ADM 형식주의

일반상대성이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=t_{\mu \nu }}$
서론 역사 수학 공식화 테스트
기본 개념 등가원칙 특수상대성이론 월드 라인 유사 리만 다양체
현상 케플러 문제 중력 렌즈 중력파 프레임 드래그 측지 효과 이벤트 호라이즌 특이점 블랙홀 시공간 시공간도 민코프스키 시공간 아인슈타인-로젠 다리
방정식 형식주의 방정식 선형 중력 아인슈타인 장 방정식 프리드만 측지학 매티슨-파페트루-딕슨 해밀턴-야코비-아인슈타인 형식주의 ADM BSSN 포스트뉴턴어 고급 이론 칼루자-클레인 이론 양자 중력
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물리 포털 카테고리
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ADM 형식론(저자 리처드 아노윗, 스탠리 디저, 찰스 W. 미스너의 이름을 딴)은 표준 양자 중력과 수치 상대성 이론에서 중요한 역할을 하는 해밀턴식 일반 상대성 이론이다.그것은 ^[2]1959년에 처음 출판되었다.

1962년에^[3] 저자들이 발표한 형식주의에 대한 포괄적인 검토는 일반상대성과 ^[4]중력 저널에 전재되었고, 원본 논문은 물리 ^[2][5]리뷰의 아카이브에서 찾을 수 있다.

개요

형식론에서는 시공간이 공간적인 표면 ${\displaystyle {\delta }_{}}$ t$\$$displaystyle \Sigma$ _${t$의 패밀리로 이동한다고 가정합니다.$이{\displaystyle }$ 패밀리는 $시간$ 좌표 t\$displaystyle$t로 표시되며 각 슬라이스에 $\$ x$^{i$로 지정됩니다.이 이론의 동적 변수는 3차원 공간 슬라이스 ${\displaystyle i_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ (${\displaystyle t}$ , ${\displaystyle x^{}}$k$$) \ $displaystyle \gamma$ _${ij}(t$,$x^{k})$ 및$$ 이들의 켤레 모멘타 ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$j (${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x^{}}$k$$) \ $displaystyle \pi$^{$ij}(tx^{k$의 메트릭 텐서로 간주됩니다. 이러한 변수를 사용하여 정의할 수 있습니다.eby는 해밀턴 방정식의 형태로 일반 상대성 이론을 위한 운동 방정식을 쓴다.

12개의 변수 ${\displaystyle i_{}}$j \$displaystyle \gamma$ _${ij}$ 및$$ ${\displaystyle i^{}}$ $\displaystyle$\pi $^{ij$ 외에 실효 함수 $N{\displaystyle }$\$displaystyle$N 및$$시프트 벡터 필드의 $성분{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Ni}_{}}$ $\$ N_${i$의 4개의 Lagrange 승수가 있습니다.시공간 이탈의 각 "leave"$t{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ {$displaystyle \Sigma$ _{$t}$가 어떻게$$ 용접되는지 설명합니다.이러한 변수의 운동 방정식은 자유롭게 지정할 수 있습니다. 이 자유도는 좌표계를 시공간에 배치하는 방법을 지정할 수 있는 자유에 해당합니다.

표기법

대부분의 참고문헌은 4차원 텐서가 추상 지수 표기법으로 작성되고 그리스 지수는 값을 취하는 시공간 지수(0, 1, 2, 3)이고 라틴 지수는 값을 받는 공간 지수(1, 2, 3)라는 표기법을 채택한다.여기서 파생에서 상위첨자(4)는 3차원 $슬라이스{\displaystyle {}_{}}$ $gi$에 대한 메트릭 텐서 및 전체 4차원 공간${\displaystyle {}^{4)}}$ ${\displaystyle g_{}}$ μ μ$$ {$ij}$에 대한 메트릭 텐서와 같이 일반적으로 3차원 및 4차원 버전을 모두 갖는 양에 추가된다.${{(4)}}}g_{\mu \nu$ $\}\}.$

이 텍스트는 반복되는 지수에 대한 합계를 가정한 아인슈타인 표기법을 사용합니다.

