시퀀스 공간

수학의 기능 분석과 관련 영역에서 시퀀스 공간은 요소들이 실제 또는 복잡한 숫자의 무한 시퀀스인 벡터 공간이다.동등하게, 자연수에서 실제 또는 복합수의 필드 K에 이르는 함수를 가진 함수 공간이다.그러한 모든 함수의 집합은 K에 원소가 있는 가능한 모든 무한 시퀀스의 집합으로 자연적으로 식별되며, 함수들의 점적 덧셈과 점적 스칼라 곱셈의 연산 하에서 벡터 공간으로 변할 수 있다.모든 시퀀스 공간은 이 공간의 선형 하위 공간이다.시퀀스 공간에는 일반적으로 표준 또는 적어도 위상 벡터 공간의 구조가 장착되어 있다.

분석에서 가장 중요한 시퀀스 공간은 p-power summary sequence로 구성된 ℓ^p 공간이며 p-norm이 있다.이것들은 자연수 집합에 대한 계수 측정에 대한^p L공간의 특별한 경우들이다.수렴 시퀀스 또는 null 시퀀스와 같은 다른 중요한 클래스의 시퀀스 공간은 각각 supp₀ norm로 c와 c로 표시된다.어떤 시퀀스 공간도 포인트와 컨버전스의 토폴로지를 장착할 수 있으며, 그 아래 FK 스페이스라고 불리는 특별한 종류의 프레셰트 공간이 된다.

정의

A sequence ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ in a set ${\displaystyle X}$ is just an ${\displaystyle X}$-valued map ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ whose value at ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ is일반적인 괄호 표기법 $x{\displaystyle }$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle x(n$)가 아닌$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$로 표시된다$.$$}$

모든 시퀀스의 공간

$K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$가) 실제 또는 복잡한 숫자 필드를 나타내도록 하십시오$$.$K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ 제품은 $K{\displaystyle \mathbb{}}$. ${\displaystyle \mathb {K}}$에 있는 모든 스칼라 시퀀스의 집합을 나타내며$$, 벡터 첨가가 정의되면 이 세트가$$ 벡터 공간이 될 수 있다.

${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathb {N}}+\left(y_{n}\right)_{n\mathb {N}{\}{\rm {def}{def}}}}}}}{n\in(x_{n}+y_{n}\in \n}}}\mathb)}}}}}})}}}}}}}})_{n\in \mathb.$

그리고 스칼라 곱셈은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathb {N}{\stackrel {\rm{def}}}{}}}}}}{}}}}}$

시퀀스 공간은 $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {K} ^{\mathb {N}}}$의 선형 하위 공간이다.

위상학적 공간으로서 $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$은(는) 당연히 제품 위상과 함께 부여된다$$.이 위상 아래 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$은 완전하고 메트리징 가능하며 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간(TV)이라는 뜻의 프리쳇이다.그러나 이 위상은 오히려 병리학적이다: $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에 연속적인 규범이 없기 때문에 제품 위상은 어떤 규범으로도 정의할 수 없다.$$^[1]Frechet 공간 $중$에서 K ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$은(는) 연속적인 규범이 없다는 점에서 미미하다$$.

그러나 제품 위상 또한 피할 수 없는 것이다: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ N ${\$} $^{\mathb{N}}}}}}}}}$은(^[1]는) 엄격히 강요하는 하우스도르프, 국소적으로 볼록한 위상(clocal colfus dorff)을 인정하지 않는다$$.그러한 이유로 시퀀스의 연구는 관심의 엄격한 선형 하위 공간을 찾아내고, 하위 공간 위상과 다른 위상(위상)을 부여함으로써 시작된다.

