알파 베타 필터

알파 베타 필터(alpha-beta filter, f-g filter 또는 g-h filter라고도^[1] 함)는 추정, 데이터 평활 및 제어 응용을 위한 관찰자의 단순화된 형태다.그것은 Kalman 필터와 제어 이론에 사용되는 선형 상태 관찰자들과 밀접한 관련이 있다.세부적인 시스템 모델을 요구하지 않는 것이 주된 장점이다.

필터 방정식

알파 베타 필터는 시스템이 두 개의 내부 상태를 가진 모델에 의해 적절하게 근사치된다고 가정하며, 여기서 시간 경과에 따른 두 번째 상태의 값을 통합하여 첫 번째 상태를 얻는다.측정된 시스템 출력 값은 첫 번째 모델 상태의 관측치와 장애에 해당한다.이 매우 낮은 순서의 근사치는 예를 들어, 속도가 시간 적분으로 위치를 얻는 기계 시스템과 같은 많은 단순한 시스템에 적합하다.기계적 시스템 유추에 기초하여 두 상태를 위치 x 및 속도 v라고 할 수 있다. 측정 사이의 소시간 간격 ΔT에 걸쳐 속도가 대략적으로 일정하다고 가정할 때 위치 상태는 방정식 1을 사용하여 다음 샘플링 시간에 값을 예측하기 위해 앞으로 투영된다.

{\textbf{1}:{x}}_{k}\왼쪽 화살표 {\hat {\textbf{x}}}_{k-1}+\delta {\textbf {}\}}}{\textbf{v}}}}}}{\textb-1}:{\hat {\textb-1}:{k-1}:{k-1}:{k-1}:{k-1}:{k-1}:{k-1}:{k-1}:{k-1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

속도 변수 v는 상수로 간주되기 때문에 다음 샘플링 시 그것의 예상 값은 현재 값과 같다.

{\textbf{{v}}_{k}\왼쪽 화살표 {\hat {\textbf{v}}_{k-1}:{k-1

주행 기능이 각 시간 간격 동안 v 상태를 어떻게 변화시킬 것인지에 대한 추가 정보가 알려진 경우 방정식 2를 포함하도록 수정할 수 있다.

출력 측정은 단순 동적 모델에 포함되지 않은 노이즈와 동적 효과 때문에 예측에서 벗어날 것으로 예상된다.이 예측 오류 r은 통계적 또는 Kalman 필터링 해석에 기초하여 잔차 또는 혁신이라고도 한다.

{\textbf{}}}}\hat {\textbf {r}_{k}\좌측 화살표 {\textbf {x}-{k}-{\hat {\textbf {x}}_{k}}}}}

잔차 r이 양수라고 가정하자.이는 이전 x 추정치가 낮거나, 이전 v가 낮거나, 또는 두 개의 조합이 일부 있기 때문에 발생할 수 있다.알파 베타 필터는 선택된 알파 및 베타 상수(필터가 이름을 얻는 위치)를 취하고, 편차 r의 알파배를 사용하여 위치 추정치를 수정하며, 편차 r의 베타배를 사용하여 속도 추정치를 수정한다.추가 ΔT 인자는 일반적으로 승수의 크기를 정규화하는 역할을 한다.

{\textbf{r}}}\hat {\textbf {x}_{k}\좌측 화살표 {\hat {\textbf {x}}}{k}+(\chat)\hat {\textbf{r}}_{k}}}}}}}}}}}{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

{\textbf{{v}}_{k}\좌측 화살표 {\hat {\textbf {v}}_{k}+(\Delta {\textrm {T})\\\hat {\textbf{r}}_{k}}}}}}}

보정은 구배 방향의 추정치를 따라 작은 단계로 간주할 수 있다.이러한 조정이 누적되면 주 추정치의 오차가 감소한다.수렴과 안정성을 위해 알파와 베타 승수의 값은 양수여야 하며 다음과 같이 작아야 한다.^[2]

\cHB 0<\put <1

############################

\cHB 0<4-2\cHB -\cHB

잡음은 $0<\beta <1$ < $0<\beta <1$ < $0<\beta <1$ ${\displaystyle 0<\beta <1},$ 그렇지 않으면 노이즈가 증폭될 때만 억제된다.

