양면 라플라스 변환

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수학에서 양면 라플라스 변환 또는 쌍방향 라플라스 변환은 확률의 모멘트 생성 함수와 동등한 적분 변환이다. 양면 라플라스 변환은 푸리에 변환, 멜린 변환, 일반 또는 단면 라플라스 변환과 밀접한 관련이 있다. f(t)가 모든 실제 숫자에 대해 정의된 실제 변수 t의 실제 또는 복합 값 함수인 경우, 양면 Laplace 변환은 적분으로 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal{B}\{f\}s=F=\int_{-\infit }^{-\f(t)\,dt.}$

적분은 가장 일반적으로 부적절한 적분으로 이해되며, 두 적분 모두 합친 경우에만 수렴된다.

${\displaystyle \int _{0}^{\not}e^{-st}f(t)\,dt,\not \int _{-\f(t)^{0}e^{st}f(t)\,dt}$

존재한다. 양면 변환에는 일반적으로 허용되는 표기법이 없는 것 같다. 여기서 사용되는$$ B ${\$은(는) "양면"을 떠올린다. 일부 저자들이 사용하는 양면변형은

${\displaystyle {\mathcal{T}\{f\}s=s{\mathcal{B}\{f\}s=sF=s=s\int_{-\infit _{-}^{-st}f(t)\,dt.}$

순수수학에서 인수 t는 어떤 변수가 될 수 있으며, 라플라스 변환은 미분 연산자가 함수를 어떻게 변환하는지를 연구하기 위해 사용된다.

과학 및 엔지니어링 애플리케이션에서 인수 t는 흔히 시간(초 단위)을 나타내며, 함수 f(t)는 시간에 따라 변화하는 신호나 파형을 나타내는 경우가 많다. 이 경우 신호는 필터에 의해 변환되는데, 이는 수학적 연산자처럼 작동하지만 제한과 함께 작동한다. 그들은 인과적이어야 하는데, 이것은 주어진 시간 t의 출력이 t의 더 높은 값인 출력에 의존할 수 없다는 것을 의미한다. 인구 생태학에서, 논쟁 t는 종종 분산된 커널의 공간적 변위를 나타낸다.

시간의 함수로 작업할 때, f(t)를 신호의 시간 영역 표현이라고 하고, F(s)를 s-도메인(또는 라플라스 도메인) 표현이라고 한다. 역 변환은 모든 주파수를 차지한 주파수 성분의 합으로 신호의 합성을 나타내는 반면, 전방 변환은 주파수 성분에 대한 신호의 분석을 나타낸다.

기타 적분 변환과의 관계

만일 u가 그 인수가 0보다 작을 때 0과 같을 때 0과 같을 때 0과 같을 때 1/2과 같을 때, 그리고 그 인수가 0보다 클 때 1과 같을 경우, 라플라스 $변환{\displaystyle \mathcal{}}$ L ${\$은 다음에 의한 양면 라플라스 변환의 관점에서 정의될 수 있다$$.

${\displaystyle {\mathcal {L}\{f\}={\mathcal {B}\{fu\}.}$

반면에, 우리는 또한

${\displaystyle {\mathcal {B}\{f\}={\mathcal {L}\{f\}+{\mathcal {L}\{f\circlem\}\circlem,}}$

여기서 $m{\displaystyle }$: ${\displaystyle R\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ m$:\mathb {R} \to$\mathb ${R}$\$to \mathb$ {R}}은(는$)$ 마이너스 1(${\displaystyle )(x}$로 곱하는 함수이므로$$ 라플라스 $변환$의 어느 버전도 다른 버전과 관련하여 정의할 수 있다.$$

멜린 변환은 다음에 의해 양면 라플라스 변환의 관점에서 정의될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {M}\{f\}={\mathcal{B}\{f\circle {\exp }\circlem\}}}$

위와 같이$$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$을(를) 사용하며, 반대로 우리는 Mellin 변환으로부터 양면 변환을 다음에 의해 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {B}\{f\}={\mathcal {M}\{f\circle m\log \}}$

푸리에 변환은 양면 라플라스 변환의 측면에서도 정의될 수 있다. 여기서 원본이 다른 동일한 이미지를 갖는 대신, 우리는 동일한 원본이지만 다른 이미지를 가진다. 우리는 푸리에 변환을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {F}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).}$

푸리에 변환의 정의는 특히 서로 다르다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\mathcal {F}\{f(t)\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt{2\pi }}{\mathcal {B}\{f(t)\}s}}$

종종 대신 사용된다. 푸리에 변환의 관점에서, 우리는 또한 양면 라플라스 변환을 얻을 수도 있다.