ℓ^p 공간

For ${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ is the subspace of ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ consisting of all sequences ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ satisfying

${\displaystyle \sum _{n} x_{n} ^{p}<\inful.}$

${\displaystyle \mathrm{p}}$ ${\displaystyle \ge }$ 1,${\displaystyle p\geq 1,}$인 경우, 실제$$ 값 작업 $\Vert {\displaystyle }$ ‖ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ p ${\$_{$p}$에 $의해$ 정의됨$$

${\displaystyle \ x\ _{p}=\left(\sum _{n} x_{n}^{p}\right)^{1/p}}}}$

$\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$. ${\displaystyle \ell ^{p}$에 규범을 정의한다.$}}$ 실제로$$ $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$은 이 규범과 관련된 완전한 메트릭스 공간이므로$$ Banach 공간이다.

< < ,${\displaystyle 0<1,}$인 경우, ${\displaystyle p^{}}$ p$${\$displaystyle \ell$^{$p}}$은(는) 표준이 아니라$$ 다음에 의해 정의된 메트릭을 전달한다.

${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}\왼쪽 x_{n}-y_{n}\오른쪽 ^{p}\,}$

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle p=\inflt ,}$인 경우 $then$ {\displaystyle \ell ^{\inflt }}은$($는) 표준과 함께 부여된 모든 경계 시퀀스의 공간으로 정의된다$$.

${\displaystyle \ x\ _{\infit }=\supp_{n} x_{n},}$

${\$}}도 바나흐 공간이다$$.

c₀₀, c, c₀

수렴 시퀀스 c의 공간은 시퀀스 공간이다.이는 림_n→∞ x가_n 존재하는 모든$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\bullet }_{}}$ ∙ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ N ${\$로 구성된다.모든 수렴 순서가 경계되기 때문에 c는 $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ℓ${\$의 선형 하위 공간이다$.$ 더욱이 무한규범에 관한 폐쇄형 하위 공간이며, 따라서 바나흐 공간은 그 자체로 되어 있다.

null 시퀀스 c의₀ 하위 공간은 제한이 0인 모든 시퀀스로 구성된다.이것은 c의 닫힌 하위 공간이며, 다시 Banach 공간이다.

결국 0 시퀀스 c의₀₀ 하위 공간은 0이 아닌 원소만 미세하게 많이 갖는 모든 시퀀스로 구성된다.이것은 닫힌 하위 공간이 아니므로 바나흐 공간(무한도 규범에 관한)이 아니다.예를 들어 시퀀스$({\displaystyle {{xn}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {k_{}}_{}}$) k${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\$$_{k\in \mathbb {N} }}$ where ${\displaystyle x_{nk}=1/k}$ for the first ${\displaystyle n}$ entries (for ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$) and is zero everywhere else (i.e. ${\displaystyle \left(x_$${message}\right)$$_{k\in \mathb {N}}=\좌측$(1$,1/2,\ldots,1/($n-1)$1/n,0,0,\ldots \right})$은$($는) Cauchy이지만 c의₀₀ 순서에 수렴하지는 않는다.

모든 유한 시퀀스의 공간

내버려두다

${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}}$,

$K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐 유한 시퀀스의 공간을 나타낸다$.$ 벡터 공간으로서 $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$ft$$}}$은 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {00}_{}}$ ${\$c_${00$과 동일하지만$$, $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $∞${\$displaystyputb{{{{{K$}}}}는$$ 위상이 다르다$.$

For every natural number ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, let ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ denote the usual Euclidean space endowed with the Euclidean topology and let ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty$$}}}$은 표준포함 표시

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$.

