패스트 칼만 필터

앤티 랜지(41년생)가 고안한 고속 칼만필터(FKF)는 헬머트-늑대 차단^[1](HWB) 방식의 연장선상에서 대기단층촬영(GNSS 항법) 등 KF(Kalman Filtering)의 지오디(Geodey)에서 안전중요 실시간 응용으로, 대기단층 단층 촬영 등 지구 정확도와 위성 영상까지 확대된 것이다.

동기

Kalman 필터는 실시간 영상을 포함한 광범위한 시스템에 내결함성을 구축하는 데 중요한 필터링 기법이다.일반 칼만 필터는 선형 시스템을 위한 최적의 필터링 알고리즘이다.그러나 Kalman의 관측 가능성과 관리 가능성 조건이 지속적으로 만족되지 않으면 최적의 Kalman 필터는 안정적이지 않다(즉, 신뢰할 수 없다).^[2]이 조건들은 더 큰 시스템을 유지하기 매우 어렵다.이것은 최적의 Kalman 필터라도 잘못된 해결책으로 방향을 바꾸기 시작할 수 있다는 것을 의미한다.다행히도, 최적 Kalman 필터의 안정성은 이들 필터만 신뢰성 있게 추정할 수 있다면 오류 분산을 모니터링하여 제어할 수 있다(예: MINQU).그러나 그들의 정확한 계산은 최적의 칼만 필터링 그 자체보다 훨씬 더 까다롭다.FKF 컴퓨팅 방법은 이러한 측면에서도 요구되는 속도를 제공하는 경우가 많다.

최적교정

칼만 필터에 의해 좁은 데이터 창(즉, 너무 적은 측정치)이 계속 사용될 경우 심각한 관측가능성 문제가 발생할 수 있는 상태 매개변수의 대표적인 예가 교정 매개변수다.^[3]궤도를 선회하는 인공위성에 탑재된 계측기를 관찰하면 계측기의 보정이 지상에서 간접적으로 이루어지는 최적의 Kalman 필터링의 예가 된다.^[4]Kalman 필터의 어떤 종류에 의해서 한 번에 너무 작은 데이터 샘플이 처리되는 경우 거의 관찰할 수 없거나 전혀 관찰할 수 없는 다른 상태 매개변수도 존재할 수 있다.

역문제

일반적인^[5] Kalman 재귀의 역문제의 계산 하중은 동시에 처리된 측정 횟수의 세제곱에 대략 비례한다.이 숫자는 각 스칼라 측정을 독립적으로 처리하고 (필요한 경우) 이러한 측정을 디상관화하기 위한 간단한 사전 필터링 알고리즘을 수행함으로써 항상 1로 설정할 수 있다.그러나 크고 복잡한 시스템의 경우 이러한 사전 필터링은 HWB 컴퓨팅이 필요할 수 있다.입력 데이터의 너무 좁은 창을 계속 사용하면 교정 매개변수의 관측 가능성이 약해지고, 장기적으로는 안전 중요 애플리케이션에서 완전히 수용할 수 없는 심각한 관리 가능성 문제가 발생할 수 있다.

많은 측정이 동시에 처리되는 경우에도 일부 측정이 일부 상태 또는 교정 파라미터와 독립적으로 나타나기 때문에 선형화된 방정식 시스템이 희박해지는 것은 드문 일이 아니다.위성 지오디의 문제에서,^[6] HWB (및 FKF) 방법의 계산 하중은 대략 수십억 개의 측정치가 아닌 상태 및 교정 파라미터의 총 숫자의 제곱에 비례한다.

신뢰할 수 있는 솔루션

신뢰할 수 있는 작동 Kalman 필터링을 위해서는 실시간의 지속적인 데이터 융합이 필요하다.최적성은 기본적으로 모든 측정값과 추정 상태 및 교정 매개변수 사이의 정확한 분산 및 공분산 사용에 따라 달라진다.이 큰 오차 공분산 행렬은 각 정규 방정식 시스템에서 행렬 역순으로 구한다.^[7]계수 행렬은 일반적으로 희박하며 모든 추정된 모수의 정확한 용액은 HWB(및 FKF) 방법을 사용하여 계산할 수 있다.^[7]최적의 용액은 다른 희소 매트릭스 기법 또는 변동 미적분학을 기반으로 한 일부 반복적 방법을 사용하여 가우스 제거에 의해서도 얻을 수 있다.그러나 이러한 후자의 방법은 모든 오차 분산 및 공분산 행렬의 큰 행렬을 대략적으로만 해결할 수 있으며 데이터 융합을 엄격히 최적의 방식으로 수행하지는 않을 것이다.따라서 Kalman의 관측 가능성과 관리 가능성 조건이 영구적으로 충족되더라도 Kalman 필터링의 장기적 안정성은 불확실해진다.

