Cobb-Douglas 생산함수

경제학과 계량경제학에서 Cobb-Douglas 생산함수는 두 개 이상의 투입물(특히 물리적 자본과 노동)의 양과 그러한 투입물에 의해 생산될 수 있는 산출물의 양 사이의 기술적 관계를 나타내는 데 널리 사용되는 생산함수의 특정한 기능적 형태입니다.콥-더글라스 양식은 1927년에서 1947년 ^[1]사이에 찰스 콥과 폴 더글라스에 의해 ^[2]통계적 증거와 대조하여 개발되고 테스트되었습니다.

공식화

두 가지 요소를 가진 단일 재화의 생산을 위한 그것의 가장 표준적인 형태에서, 함수는

${\displaystyle Y(L,K)=AL^{\beta}K^{\alpha}}$

여기서:

• Y = 총생산량(1년 또는 365.25일 동안 생산된 모든 상품의 실질가치)
• L = 노동투입량(1년 또는 365.25일간 1인당 노동시간)
• K = 자본투입량(모든 기계, 설비, 건물에 대한 척도; 자본투입량의 값을 자본의 가격으로 나눈 값)
• A = 총요소생산성
• 0< < {\$displaystyle$ 0 <\$alpha <1$$},$ < < {\$displaystyle$ 0 <\displaystyle 0 $<\display<1$$}.$이 값은 사용 가능한 기술에 의해 결정되는 상수입니다.

자본과 노동은 Cobb-Douglas 생산함수의 두 "생산요소"입니다.

역사

Paul Douglas는 그의 첫 번째 Cobb-Douglas 생산 함수 공식은 1927년에 개발되었다고 설명했습니다. 그가 노동자와 자본에 대해 계산한 추정치를 연관시키는 함수 형태를 찾고 있을 때, 그는 수학자이자 동료인 Charles Cobb와 이야기했습니다. 그는 Knut Wicksell, Philip에 의해 이전에 사용되었던 Y = ALK 형태의 함수를 제안했습니다.더글라스는 윅스티드와 왈라스의 ^[3]공헌을 인정하지만, 윅스티드와 왈라스는 그들의 공헌을 인정합니다.1926년 크누트 윅셀이 사망한 지 얼마 지나지 않아 폴 더글라스와 찰스 콥은 생산자 이론의 주제 방식을 다루는 작업에서 처음으로 콥-더글라스 함수를 ^[4]구현했습니다.최소 제곱을 사용하여 이를 추정하여 노동 지수 0.75에 대한 결과를 얻었으며, 이 결과는 National Bureau of Economic Research에 의해 0.741로 확인되었습니다.1940년대 후반의 연구는 그들이 K와 L의 지수가 다양하도록 허용하도록 유도했고, 그 결과 추정치는 ^[5]그 당시에 개발된 생산성의 향상된 측정치에 매우 근접한 것으로 증명되었습니다.

당시 주요 비판은 생산 기능에 대한 추정치가 겉보기에는 정확하지만 너무 희박한 데이터를 기반으로 하기 때문에 신뢰성을 크게 부여하기 어렵다는 것이었습니다.더글러스는 "저는 이 비판에 낙담하고 그 노력을 포기할 생각을 했다는 것을 인정해야 하지만,^[5] 제가 계속해야 한다는 것을 말해주는 것이 있었습니다."라고 말했습니다.획기적인 발전은 단면적이고 많은 관측치를 제공하는 미국 센서스 데이터를 사용하여 이루어졌습니다.더글러스는 1947년 미국경제학회 회장으로서 행한 연설에서 다른 나라들에 대한 것들과 함께 이러한 발견들의 결과들을 발표했습니다.얼마 지나지 않아 더글러스는 정치에 입문했고, 건강이 좋지 않아 그의 편이 거의 발전하지 못했습니다.하지만, 20년 후, 폴 새뮤얼슨과 로버트 ^[5]솔로와 같은 경제학자들에 의해 채택되면서, 그의 생산 기능은 널리 사용되었습니다.특히 Cobb-Douglas 생산 함수는 경제학자들이 거시경제학적 ^[6]관점에서 거시경제학을 접근하는 방식에 획기적인 변화를 가져왔습니다.

한계생산의 긍정성

생산 요소의 한계 생산물은 생산 요소가 변했을 때의 생산량의 변화이며, 다른 모든 생산 요소와 총 요소 생산성을 일정하게 유지합니다.

자본의 한계곱인 ${\displaystyle \mathrm{MPK}}$ ${\displaystyle$ MPK$}$는 자본에 대한 생산함수의 첫 번째 도함수에 해당합니다.