알파와 베타 값은 일반적으로 실험적으로 조정된다.일반적으로 알파와 베타 이득이 클수록 과도 변화를 추적하기 위해 더 빠른 반응을 생성하는 경향이 있는 반면, 알파와 베타 이득이 작을수록 주 추정치의 소음 수준이 감소한다.정확한 추적과 소음 감소 간에 적절한 균형이 발견되고 알고리즘이 유효하다면 직접 측정보다 필터링된 추정치가 더 정확하다.이것은 알파베타 과정을 필터라고 부르는 동기를 부여한다.

알고리즘 요약

초기화하다.

사전 정보 또는 추가 측정을 사용하여 상태 추정치 x와 v의 초기 값을 설정하고, 그렇지 않으면 초기 상태 값을 0으로 설정하십시오.
알파 및 베타 보정 이득 값을 선택하십시오.

업데이트. 각 시간 단계 ΔT:

프로젝트 상태 방정식 1과 2를 사용하여 x와 v를 추정함
출력 값의 전류 측정값 획득
방정식 3을 사용하여 잔차 r 계산
방정식 4와 5를 사용하여 상태 추정치 수정
업데이트된 x 및 선택적 v를 필터 출력으로 전송

샘플 프로그램

알파 베타 필터는 다음과^[3] 같이 C에서 구현할 수 있다.

#include <stdio.h> #include <stdlib.h>  인트로 본래의() {  둥둥 뜨다 dt = 0.5;  둥둥 뜨다 xk_1 = 0, vk_1 = 0, a = 0.85, b = 0.005;   둥둥 뜨다 xk, vk, rk;  둥둥 뜨다 xm;   하는 동안에 (1)  {      // 퇴각하여 편집   xm = 랜드() % 100; // 입력 신호    xk = xk_1 + (vk_1 * dt);   vk = vk_1;    rk = xm - xk;    xk += a * rk;   vk += (b * rk) / dt;    xk_1 = xk;   vk_1 = vk;    활자화하다(%f\t%f\n", xm, xk_1);   잠을 자다(1);  } }

결과

다음 이미지는 위의 프로그램의 결과를 그래픽 형식으로 묘사한다.각 영상에서 파란색 트레이스는 입력 신호로, 출력은 첫 번째 영상에서 빨간색, 두 번째 영상에서 노란색, 세 번째 영상에서 녹색이다.처음 두 영상의 경우 출력 신호는 입력 신호보다 눈에 띄게 부드러우며 입력에서 보이는 극도의 스파이크가 없다.또한 출력은 입력의 그라데이션 방향의 추정치로 이동한다.

알파 매개변수가 높을수록 입력의 효과가 높다.x댐핑이 더 적어질 수 있다.베타 값이 낮으면 급상승 속도를 조절하는 데 효과적이다.또한 알파는 단결을 넘어 증가함에 따라 출력이 입력보다 거칠어지고 고르지 않게 된다.^[3]

알파 = 0.85 및 베타 = 0.005에 대한 결과	알파 = 0.5 및 베타 = 0.1에 대한 결과	알파 = 1.5 및 베타 = 0.5에 대한 결과

일반 국가 관찰자들과의 관계

선형 제어 시스템을 위한 루엔버거 관찰자와 같은 보다 일반적인 상태 관찰자는 엄격한 시스템 모델을 사용한다.선형 관측자는 게인 행렬을 사용하여 측정된 변수와 상태 변수의 선형 조합인 예측 출력 사이의 다중 편차에서 보정을 측정한다.알파 베타 필터의 경우 이 게인 행렬은 두 항으로 줄어든다.최고의 관찰자 이득 조건을 결정하는 데 일반적인 이론은 없으며, 일반적으로 이득은 두 가지 모두에 대해 실험적으로 조정된다.

선형 루엔버거 관찰자 방정식은 다음과 같은 전문화 및 단순화를 적용하여 알파 베타 필터로 감소한다.

이산 상태 전이 행렬 A는 치수 2의 제곱 행렬로, 모든 주요 대각선 항은 1과 같고, 첫 번째 초대각 항은 ΔT와 같다.
관측 방정식 행렬 C에는 출력에 대한 첫 번째 상태 변수의 값을 선택하는 행이 하나 있다.
필터 보정 게인 행렬 L에는 알파 게인 값과 베타 게인 값이 들어 있는 열이 하나 있다.
두 번째 상태 용어에 대해 알려진 주행 신호는 입력 신호 벡터 u의 일부로 표시되며, 그렇지 않으면 u 벡터는 0으로 설정된다.
입력 커플링 매트릭스 B는 벡터 u가 0이 아닌 경우 마지막 요소로 0이 아닌 게인 항을 가진다.