2종류의 파생상품이 사용됩니다.부분파생상품은 연산자 $\$}" 또는 쉼표 앞에 첨자로 표시됩니다.공변 도함수는 연산자${\displaystyle {\mathrm{}}_i}$ i$\$ _${i$$}$ 또는 세미콜론 앞에 첨자로 표시됩니다.

메트릭 텐서 계수 행렬의 행렬식 절대값은 g$${\$displaystyle$g}($$지수 없음)로 나타낸다.$지수{\displaystyle }$ 없이 작성된 다른 텐서 기호는 ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ j ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j { $displaystyle \pi =g^{ij}\pi$ _${ij$와 같이 대응하는 텐서의 트레이스를 나타낸다.

파생

라그랑주 공식

ADM 공식의 시작점은 라그랑지안이다.

${{displaystyle {L}={(4)R}{\sqrt {{(4)}g}},$

이는 전체 시공간에서 4차원 메트릭 텐서의 결정 인자의 제곱근과 그 리치 스칼라의 곱이다.이건 아인슈타인의 라그랑지안이야힐베르트 액션

도출의 바람직한 결과는 4차원 시공간에서 3차원 공간 슬라이스의 임베딩을 정의하는 것이다.3차원 슬라이스의 메트릭

${\displaystyle g_{ij}={{(4)}}}g_{ij}$

해밀턴 공식의 일반화 좌표가 됩니다.켤레 모멘타는 다음과 같이 계산될 수 있다.

${\displaystyle \pi ^{ij}=sqrt {^{(4)}g}}\left({{pq}-g_{pq}}{{{{(4)}}}\Gamma _{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq}}}}\Gamma_{p}}}$

표준 기술 및 정의를 사용합니다.${\displaystyle {\mathrm{기호}}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$4 ) ${\displaystyle j_{}^{}}$ i ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$0 ( { $displaystyle {^{$ ( 4 ) }} \ $Gamma$_ { $ij$}^$0}$ 은 완전한$$ 4차원 시공간 메트릭과 관련된 크리스토펠 기호입니다.실패

${\displaystyle N=\left(-{{(4)}g^{00}\right)^{-1/2}$

시프트 벡터

${\displaystyle N_{i}={{(4)}g_{0i}}$

4차원 텐서의 나머지 요소입니다.

제제의 수량을 확인한 후 다음 단계는 이들 변수의 관점에서 라그랑지안을 다시 쓰는 것입니다.라그랑지안의 새로운 표현은

${\displaystyle {L}=-g_{ij}\pi ^{ij}-NH-N_{i}-2\partial _{i}\left(\pi^{ij})N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right}}$

두 가지 새로운 수량의 관점에서 편리하게 쓰여진다.

${\displaystyle H=-{\sqrt {g}\left[^{(3) R+g^{-1}\left({\frac {1}{2})\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right}}$

그리고.

$({displaystyle P^{i}=-2\pi^{ij}{}_{;j}$

각각 해밀턴 구속조건과 운동량 구속조건으로 알려져 있다.라그랑지안에서는 경과와 변화가 라그랑지 승수로 나타난다.

운동 방정식

라그랑지안의 변수들이 4차원 시공간 안에 포함된 3차원 공간의 미터법 텐서를 나타내지만, 두 ${\displaystyle {미터법}_{}}$ $\\$의 시간 진화를 설명하는 "운동의 등식"을 도출하기 위해 라그랑지안 역학에서 일반적인 절차를 사용하는 것이 가능하고 바람직하다.그리고 그 공역 운동량 ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$j \ $style \pi$^{$ij$결과

$\displaystyle _{t}g_{ij}=sqrt {g}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}}$

그리고.

${\displaystyle {t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{ij}\right)+{\frac {N}{2\sqrt {g}}}^{j}\pi ^{j}\left}\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right}-{n}){n}{n}{n}{nabla}{n}_n}$

는 편미분 방정식의 비선형 집합입니다.

경과 및 시프트와 관련된 변화를 취하면 구속 방정식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle H=0}$

그리고.