${\displaystyle {\mathcal{B}\{f(t)\}s={\mathcal {F}\{f(t)\}}-is.}$

푸리에 변환은 일반적으로 실제 값에 대해 존재하도록 정의된다 위의 정의는 실제 축을 포함하지 않을 수 $스트립$의$이미지$를 정의한다$.$

연속 확률밀도함수 ƒ(x)의 모멘트 생성함수는 $B{\displaystyle \mathcal{}}${ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle {\mathcal {B}\{f\}(-s)}$ 로 표현할 수 있다$.$

특성.

브레이스웰(2000년)에서는 다음과 같은 특성을 찾아볼 수 있다.

쌍방향 라플라스 변환 특성

속성	시간 영역	s 도메인	정합성 스트립	댓글
정의	${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle F(s)=\int _{-\infit }^{\f(t)\,e^{-st}\,dt}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$
시간 스케일링	$(\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{{}F\왼쪽({s \over a}\오른쪽)}$	$\displaystyle \alpha <a^{-1}\,\res<\beta }$	$\mathb {R}에 a\in 표시$
역전	$(\displaystyle f(-t)}$	$F(-s)}$	$(\displaystyle -\beta <\re s>-\alpha }$
주파수영역파생상품	${\displaystyle tf(t)}$	${\displaystyle -F's}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$
주파수 영역 일반 파생 모델	${\displaystyle t^{n}f(t)}$	${\displaystyle(-1)^{n}\,F^{(n)}s}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$
파생상품	$(\displaystyle f'(t)}$	$(\displaystyle sF)$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$
일반파생상품	${\displaystyle f^{(n)}(t)}$	${\displaystyle s^{n}\,F}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$
주파수 영역 통합	${\displaystyle {\frac {1}{t}\,f(t)}$	${\displaystyle \int _{s}^{\nothy}F(\sigma )\,d\sigma }$		적분이 존재하는 경우에만 유효하다.
시간 영역 적분	${\displaystyle \int _{-\infit }^{t}f(\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle {1 \over s}F}$	$\\displaystyle \max(\alpha ,0)<\res<\beta }$
시간 영역 적분	${\displaystyle \int _{t}^{\\inf(\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle {1 \over s}F}$	$\displaystyle \alpha <\Re s<\min(\beta ,0)}$
주파수 시프트	${\displaystyle e^{at}\,f(t)}$	$F(s-a)}$	$\displaystyle \alpha +\Rea a<\re beta +\re a}$
시간 이동	$(\displaystyle f(t-a)}$	${\displaystyle e^{-as}\,F}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$	$\mathb {R}에 a\in 표시$
변조	$[\displaystyle \cos(at)\,f(t)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}F(s-ia)+{\tfrac {1}{2}}F(s+ia)}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$	$\mathb {R}에 a\in 표시$
유한차이	${\displaystyle f(t+{\tfrac {1}{2}}a)-f(t-{\tfrac {1}{2}}a)}$	${\displaystyle 2\sinh({\tfrac {1}{2}}as)\,F}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$	$\mathb {R}에 a\in 표시$
곱하기	$[\displaystyle f(t)\,g(t)}$	${\displaystyle {1}{2\pi i}\int _{c-i\infit }^{c+i\infit }F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \}}}$	${\displaystyle \alpha _{f}+\alpha _{g}<Re s<\beta _{f}+\beta _{g}}}}$	< < < f {\$displaystyle \protect_{$f}}<$c<\property_{f$ 통합은 정합 영역 안에서 수직선 Re(Re) = c를 따라 이루어진다.
콤플렉스 결합	${\displaystyle {\overline {f(t)}}$	${\displaystyle {\overline {F({\overline {s})}}}$	$\displaystyle \alpha <\re s<\beta }$
콘볼루션	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infit }^{\f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau }}$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$	${\displaystyle \max(\alpha _{f},\alpha _{g})<Re s<\min(\beta _{f},\beta _{g}}}}$
교차상관	${\displaystyle (f\star g)(t)=\int_{-\infit }^{\infit }{\overline {f(\tau )}\,g(t+\tau )\,d\tau }}$	${\displaystyle {\overline {F(-{\overline {s})}}\cdot G(s)}$	${\displaystyle \max(-\beta _{f},\alpha _{g})<\re s<\min(-\alpha _{f},\beta _{g}}}}$