${\displaystyle MPK={\dfrac {\beta Y}{\partial K}=\alpha AL^{\beta }K^{\alpha -1}=\alpha {\dfrac {AL^{\beta }K^{\alpha }}{K}=\alpha {\dfrac {Y}}$

α> {\$displaystyle \alpha >0}$ (Y >, > ${\displaystyle$Y >$0,K >0$$})$이기 때문에 자본의 한계생산은 항상 양수, 즉 자본의 증가가 생산량의 증가로 이어진다는 것을 알 수 있습니다.

또한 총 요소 $생산성{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$ A$}$을(를) 증가시키면 자본의 한계 생산이 증가함을 알 수 있습니다.

유사한 추론은 노동을 의미합니다.

수확체감의 법칙

자본에 대한 자본의 한계 생산물의 미분, 즉 자본에 대한 생산함수의 2차 미분을 취하면 다음과 같은 것이 있습니다.

${\dfrac {\displaystyle {\display MPK}{\partial K}}={\dfrac {\display^{2}Y}{\부분 K^{2}}={\dfrac {\beta}{\beta}}(AL^{\beta}\alpha K^{\alpha -1})=AL^{\beta }\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}=\alpha (\alpha -1)AL^{\beta}{\dfrac {K^{\alpha}}{K^{2}}=\alpha(\alpha -1){\dfrac {Y}{K^{2}}}}$

< {\$displaystyle \alpha <1$ 그 α - < ${\displaystyle \alpha -1<0}$이므로 ∂ ∂ < ${\dfrac {\partial$ MPK$}}<0$입니다.

따라서 이 함수는 "수익 감소"의 법칙, 즉 자본의 한계 생산물은 항상 긍정적이지만 감소하고 있습니다.자본이 증가함에 따라(노동과 총요소 생산성을 일정하게 유지), 생산은 증가하지만 감소율은 감소합니다.

비슷한 추론이 노동을 의미합니다.

교차도함수

우리는 노동에 대한 자본의 한계 생산물의 부분 도함수, 즉 자본과 노동에 대한 산출물의 교차 도함수를 취함으로써 노동이 증가할 때 자본의 한계 생산물에 어떤 일이 일어나는지 연구할 수 있습니다.

${\dfrac {\dpartial MPK}{\partial L}}={\dfrac {\dpartial ^{2}Y}{\partial K\partial L}}={\dfrac {\partial L}{\partial L}}(AL^{\beta}\alpha K^{\alpha -1})=A\beta L^{\beta -1}\alpha K^{\alpha -1}=A\alpha \alpha {L^{\beta}K^{\alpha}}}{LK}}=\alpha \alpha {\dfrac {Y}{LK}}}$

L > {\$displaystyle {\dfrac {\partial$ MPK}{\$partial$ L$}}$ > $0$이므로 노동력의 증가는 자본의 한계생산을 증가시킵니다.

축척으로 돌아감

산출 탄력성은 생산에 사용되는 노동이나 자본 수준의 변화에 대한 산출물의 반응성을 측정합니다.예를 들어 α = 0.45인 경우 자본 사용량이 1% 증가하면 생산량이 약 0.45% 증가합니다.

때때로 이 용어는 더 제한적인 의미를 가지며, 함수 표시 상수가 척도로 돌아갈 것을 요구합니다. 즉, 자본 K와 노동 L을 k만큼 증가시키면 출력 Y도 동일한 인자만큼 ${\displaystyle \mathrm{증가}}$합니다. 즉${\displaystyle ,}$ Y(${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L,}$k ${\displaystyle K}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y(L,}$ K$)$ {\$displaystyle$Y($kL,$k K) = $k Y(L,$ K$)\}.$ 이것은${\displaystyle \alpha }$ + ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$ =$$1 {\$displaystyle$ \alpha $+\cyclus$=$1$}인 $경우$에 성립합니다.$$.

α+ < {\$displaystyle \alpha +\beta <1$인 경우, 스케일로 돌아옵니다. 즉, K와 노동 L이 인자 k만큼 증가하면 Yk L, K) < {\$displaystyle$ Y$(k$ L$, K)$ < k Y$(L, K$^[7]보다 작은 출력 Y가 증가합니다.

α+ > {\$displaystyle \alpha +\beta >1$인 경우 스케일로 돌아감은 증가하는데, 이는 자본 K와 노동 L이 인자 k보다 큰 출력 Y의 증가, 즉 (L,) > Y ( ){\$displaystyle$Y ($k$L, $K$) > k Y $(L, K$^[7]

완전경쟁시보수

완전 경쟁 하에서, 생산 요소들은 총 한계 생산물에서 보수를 받습니다.

