 σ콤팩트, 하우스도르프 위상학 그룹이며, 또한 바이어 공간이라면 G는 국소적으로 콤팩트하다는 것을 말해준다.이것은 또한 Baire 공간인 Hausdorff 위상학 그룹에게 for-compactness는 국소적 컴팩트성을 내포하고 있음을 보여준다.
- 예를 들어, 이전의 속성은ω R이 comp-compact가 아니라는 것을 암시한다: 만약 그것이 σ-compact였다면, 그것은ω 또한 Baire 공간인 위상학적 그룹이기 때문에 반드시 국소적으로 압축될 것이다.
- 모든 헤미콤팩트 공간은 σ-compact이다.[7]그러나 그 반대는 사실이 아니다.[8] 예를 들어, 일반적인 위상이 있는 이성들의 공간은 σ-compact이지만 헤미콤팩트는 아니다.
- 유한한 수의 σ-compact 공간의 산물은 σ-compact이다.그러나 무한히 많은 σ-compact 공간의 산물은 σ-compact가 되지 못할 수 있다.[9]
- X가 국소적으로 컴팩트한 지점 세트가 X에서 비어 있지 않은(존중적으로 밀도 높은) 경우에만 if-콤팩트 공간 X가 두 번째 범주(존중하게 Baire)이다.[10]
참고 항목
메모들
참조
- Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Topology, Holt, Rinehart 및 Winston의 Counterrexamps. ISBN0-03-079485-4.
- Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.