쌍방향 라플라스 변환의 대부분의 속성은 일방적인 라플라스 변환의 속성과 매우 유사하지만 다음과 같은 몇 가지 중요한 차이점이 있다.

일방적 변환의 속성 vs 양자 변환의 속성

	일방적 시간 영역	양자간 시간영역	일방적 영역	쌍방의 영역
차별화	$f(t)\ }$	$f(t)\ }$	${\displaystyle sF-f(0)\ }$	$(\displaystyle sF)\ }$
2차 분화	$(\displaystyle f'(t)\ }$	$(\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\ }$	${\displaystyle s^{2}F\ }$
콘볼루션	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau \ }$	${\displaystyle \int _{-\infit }^{\\f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau \ \}$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
교차상관	${\displaystyle \int_{0}^{\infit }{\overline {f(\tau )}\,g(t+\tau )\,d\tau \}}$	${\displaystyle \int _{-\infit }^{\\infit }{\overline {f(\tau )}\,g(t+\tau )\,d\tau \}}$	${\displaystyle {\overline {F(-{\overline {s})}}}\cdot G(s)\}$	${\displaystyle {\overline {F(-{\overline {s})}}}\cdot G(s)\}$

For any two functions ${\textstyle f,g}$ for which the two-sided Laplace transforms ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\},{\mathcal {T}}\{g\}}$ exist, if ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}={\mathcal {T}}\{g\},}$ i.e. $$$T\mathbb{}$$${ $f$ $\}$($s$ )$$= T { g$\}$ ($s$) ${\textstyle {\t$}\{$f\}(s)={\mathcal{T}\{g\}={\$textstyle $s\in \mathb$ {$R},}$의 모든 값에 대해$$ 거의 모든$$ $\mathrm{위치}$에서$${\$textstylease f={\$g$}$

수렴영역

정합화를 위한 양자 변환 요구사항은 일방적인 변환보다 더 어렵다. 수렴 영역은 보통 더 작을 것이다.

f가 국소적으로 통합할 수 있는 함수(또는 보다 일반적으로 한정된 변동에 대한 보렐 측정)인 경우, 라플라스 변환 F(s)의 f 수렴

${\displaystyle \lim _{R\to \int_{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$

라플라스 변환은 필수 구성 요소인 경우 절대적으로 수렴된다.

${\displaystyle \int_{0}^{0}^{\infit }\f(t)e^{-st}\오른쪽 \,dt}$

(적절한 르베그 적분으로) 존재한다. 라플라스 변환은 보통 조건적으로 수렴되는 것으로 이해되는데, 이는 후자의 감각 대신에 전자의 감각으로 수렴한다는 것을 의미한다.

F(s)가 절대적으로 수렴하는 값 집합은 Re(s) > a 또는 다른 Re(s) ≥ a 형식 중 하나이며, 여기서 a는 확장된 실제 상수인 -∞ a a. (이것은 지배적인 수렴 정리로부터 온다.) 상수 a는 절대 수렴의 압시사로 알려져 있으며, f(t)의 성장 행동에 따라 달라진다.^[1] 유사하게, 양면 변환은 << Re(s) < b> 형태의 스트립에 절대적으로 수렴되며, R(s) = a 또는 Re(s) = b(b) 라인을 포함할 수 있다.^[2] 라플라스 변환이 절대적으로 수렴되는 s 값의 부분집합을 절대 수렴 영역 또는 절대 수렴 영역이라고 한다. 양면적인 경우에는 절대 융합의 스트립이라고 부르기도 한다. 라플라스 변환은 절대 수렴 영역에서 분석적이다.