자본의 한계생산량은 ${\displaystyle \mathrm{MP}}$ ${\displaystyle K}$= ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\alpha }{}}}$ Y$$K {\$displaystyle$ MPK =$\alpha {\dfrac$ {$Y}{$K$\}\}$이며, 자본의 단위별 보수입니다.총 자본의 보수를 알아보려면 이 $수량$에$$K를 곱해야 $합니다$. {\$displaystyle$ K$\}:$

${\displaystyle \text{자본수익}=}$ ${\displaystyle K}$⋅ ${\displaystyle \text{M}P}$ K = ${\displaystyle \alpha }$ Y$${\$text{자본$=$K\cdot$MPK =\$alpha$Y$\}.$

따라서 생산량의 $공유{\displaystyle }$ α ${\displaystyle \alpha}$는 자본을 보상합니다.

비슷한 추론에 의해 우리는 생산량의 $공유{\displaystyle }$β {\$displaystyle \beta}$가 노동력을 보상한다는 것을 알 수 있습니다.

이 공유는${\displaystyle }$α +${\displaystyle \mathrm{\beta }}$=$$1 {\$displaystyle$ \$alpha +\$displaystyle \alpha = $1$인 $경우$에만 출력의 최대 100%를 추가합니다.

일반화양식

일반화된 형태로 Cobb-Douglas 기능은 2개 이상의 제품을 모델로 합니다.Cobb-Douglas 함수는 다음과^[8] 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\quad _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots,x_{n}).}$

어디에

• A은(는) 효율 파라미터입니다.
• n은 입력 변수의 총 수(goods)입니다.
• x₁, ..., x는_n 소비된 재화, 생산된 재화 등의 (음이 아닌) 양입니다.
• ${\displaystyle {}_{}}$◦ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ \$display_{i$$}$는 ${\displaystyle {\mathrm{good}}_{}}$ i에 대한 탄성 매개 변수입니다.

비평

그 기능은 기초가 부족하다는 비판을 받아왔습니다.Cobb와 Douglas는 선진국에서 시간이 지남에 따라 총생산에서 노동과 자본이 차지하는 비중이 일정하다는 것을 보여주는 통계적 증거의 영향을 받았습니다. 그들은 생산함수에 대한 통계적 적합 최소제곱 회귀를 통해 이를 설명했습니다.현재 선진국에서 ^[9][10]노동 소득 분배율이 감소하고 있다는 것은 널리 받아들여지고 있습니다.생산 기능은 한 국가의 생산 능력과 공급 측면의 효율성을 항상 가장 정확하게 나타내는 것은 아닐 수도 있는 주요한 가정을 포함하고 있습니다.이 가정은 "생산량에서 노동력이 차지하는 일정한 비중"으로, 노동 시장이 ^[11]상당한 속도로 성장하고 있는 국가의 경우에 적용할 때 효과적이지 않을 수 있습니다.콥 더글러스 생산 함수의 기본 구성 내의 또 다른 문제는 동시 방정식 편향의 존재입니다.경쟁이 가정될 때 동시 방정식 편향은 기업의 의사결정과 관련된 모든 함수 유형에 영향을 미칩니다. 여기에는 Cobb Douglas 함수도 포함됩니다.어떤 경우에는 이러한 동시 등식 편향이 나타나지 않습니다.그러나 최소 제곱 점근 근사치가 ^[12]사용되면 분명해집니다.

Cobb-Douglas 생산 기능은 엔지니어링, 기술 또는 생산^{[citation needed]} 프로세스 관리에 대한 지식을 바탕으로 개발되지 않았습니다.이 이론적 근거는 자본 용어의 정의를 고려할 때 사실일 수 있습니다.노동시간과 자본은 더 나은 정의가 필요합니다.자본을 건물로 정의한다면 그 건물의 개발에는 이미 노동력이 포함되어 있습니다.건물은 상품, 노동력, 위험, 일반적인 조건으로 구성되어 있습니다.대신 생산 요소에 대한 한계 수익을 감소시키고 Cobb-Douglas 기술을 운영하는 기업의 주어진 투입에 대해 최적의 지출이 공유하는 특성이 일정하다는 등의 매력적인 수학적^{[citation needed]} 특성을 가지고 있기 때문에 개발되었습니다.처음에는, 그것을 위한 실용적인 기반이 없었습니다.현대 시대에 일부 경제학자들은 경제 전체에^{[citation needed]} 기능적 형태를 강요하기 보다는 개별적인 대리인들로부터 모델을 구축하려고 노력합니다.Cobb-Douglas 생산 함수는 적절히 정의된 경우 미시 경제 수준에서 거시 경제 수준까지 적용될 수 있습니다.