Kalman 필터와의 관계

Kalman 필터는 상태 변수의 값을 추정하여 알파 베타 필터 또는 상태 관찰자와 유사한 방법으로 수정한다.그러나 칼만 필터는 훨씬 더 형식적이고 엄격한 방법으로 이것을 한다.Kalman 필터와 알파 베타 필터 사이의 주요 차이점은 다음과 같다.

주 관찰자들과 마찬가지로 칼만 필터는 두 개의 주로 제한되지 않는 상세한 동적 시스템 모델을 사용한다.
Kalman 필터는 상태 관찰자와 마찬가지로 일반적으로 여러 관측 변수를 사용하여 상태 변수 추정치를 수정하며, 이러한 변수는 개별 시스템 상태를 직접 측정할 필요가 없다.
Kalman 필터는 상태 및 관측치에 공분산 노이즈 모델을 사용한다.이를 사용하여 주 공분산의 시간 의존적 추정치가 자동으로 업데이트되며, 이로부터 Kalman gain matrix 항이 계산된다.알파 베타 필터 이득은 수동으로 선택하고 고정한다.
특정 유형의 문제의 경우, Kalman 필터는 Wiener 최적이며 알파 베타 필터는 일반적으로 하위 최적이다.

공정 잡음 공분산 및 측정 공분산을 일정하게 유지하는 일정 속도 목표 역학(공정) 모델(즉, 측정 업데이트 간 등속)을 사용하여 움직이는 물체를 추적하도록 설계된 Kalman 필터는 알파-베타 필터와 동일한 구조로 수렴한다.그러나 Kalman 필터의 이득은 가정된 프로세스 및 측정 오류 통계를 사용하여 각 시간 단계에서 재귀적으로 계산되는 반면 알파베타의 이득은 임시로 계산된다.

파라미터 선택

필터 $\sigma _{v}^{2}$ ^[4]^[5] 매개 변수가 샘플링 간격 $T$ ${\displaystyle$ T $T$ 프로세스 분산 $\sigma _{w}^{2}$ $\sigma _{w}^{2}$ $\sigma _{w}^{2}$ ${\$ 노이즈 $\sigma _{w}^{2}$ 분산 $\sigma _{v}^{2}$ $\sigma _{v}^{2}$ 2 ${\$ \ $v}^{v}^{$ 2}}에서 계산되면 알파-베타 필터는 안정 상태 Kalman 필터가 된다.

\lambda ={\frac {\frama _{w}T^{2}}:{\sigma _{v}}}}

r={\frac {4+\fragda -{\sqrt {8\pairda +\pairda ^{2}}:{4}}}}

\cHB =1-r^{2}

\cHB =2\왼쪽(2-\cHB\오른쪽)-4{\sqrt{1-\cHB }

필터 매개 변수를 이렇게 선택하면 평균 제곱 오차가 최소화된다.

정상 상태 혁신 분산 $s$ 은(는) 다음과 같이 표현할 수 있다 $s$ .

{\displaystyle s={\frac {\fracma _{v}^{2}}:{1-\properties ^{2}}:

변형

알파 필터

이 필터 제품군의 더 간단한 구성원은 오직 하나의 상태만을 관측하는 알파 필터다.

{\textbf {x}_{k}\왼쪽 화살표 {\textbf {x}}_{k}+(\textbf {r}_{k})\\\hat {\textbf {r}_{k}}}}}

다음과 같이 계산된 최적 파라미터:^[4]

{\regressed}\frageda &={\fracema _{w}T^{2}}:{\sigma _{v}}\\알파 &={\frac {-\lambda ^{2}+{\sqrt{\lambda ^{4}+16\lambda ^{2}}}}}}{8}}}\end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

이 계산은 이동 평균과 저역 통과 필터에 대해 동일하다.지수 평활은 의도된 알파 필터와 수학적으로 동일하다.