마찬가지로 F가 수렴하는 값 집합(조건부 또는 절대적)을 조건부 수렴 영역 또는 단순히 수렴 영역(ROC)이라고 한다. 라플라스 변환이 s = s에서₀ (조건적으로₀) 수렴되면, 모든 s에 대해 자동으로 수렴된다. 따라서 수렴 영역은 Re(s) > a 형식의 반평면이며, 경계선 Re(s) = a의 일부 지점을 포함할 수 있다. 수렴 영역 Re(s) > Re(s₀)에서 f의 라플라스 변환은 부분별로 적분으로 통합하여 표현할 수 있다.

${\displaystyle F(s)=(s-s_{0}\int _{0}}\{0}e^{0}e^{0}t}\-(s-s_{0}}t)\beta(t)\beta(u)=\int _{0}^{0}e^{-s_{0}f(t)\dt)\dt}.$

즉, 수렴 영역에서 F는 일부 다른 기능의 절대 수렴성 라플라스 변환으로 효과적으로 표현될 수 있다. 특히 분석적이다.

F의 붕괴 특성과 수렴 지역 내에서 라플라스 변환의 특성 사이의 관계에 관한 몇 가지 Paley-Wiener 이론이 있다.

엔지니어링 애플리케이션에서, 모든 경계 입력이 경계 출력을 생성하는 경우 선형 시간 변동성(LTI) 시스템에 해당하는 함수는 안정적이다.

인과성

양자 변환은 인과관계를 존중하지 않는다. 일반적인 기능보다 적용하면 이해가 되지만 시간(신호)의 기능을 사용할 때는 일방적인 변환을 선호한다.

선택한 양방향 라플라스 변환 표

양자 라플라스 변환에 대한 다음과 같은 흥미로운 예는 브레이스웰(2000)에서 찾을 수 있다.

선택된 쌍방향 라플라스 변환

함수	시간 영역 ${\displaystyle f(t)={\mathcal{B}^{-1}\{F(s)\}}}$	라플라스 s-도메인 ${\displaystyle F(s)={\mathcal{B}\{f(t)\}}}$	수렴영역	댓글
직사각형의 충동	${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{aligned}1&\quad {\text{if}}\; t <{\tfrac {1}{2}}\\{\tfrac {1}{2}}&\quad {\text{if}}\; t ={\tfrac {1}{2}}\\0&\quad {\text{if}}\; t >{\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}\right.}$	${\displaystyle 2s^{-1}\,\sinh {\frac {s}{2}}:}$	모두
삼각 충동	${\displaystyle f(t)=\left\{\preligned}- t &\data.t &\data.t; t \leq 1\\\\0&\data.t;1\ended}\right.}$	${\displaystyle \left(2s^{-1}\,\sinh {\frac {s}{2}}\오른쪽)^{2}}$	모두
가우스어	${\displaystyle \exp \left(-a^{2}\,t^{2}-b\,t\right)$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }{a}\,\exp {\frac {(s+b)^{2}}:{4\,a^{2}}:$	모두	${\displaystyle \Re (a^{2})>0}$

참고 항목

• 원인필터
• 아카이슈 제도
• 인과계
• Sinc 필터 – 이상적인 Sinc 필터(직사각형 필터라고 함)는 숙독성이며 무한 지연이 있다.

참조

• LePage, Wilbur R, 복잡한 변수 및 엔지니어를 위한 Laplace Transformation, Dover Publications, 1980/
• 반 데르 폴, 발타사르, 브레머, 브레머, 양면 라플라스 적분, 첼시 펍에 기초한 작전 미적분. 1987년 3부 회사.
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923.
• Bracewell, Ronald N. (2000). The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.).