그러나 현대의^[who?] 많은 저자들은 뉴케인지안 ^[13]모델을 포함하여 미시경제 기반의 Cobb-Douglas 생산 기능을 제공하는 모델을 개발했습니다.그럼에도 불구하고 콥-더글라스 함수가 미시경제 수준에서 적용된다고 해서 거시경제 수준에서도 항상 적용된다고 가정하는 것은 수학적 오류입니다.마찬가지로 매크로 Cobb-Douglas가 반드시 세분화된 수준에서 적용되는 것은 아닙니다.선형 활동에 기초한 집합체 Cobb-Douglas 기술의 초기 미시적 기초는 Huthakker(1955)^[14]에서 도출되었습니다.Cobb-Douglas 생산 함수는 자본과 노동 사이의 대체 탄력성에 대한 현대의 경험적 추정치와 일치하지 않으며, 이는 자본과 노동이 총보충임을 시사합니다.2021년 3186개의 추정치에 대한 메타분석은 "실증 문헌에 축적된 증거의 무게는 콥-더글라스의 ^[15]명세를 강력하게 거부한다"고 결론짓습니다.

콥-더글라스 유틸리티

Cobb-Douglas 함수는 종종 유틸리티 ^[16][8]함수로 사용됩니다.$유틸리티{\displaystyle \stackrel{}{}}$u ~ ${\${\$tilde {u}}$은(는)$n개$의 {\$displaystyle$ n$}$개$$ 제품의 양 ${\displaystyle {xi}_{}}${\$displaystyle x_{i}$의 함수입니다.

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\display_{i=1}^{n}x_{i}^{\display_{i}}$

유틸리티 기능은 순서적 선호도를 나타내며 생산 기능과 달리 자연 단위를 갖지 않습니다.결과적으로, 유틸리티 함수의 단조로운 변환은 동일한 선호도를 나타냅니다.지수의 합이 규모의 경제 정도를 결정하는 Cobb-Douglas 생산 함수와는 달리, 정규화는 원래의 효용 함수를 단조적으로 변환하는 것이기 때문에, 합은 효용 함수에 대해 1로 정규화될 수 있습니다.따라서 λ = ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ λ i$${\$displaystyle$\sum$$= \$sum$ _{$i$=1$}^{n$}\$sum$$$_{i}}, α i = λ i$$λ {\$displaystyle \alpha _{i$}={\$frac {\sum$ _{$i}}{\$sum$$= ${\displaystyle \mathrm{1개}}$의 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ i = 1개의 ${\displaystyle \sum$ _${i$=$1}^{n}\alpha$_{i}=$1$을 정의하고, 유틸리티 함수를 다음과 같이 쓰자:

${\displaystyle u(x)=\alpha_{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha_{i}}$

소비자는 상품의 가격이 자신의 재산 ${\displaystyle$ w$\}$보다 적다는 예산 제약에 따라 효용을 극대화합니다. ${\displaystyle {pi}_{}}${\$displaystyle p_{i}$가 상품의 가격을 나타내도록 $하면{\displaystyle {}_{}}$ 다음과 같이 해결합니다.

${\displaystyle \max _{x_{i}}\limit _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\limit {\text{substant}}\limit \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}$

Cobb-Douglas 수요에 대한 해결책은

${\displaystyle \forall j:\qquad x_{j}^{\star}={\frac {w\alpha_{j}}{p_{j}}}}$

${\displaystyle {\alpha }_{}}$ j = ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}^{}}{}}$ j ∗ ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}${\$displaystyle \alpha_{j$}={\$frac {p_{j}x_{j}^{*}}{w$이므로, 소비자는 자신의 재산의 $분수$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ j$${\$displaystyle \alpha_{j}}$를 착한 j에 소비합니다.동일한 기본 설정이 동일한 수요를 생성하므로 ${\displaystyle 이}$ 솔루션은${\displaystyle }$u$$(x) {\$displaystyle u($$x$)} ${\displaystyle \mathrm{또는}}$u ~ ($x),$ {\$displaystyle {\tilde${u$$}}($x)$ 중 $하나$에 대한 솔루션입니다.

간접효용함수는 $요구{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle j_{}}$ ${\$를 유틸리티함수에 대입하여 계산할 수 있습니다.상수 K = ${\displaystyle {\Delta }_{}^{}}$ i = ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}${\$displaystyle$ K=\$Pi$ _${i$=$1}^{n}\alpha$_{$i}^{\alpha$_{$i$를 정의하면 다음을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle v(p,w)=\alpha _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\Pi _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \Pi _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{n}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\Pi _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}}$

고먼 극형의 특별한 경우입니다지출함수는 간접효용함수의 ^{[17]: 112} 역수입니다.