${\displaystyle P^{i}=0,}$

또한 경과와 이동 자체를 자유롭게 지정할 수 있어 시공간에 좌표계를 자유롭게 지정할 수 있습니다.

적용들

양자 중력에 대한 적용

ADM 공식을 사용하여 양자역학에서 주어진 해밀턴에 대응하는 슈뢰딩거 방정식을 구성하는 것과 같은 방식으로 양자 중력 이론을 구성하는 시도가 가능하다.즉, 표준 모멘타 ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$j ( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x^{}}$k$$) { $displaystyle \pi$^{$ij}(t,x^{k})}$ 및$$ 공간 메트릭 함수를 선형 함수 미분 연산자로 대체합니다.

${\displaystyle {g}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),}$

${\displaystyle {\hat }^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i4frac {\display g_{ij}(t,x^{k}}}}.}$

더 정확히는 연산자에 의한 고전 변수 대체는 정류 관계에 의해 제한됩니다.모자는 양자 이론의 연산자를 나타냅니다.이는 Wheeler-Dewitt 방정식으로 이어집니다.

아인슈타인 방정식의 수치 해법에 대한 응용

아인슈타인 장 방정식에 대해 알려진 정확한 해는 비교적 적다.다른 해법을 찾기 위해, 수치상대성 이론으로 알려진 활발한 연구 분야가 있는데, 이 분야에서는 슈퍼컴퓨터가 방정식에 대한 근사적인 해법을 찾기 위해 사용된다.이러한 해법을 수치적으로 구성하기 위해, 대부분의 연구자들은 ADM 공식과 밀접하게 관련된 아인슈타인 방정식의 공식으로 시작한다.가장 일반적인 접근법은 ADM 형식주의에 기초한 초기값 문제에서 시작됩니다.

해밀턴 공식에서, 기본 포인트는 2차 방정식의 집합을 다른 1차 방정식의 집합으로 대체하는 것입니다.이 두 번째 방정식은 해밀턴 공식에 의해 쉽게 구할 수 있습니다.물론 이것은 수치 물리학에 매우 유용합니다. 왜냐하면 우리가 컴퓨터를 위한 방정식을 준비하고 싶다면 미분 방정식의 순서를 줄이는 것이 종종 편리하기 때문입니다.

ADM 에너지 및 질량

ADM 에너지는 일반 상대성 이론에서 에너지를 정의하는 특별한 방법으로, 무한대에서 잘 정의된 메트릭 텐서에 점근적으로 접근하는 일부 시공간 기하학에만 적용된다. 예를 들어 민코프스키 공간에 점근적으로 접근하는 시공간.이러한 경우 ADM 에너지는 규정된 점근 형태에서 미터법 텐서의 편차의 함수로 정의된다.즉, ADM 에너지는 무한대에서의 중력장의 강도로 계산된다.

필요한 점근 형태가 시간에 의존하지 않는 경우(민코프스키 공간 자체와 같이), 시간-변환 대칭을 존중한다.노에터의 정리는 ADM 에너지가 보존된다는 것을 암시한다.일반 상대성 이론에 따르면, 총 에너지에 대한 보존 법칙은 더 일반적이고 시간에 의존하는 배경에는 적용되지 않습니다. 예를 들어, 물리적 우주론에서는 완전히 위반됩니다.특히 우주 팽창은 진공 에너지 밀도가 거의 일정하지만 우주의 부피는 기하급수적으로 증가하기 때문에 "무(無)"로부터 에너지를 생산할 수 있다.

수정된 중력에 적용

ADM 분해를 사용하고 추가 보조장을 도입함으로써 2009년 Deruelle 등은 기븐스를 찾는 방법을 발견했다.호킹수정된 중력 이론의 요크 경계 용어 "라그랑지안은 리만 ^[6]텐서의 임의 함수"

「 」를 참조해 주세요.

• 표준 좌표
• 해밀턴-야코비-아인슈타인 방정식
• 페레스 메트릭

메모들

레퍼런스

• Kiefer, Claus (2007). Quantum Gravity. Oxford, New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921252-1.