각 포용의 이미지는

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

그리고 결과적으로,

${\displaystyle \mathb {K} ^{\infit }=\bigcup _{n\in \mathb {N}\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathb {K} ^{n}\rig}\right)}$

이 포함 제품군은 $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 최종 위상${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}\tau {\displaystyle {}^{}}$${\$을(를$)$ 제공하여 모든 포함이 연속적으로 이루어지도록$$ 한다.이 위상과 함께 $K{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는) Fréchet-Uryson이 아닌 국소 볼록, 순차, 위상 벡터 공간인 완전한 Hausdorff가 된다$$.위상 ${\$ 또한 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $N{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$${\$$${$K} ^{\$$infit }}$에서 유도된 아공간 위상보다 엄격하게 미세하다$.$

Convergence in ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ has a natural description: if ${\displaystyle v\in \mathbb {K} ^{\infty }}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }}$ is a sequence in ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ then ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ in ${\displaystyle {\tau }^{}}$${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ if and only ${\displaystyle v_{\bullet }}$ is eventually contained in a single image ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ and ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ under the natural topology o그 이미지.

Often, each image ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ is identified with the corresponding ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$; explicitly, the elements ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$$\in \mathb {K} ^{n}$ 및${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$, 0 , ${\displaystyle 0}$ , 0 , 0 , …${\displaystyle }$) ${\$ $\n},0,0,\ldots \right)}$이 식별된다.This is facilitated by the fact that the subspace topology on ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$, the quotient topology from the map ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}}$, and the Euclidean topology on ${\displaystyle {\mathbb{K}}^n}$${\displaystyle \mathb{K} ^{n}}$ 모두$$ 일치한다.With this identification, ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ is the direct limit of the directed system ${\displaystyle ({\left({\mathbb{K}}^n\right)}_{n\in \mathbb{N}},{({\mathrm{In}}_{}}_{}}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ where every inclusion adds trailing zeros:

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right)}$.

이것은${\displaystyle }$(${\displaystyle K{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ,${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$) ${\$이 LB-공간임을 보여준다.

기타 시퀀스 공간

bs로 나타내는 경계 영상 시리즈의 공간은 다음 중 하나에 해당하는$$ $시퀀스{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$의 공간이다.

$\displaystyle \sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infuly .}}$

이 공간은, 표준이 갖추어져 있을 때.

${\displaystyle \ x\ _{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_\right\vert ,}$

Banach 공간은 선형 매핑을 통해$$ $\ell {\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \ell ^{\inflt }}$에 대해 등각형이다.

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathb {N}}\mapsto \left(\sum_{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathb {N}}}}$

모든 수렴성 시리즈로 구성된 아공간 cs는 이 이 이형성 하에서 공간 c로 넘어가는 아공간이다.

공간 φ 또는 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {00}_{}}$ ${\$은 한정된 수의 0이 아닌 항만 있는 모든 무한 시퀀스의 공간으로 정의된다$$.이 세트는 많은 시퀀스 공간이 밀집되어 있다.

ℓ공간의^p 특성 및 c공간의₀ 특성

내부 제품에 의해 유도되는 어떤 규범도 평행사변형 법칙을 충족시켜야 하기 때문에 공간 ℓ은² 힐버트 공간인 유일한 ℓ^p 공간이다.

${\displaystyle \ x+y\ _{p}^{2}+\ x-y\ _{p}^{2}=2\ x\ _{p}^{2}+2\ _{p}^{p}^{2}.}$

두 개의 구별되는 단위 벡터를 x와 y로 대체하는 것은 p = 2가 아닌 한 그 정체성이 사실이 아님을 직접적으로 보여준다.

각 ℓ은^p 구별되는데, 그 점에서 ℓ은^p p < s마다 ℓ의^s 엄격한 부분집합이고, 더욱이 ℓ은^p p ≠ s일 때 ℓ에^s 대해 선형적으로 이형질이 아니다.실제로 피트의 정리(Pitt 1936)에 따르면 ℓ에서^s ℓ까지의^p 모든 경계 선형 연산자는 p < s가 되면 콤팩트하다.그러한 연산자는 이형성일 수 없으며, 나아가 ℓ의^s 어떤 무한 차원 아공간에서도 이형성이 될 수 없으며, 따라서 엄격히 단수적이라고 한다.