${\displaystyle e(p,u)=(1/K)\prod_{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha_{i}}u}$

생산함수의 다양한 표현

Cobb-Douglas 함수 형태는 다음 식을 사용하여 선형 관계로 추정할 수 있습니다.

${\displaystyle \ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})}$

어디에

• ${\displaystyle Y={\text{output}}}$
• ${\displaystyle I_{i}={\text{inputs}}$
• ${\displaystyle a_{i}={\text{model coefficients}}$

모델은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

${\displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot(I_{2})^{a_{2}}\cdots }$

언급한 바와 같이, 거시 경제 모델링에서 사용되는 일반적인 Cobb-Douglas 함수는

${\displaystyle Y=K^{\alpha}L^{\beta}}$

여기서 K는 자본이고 L은 노동입니다.모형 지수를 1로 합하면 생산 함수는 1차 균질이며, 이는 일정한 축척 복귀를 의미합니다. 즉, 모든 입력이 0보다 큰 공통 인자로 축척되면 출력이 동일한 인자로 축척됩니다.

CES 제작기능과의 관계

일정한 대체탄력성(CES) 생산함수(이인자의 경우)는

${\displaystyle Y=A\left(\alpha K^{\gamma}+(1-\alpha )L^{\gamma}\right)^{1/\gamma}}}$

제한 케이스 θ = 0이 일정한 스케일로 반환되는 Cobb-Douglas 함수, $Y$ =$A$ ${\displaystyle K^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$L${\displaystyle {}^{}}$1 - α, {\$displaystyle$ Y=$AK$^{\$alpha }L^{1-$\alpha $}$에 해당하는 경우.

이것을 보기 위해서 CES 기능의 로그,

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\alpha}}\ln \left(\alpha K^{\gamma}+(1-\alpha)L^{\gamma}\right)}$

l'Hotital's rule을 적용하여 한계에 도달할 수 있습니다.

${\displaystyle \lim _{\lim \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha)\ln(L)}$

$따라서$, Y = ${\displaystyle {}^{}}$ K ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}}$- ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle$ Y = $AK^{\alpha }L^{1-\alpha$

번역기제작기능

트랜로그 생성 함수는 $\sigma$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \tax$ =$0$ 즉 Cobb-Douglas 케이스에 대한 변수$\sigma$ {\$displaystyle \tax }$의 2차 테일러 다항식에 의한 CES 함수의 근사치입니다.translog라는 이름은 '초월 로그'의 약자입니다.모수에서 선형이라는 사실 때문에 계량경제학에서 사용되는 경우가 많은데, 이는 입력이 외생적이라고 가정할 수 있는 경우 일반적인 최소 제곱을 사용할 수 있음을 의미합니다.

위의 이인자 케이스에서 translog production 함수는

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha)\ln(L)+{\frac {1}{2}}\ln \alpha(1-\alpha)\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\&=\ln(A)+a_{K}\ln(L)+b_{KK}\ln^{2}(K)+b_{{K}LL}\ln^{2}(L)+b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{aligned}}$

${\displaystyle K_{}}$ ${\$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\$ $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle L_{}}$ ${\$LL$\}\},$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{bKL}}_{}}${\$displaystyle b_{$KL$$}}를 적절히 $정의$합니다.세 인자의 경우 translog 생성 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+a_{M}\ln(M)+b_{LL}\ln^{2}(L)+b_{KK}\ln^{2}(K)+b_{MM}\ln^{2}(M)\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\n=f(L,K,M).\end{aligned}}$

$여기$서 A ${\displaystyle$ A$}$ = 총 요소 생산성, $L$ ${\displaystyle$L} = 노동, $K$ ${\displaystyle$ K$}$ = 자본, $M$ ${\displaystyle$ M$}$ = 재료 및 공급, $Y$ ${\displaystyle$ Y$}$ = 출력.

참고 항목

• 레온티프생산함수
• 생산-가능성 프런티어
• 생산론

참고문헌

추가열람

• Renshaw, Geoff (2005). Maths for Economics. New York: Oxford University Press. pp. 516–526. ISBN 0-19-926746-4.

외부 링크

• Cobb-Douglas Type 생산함수의 3차원 구조
• 효용함수로서의 Cobb-Douglas의 해석
• N 입력 생산 기능을 갖춘 기업을 위한 폐쇄형 솔루션