알파 베타 감마 필터

두 번째 상태 변수가 빠르게 변화할 때, 즉 첫 번째 상태의 가속도가 클 때 알파 베타 필터의 상태를 한 단계 확장하는 것이 유용할 수 있다.이 연장선에서 두 번째 상태 변수 v는 세 번째 가속도 상태를 통합하여 얻는데, 이는 두 번째 상태를 통합하여 첫 번째 상태를 얻는 방법과 유사하다.국가를 위한 방정식이 방정식 시스템에 추가된다.세 번째 승수인 감마는 새로운 상태 추정치에 보정을 적용하기 위해 선택된다.이것은 알파 베타 감마 업데이트 방정식을 산출한다.^[1]

{\textbf {x}_{k}\왼쪽 화살표 {\textbf {x}_{k}+(\textbf {x}}+(\textbf {r}_{k})\\\textbf {r}_{k}}}}}}}}

{\textbf {v}_{k}\왼쪽 화살표 {\hat {\textbf {v}_{k}+(\beta /[\Delta {\textrm {T}])\\\textbf {r}_{k}}}}}

{\textbf {a}_{k}\왼쪽 화살표 {\textbf {a}_{k}+(2\gamma /[\delta{\textrm{T}}}}^{\textbf{r}}}}}}\\textbf {r}{k}}}}}}}}}

추가 고차 주문과 유사한 연장이 가능하지만,^{[citation needed]} 대부분의 고차 시스템은 여러 상태 간에 유의미한 상호작용이 있는 경향이 있으므로 시스템 역학을 단순한 통합자 체인으로 근사하게 추정하면 유용성이 입증될 가능성이 적다.

알파-베타-감마 필터의 최적 매개변수를 계산하는 것은 알파-베타 필터보다 약간 더 관련이 있다.^[5]

{\regressed}\frageda &={\fracema _{w}T^{2}}{\sigma_{v}}}\\[2ex]b&, ={\frac{\lambda}{2}}-3\\c&, ={\frac{\lambda}{2}}+3\\d&, =-1\\p&, =c-{\frac{{2b^}}{3}}\\q&, ={\frac{2b^{3}}{27}}-{\frac{bc}{3}}+d\\v&, ={\sqrt{q^{2}+{\frac{4p^{3}}{27}}}}\\z&, =-{\sqrt[{3}]{q+{\frac{v}{2}}}}\\s&, =z-{\frac{p}{3z}}-{\frac{b}{3}}\\[2ex]\alpha&=1-s^{2}\\\beta&=2(1-s)^.{2}\\\gamma&={\frac{\beta ^{2}}{2\alpha }}\end{정렬}

참고 항목

참조

^ ^a ^b 일라이 브루크너:추적 및 칼만 필터링이 쉬워졌다.와일리-인터사이언스, 1998년 4월호
^ C. 프랭크 애스키스:1차 선형 필터의 중량 선택.기술 보고서, 1969년 앨라배마 주 레드스톤 아스널의 육군간 지침 및 통제 연구소 센터.https://doi.org/10.21236/ad0859332
^ ^a ^b 핸드헬드 마이크로 수술 기기에서 떨림 현상 취소, TC83: Gaurav Mital, Deepansh Sehgal 및 Harsimran Jit Singh, 펀자브 공과대학
^ ^a ^b 폴 R. 칼라타:추적 지수: α-β 및 α-β-임의 표적 추적기에 대한 일반화된 매개변수.IEEE 항공 및 전자 시스템에 관한 거래, AES-20(2):174–181, 1984년 3월.
^ ^a ^b J. E. Gray 및 W. J. Murray: 알파-베타 감마 필터의 추적 지수에 대한 분석 표현식의 파생.IEEE 트랜스.항공우주 및 전자시스템, 29:1064–1065, 1993.

원천

외부 링크

[Brookner-1] 일라이 브루크너:추적 및 칼만 필터링이 쉬워졌다.와일리-인터사이언스, 1998년 4월호

[2] C. 프랭크 애스키스:1차 선형 필터의 중량 선택.기술 보고서, 1969년 앨라배마 주 레드스톤 아스널의 육군간 지침 및 통제 연구소 센터.https://doi.org/10.21236/ad0859332

[ReferenceA-3] 핸드헬드 마이크로 수술 기기에서 떨림 현상 취소, TC83: Gaurav Mital, Deepansh Sehgal 및 Harsimran Jit Singh, 펀자브 공과대학

[Kalata-4] 폴 R. 칼라타:추적 지수: α-β 및 α-β-임의 표적 추적기에 대한 일반화된 매개변수.IEEE 항공 및 전자 시스템에 관한 거래, AES-20(2):174–181, 1984년 3월.

[GrayMurray-5] J. E. Gray 및 W. J. Murray: 알파-베타 감마 필터의 추적 지수에 대한 분석 표현식의 파생.IEEE 트랜스.항공우주 및 전자시스템, 29:1064–1065, 1993.

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