1 < p < ∞의 경우, ℓ의^p (연속적) 이중 공간은 ℓ에^q 대해 등축적으로 이형성이며, 여기서 q는 p: 1/p + 1/q = 1의 Hölder 결합물이다.특정 이형성(異形性)은 기능적인 ℓ의^q 요소 x와 관련된다.

ℓ의^p y를 위하여쾰더의 불평등은 ℓ에^p 대한 L이_x 경계 선형 함수라는 것을 의미하며, 사실 ℓ에 대한 기능이다.운영자 표준이 충족되도록

${\displaystyle \ L_{x}\ _{(\ell ^{p})^{*}}{\\stackrel {\rm {def}}}}\sup _{y\not=0}{\frac {L_{x}(y){{p\}}}}}}}}}}*}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\x.}$

사실 y를 ℓ의^p 요소로 삼는 것은

${\displaystyle y_{n}={\case}0&{\text{if}}\x_{n}^{n1}*-1} x_{n}^{q}&{n1}{n1}{n}}}{{n}}}}{{n}}\text}\neq 0\case{nd}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

실제로_x L(y) = x , 를 부여한다.

${\displaystyle \ L_{x}\ _{(\ell ^{p})^{*}}=\ x\ _{q}.}$

반대로 ℓ에^p 경계 선형 함수 L이 주어지면 x_n = L(e_n)에 의해 정의된 순서는 in에^q 있다.따라서 mapping $x{\displaystyle }$l ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 등위계를 제공한다$$.

지도

${\displaystyle \ell ^{q}{\xrightarrow {\q}(\ell ^{p})^{*}{*}{\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*}}}^{-1}}}}}}}}}}}}}:{-1}$

κ을_p 그것의 전치물의 역방향으로 합성하여 얻은 것은 ℓ의^q 이중 이중으로 표준 주입하는 것과 일치한다.결과적으로 ℓ은^q 반사적인 공간이다.표기법을 남용함으로써 ℓ의^p 이중으로 ℓ을^q 식별하는 것이 일반적이다: (ℓ^p)^* = ℓ^q. 그러면 식별(ℓ^p)^** = (ℓ^q)^* = ℓ의^p 순서로 반사성을 파악한다.

공간 c는₀ 모든 시퀀스가 0으로 수렴되는 공간으로 정의되며, 표준은 x 와 동일하다.ℓ의^∞ 폐쇄된 하위공간으로, 따라서 바나흐 공간이다.c의₀ 이중은 ℓ이고¹, 이중은¹ ℓ이다^∞.자연수지수 집합의 경우 ℓ과^p c는₀ 분리할 수 있으며, ℓ만을^∞ 예외로 한다.ℓ의^∞ 이중은 ba 공간이다.

공간 c와₀ ℓ^p (1 ≤ p < ∞의 경우)는 표준적인 무조건적인 Schauder 기반 {e_i = 1, 2,...}을(를) 가지고 있으며, 여기서 e는_i i ^th 엔트리에서 0이 아닌 1의 순서다.

공간 ℓ에는¹ 슈르 특성이 있다.ℓ에서는¹ 약하게 수렴되는 어떤 수열도 강하게 수렴된다(슈르 1921).그러나 무한차원 공간의 약한 위상은 강한 위상에 비해 엄격히 약하기 때문에 ℓ에는¹ 약하지만 강한 수렴이 되지 않는 그물이 있다.