설명

Fast Kalman 필터는 HWB는 희박한 선형 방정식을 해결하기 위한 반전 방법이기 때문에 희박한 행렬이 있는 시스템에만 적용된다(^[8]Wolf, 1978).

반전될 희소 계수 행렬은 종종 경계 블록 또는 대각선(BBD) 구조를 가질 수 있다.만약 그것이 밴드 대각선이라면, 그것은 예를 들어 일반화된 표준 상관 분석(gCCA)을 통해 블록 대각선 형태로 변환될 수 있다.

따라서 다음과 같은 분석 반전 공식을 사용하여 이러한 큰 행렬을 블록화 방식으로 가장 효과적으로 반전시킬 수 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}}$

프로베니우스 자손이 어디에 있든지

${\displaystyle A}$= ${\displaystyle A=}$큰$$ 블록 또는 대각선(BD) 행렬을 쉽게 반전시킬 수 있으며,

${\displaystyle }$$($ ${\displaystyle D}$- ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\$$displaystyle$$(D-CA$^{-$1}B)=}$$A$의 슈르 보완이라고 하는 훨씬 작은$$ 행렬$.$

이것은 일반적인 칼만 재귀가 할 수 있는 것보다 훨씬 더 많은 상태와 교정 파라미터를 계산적으로 추정할 수 있게 하는 FKF 방법이다.이들의 작동 정확도는 또한 C. R. R. R. Rao의 최소-정규 2차 편중 추정(MINKE) 이론에서 신뢰성 있게 추정할 수 있으며, 이 최적의 고속 Kalman 필터링의 안정성 제어에 사용할 수 있다.^[9]

적용들

FKF 방법은 위성 지오디의 매우 높은 정확도를 VRS(Virtual Reference Station) 실시간 키네마틱(RTK) 조사, 모바일 위치 측정 및 매우 신뢰할 수 있는 항법까지 확장한다.^[10]첫 번째 중요한 애플리케이션은 기상학,^[11] 지구물리학, 천문학 등에서 지구 관측 시스템의 실시간 최적 교정이 될 것이다.

예를 들어, 수치 기상 예측(NWP) 시스템은 이제 신뢰 구간으로 관측치를 예측할 수 있고 따라서 운영 품질 관리를 개선할 수 있다.관측치를 예측할 때 불확실성이 갑자기 증가하면 중요한 관측치가 누락되거나(관측가능성 문제), 예측할 수 없는 날씨 변화가 일어나고 있음을 나타낼 수 있다(통제가능성 문제).위성으로부터의 원격 감지 및 영상 촬영은 부분적으로 예측된 정보에 기초한다.이러한 예측과 위성 이미지 사이의 피드백의 안정성을 제어하려면 FKF가 충족시키는 빠르고 견고한 센서 융합 기술이 필요하다.

FKF의 계산적 장점은 실시간으로 소량의 데이터만 사용하는 어플리케이션의 경우 미미하다.따라서 개선된 내장 교정 및 데이터 통신 인프라가 우선 개발되고 공공 용도로 도입되어야만 개인용 기기와 기계 대 기계 장치가 FKF를 최대한 활용할 수 있다.

참조

외부 링크

• BBD - 소프트웨어
• FKF - 공식
• HWB - 공식
• FKF - 공식의 오차 공분산 행렬
• 특별한 신호 처리를 위해 설계된 다른 Fast Kalman 알고리즘이 있다(예: 참조).IEEE Xplore에서 고속 Kalman 알고리즘 안정화
• 실시간 이미지 처리를 위한 Kalman 필터 레시피