ℓ^p 공간은 많은 바나흐 공간에 내장될 수 있다.모든 무한 차원 바나흐 공간에 어떤 ℓ의^p 이소모프(Isomorph)가 들어 있는지, c의₀ 이소모프(Isomopph)가 들어 있는지에 대한 문제는 1974년 B. S. 티렐슨이 티렐슨 공간을 건설하면서 부정적으로 대답했다.모든 분리 가능한 바나흐 공간이 ℓ의¹ 지수 공간에 선형적으로 등축적이라는 이중 진술은 바나흐 & 마주르(1933년)에 의해 긍정적으로 답변되었다.즉, 모든 분리 바나흐 공간 X에, 지수 지도 Q:X⁡ Q{\displaystyle\ell ^{1}/\ker Q}. 일반적으로,ker Qℓ1에 보완되지 않다 1/ker ℓ에 동형은 ℓ 1→ X(X}, 그래서, 그,ℓ1 의 부분 공간 Y은 ℓ 1)Y⊕ ker ⁡ A. 존재하지 않는다 존재하는 것이다${\displaystyle \ell ^{1}=$$Y\oplus \ker Q}$. In fact, ℓ¹ has uncountably many uncomplemented subspaces that are not isomorphic to one another (for example, take ${\displaystyle X=\ell ^{p}}$; since there are uncountably many such X 's, and since no ℓ^p is isomorphic to any other, there are thus uncountably many ker Q 's).

사소한 유한차원의 경우를 제외하면^p of의 특이한 특징은 다항반사성이 아니라는 점이다.

ℓ^p p의 공간은 증가하고 있다.

p∈[1, ∞]{\displaystyle p\in[1,\infty]}내용은 공간 ℓ p{\displaystyle\ell ^{p}}p{p\displaystyle}에 포함 사업자 연속으로 진행된:1≤<>q≤ ∞{1\leq p<, q\leq\infty\displaystyle}로,‖ f≤ p{\displaystyle\와 같이 f\_{q}\leq)f\ ‖ f‖ q‖가 있다._{p}}$$.

This follows from defining ${\displaystyle F:={\frac {f}{\ f\ _{p}}}}$ for ${\displaystyle f\in \ell ^{p}}$, and noting that ${\displaystyle F(m) \leq 1}$ for all ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, which can be shown to imply ${\disp$$레이스타일$\$F\ _{q}^{q}\leq 1}$.

모든 분리² 가능한 무한 치수 힐버트 공간에 대해 이형성

H를 분리할 수 있는 힐버트 공간이 되게 하라.H의 모든 직교 세트는 최대 카운트할 수 있다(즉, 유한 치수 또는 ${\displaystyle {or\mathrm{}}_{}}$ 0$displaystyle \,\aleph _{0}\,}).$^[2]다음 두 가지 항목이 관련된다.

• H가 무한치수라면 ℓ과² 이형이다.
• dim(H)이 N이면 H가 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해 이형성이 된다.

ℓ공간의¹ 속성

ℓ의¹ 원소 순서는 이 공간에서 약하게 수렴되는 경우에만 복잡한¹ 시퀀스의 공간에 수렴한다.^[3]K가 이 공간의 부분 집합인 경우, 다음과 같다.^[3]

1. K는 소형이다.
2. K는 약하게 소형이다.
3. K는 무한에서 경계, 폐쇄, 등거리이다.

무한원 여기 K고 equismall은 모든 ε>에 0{\displaystyle \varepsilon>0}, 자연수 nε ≥ 0{\displaystyle n_{\varepsilon}\geq 0}일 경우가∑ nxns∞ n<>ε{\textstyle \sum_{n=n_{\epsilon}}^{\infty}s_{n}<>\varepsilon}ϵ 모든에)(존재한다는 것을 의미한다. snx$n$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle K}${\$displaystyle s=\left(s_{n}\right)$_{$n=$1}^{\$fty }\in K$

참고 항목

• 엘^p 스페이스
• 티렐슨 공간
• 베타 테두리 공간
• 오르릭츠 시퀀스 공간
• 힐베르트 공간

참조

참고 문헌 목록

• Banach, Stefan; Mazur, S. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica, 4: 100–112.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Pitt, H.R. (1936), "A note on bilinear forms", J. London Math. Soc., 11 (3): 174–180, doi:10.1112/jlms/s1-11.3.174.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 151: 79–111, doi:10.1515/crll.1921.151.79.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.