마우퍼투이스의 원리

고전역학에서는 마우퍼투이(Pierre Louis Maupertuis)의 원리(피에르 루이 모우퍼투이)에 따르면 물리적 체계가 뒤따르는 길은 (경로와 길이에 대한 적절한 해석이 있는) 최소 길이라고 한다.그것은 가장 일반적으로 언급된 최소 행동 원칙의 특별한 경우다.변동의 미적분학을 사용하면 계통 운동 방정식의 적분 방정식 제형이 된다.

수학적 공식화

Maupertuis's principle states that the true path of a system described by ${\displaystyle N}$ generalized coordinates ${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)}$ between two specified states ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}}$ and ${\$$displaystyle \mathbf{q}$_${$2}}은 약어 동작 기능의 정지점(즉, 극한점(극한점 또는 최대점) 또는 안장점)이다$$.

${\displaystyle {\mathbf {S}_{0}[\mathbf {q}(t)]\\\\stackrel {\mathrm {def}{=}}\int \mathbf {p}\cdot d\mathbf {q}}}}}}}$

여기서 $p{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, p ${\displaystyle N_{}}$) ${\$은 방정식으로 정의되는 일반화된 좌표의 결합 모멘텀이다.

${\displaystyle p_{k}\\\stackrel {def}{}}{=}}\\frac {\partial L}{\partial {\q}_{k}}}}}}$

여기서 $L{\displaystyle (q\mathbf{}}$ ,${\displaystyle q\stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle L(\mathbf {q},{\dot {\mathbf$ {$q}}}}}, t)$은 시스템의$$ 라그랑지 함수다.즉, 경로의 1차 섭동은 S ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$${0$$}}$의 2차 변화(최대)를 초래하며$,$ 약칭 작용 $S{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$ ${\$은 기능(즉, 벡터 공간에서 그 밑의 스칼라 필드로의 함수)이며$$, 이러한 변화에는 이점이 있다.대소문자를 입력하는 함수(즉, 지정된 두 상태 사이의 경로)로 간주한다.

자코비의 제형

대부분의 시스템에서 운동 $에너지{\displaystyle }$ T ${\displaystyle$ T$}$은(는) 일반화된 속도 $q{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ q${\displaystyle \stackrel{}{}}$q ${\$에서 2차적이다$$.

${\displaystyle T={\frac {1}{1}:{2}}: {\dot {\mathbf {q}}}\mathbf {M} \\dot {\mathbf {q}}}}^{\intercal }}}}}}}$

질량 텐서 $M{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 일반화된 좌표 $q{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 복잡한 함수일 수 있지만$$$,$ 이러한 시스템의 경우 운동 에너지, 일반화된 모멘텀a 및 일반화된 속도와 관련된 간단한 관계가 있다.

${\displaystyle 2T=\mathbf {p} \cdot {\mathbf {q}}$

잠재적 에너지 $V{\displaystyle }$ (${\displaystyle q\mathbf{}}$) ${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$이(가) 일반화된 속도를 수반하지 않는$$ 경우.일반화된 좌표 공간에서$$ 정규화된 거리 또는 메트릭 d ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ds}$을(를) 정의함

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \mathbf {M} \\mathbf {q^{\intercal }}}}}}}$

질량 텐서를 미터법 텐서로 즉시 인식할 수 있다.운동 에너지는 질량이 없는 형태로 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle T={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽({\frac {ds}{dt}\오른쪽)^{2}}$

또는,

${\displaystyle 2Tdt={\sqrt {2}T}\ ds.}$

따라서, 약칭 작용은 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{S}_{0}\\stackrel {\mathbf {def}{}}}}}\mathbf {p}\cdot d\mathbf {q} =\int ds\,{\sqrt{E_{\text}-V(\mathbf{q}}}}}}}}}}}}}}}}}})}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})$

since the kinetic energy ${\displaystyle T=E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}$ equals the (constant) total energy ${\displaystyle E_{\text{tot}}}$ minus the potential energy ${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$. In particular, if the potential energy is a constant, then Jacobi's principle일반화된 좌표 공간에서의$$ 경로 $길이{\displaystyle }$s = ${\displaystyle \int d}$ d s$${\$displaystyle s$=\$int$ ds$}$을 최소화하도록 감소시킴으로써, 이는 최소 곡률의 헤르츠의 원리와 동등하다.

해밀턴의 원리와의 비교

해밀턴의 원칙과 마우페르투이스의 원칙은 때때로 혼란스럽고 둘 다 최소한의 행동의 원칙이라고 불려왔다.그들은 세 가지 중요한 면에서 서로 다르다.

• 그들의 행동의 정의...

Hamilton's principle uses ${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int L\,dt}$, the integral of the Lagrangian over time, varied between two fixed end times ${\displaystyle t_{1}}$, ${\displaystyle t_{2}}$ and endpoints ${\displaystyle q_{$$\{\{\}\}\},$ ${{\$ 대조적으로 마우퍼투이 원리는 일반화된 좌표 위에 통합된 축약 작용을 사용하며, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$${1$} 및 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$

• 그들이 결정하는 해결책...

해밀턴의 원리는 시간의 함수로써$$ $궤도{\displaystyle \mathbf{}}$q (${\displaystyle t}$ $){\displaystyle \mathbf {q} (t)}$을 결정하고, 마우퍼투이스의 원리는 일반화된 좌표에서 궤적의 모양만 결정한다.예를 들어, Maupertuis의 원리는 중력과 같은 역제곱 중심력의 영향을 받아 입자가 움직이는 타원의 모양을 결정하지만, 입자가 그 궤적을 따라 어떻게 움직이는지는 설명하지 않는다.(단, 이 시간 매개변수화는 에너지 보존을 사용한 후속 계산에서 궤적 자체에서 결정될 수 있다.)이와는 대조적으로 해밀턴의 원리는 타원을 따라 움직이는 운동을 시간의 함수로 직접 명시한다.

• 변동에 대한 제약도 있고

마우퍼투이 원칙은 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$${1$} 및 ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2}}$개$의 엔드포인트 상태를 제공하고 모든$$ 궤적을 따라 에너지를 보존해야 한다.이와는 대조적으로 해밀턴의 원칙은 에너지 보존을 필요로 하지 않지만, ${\displaystyle {엔드포인트\mathrm{}}_{}}$ 상태 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $t_{1},$ $t$ 2${\$ $t_{1},$ 그리고$$$$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 2${\$2$\}\}.$

역사

Maupertuis는 가장 먼저 최소 조치 원칙을 발표했는데, 여기서 그는 동작을 $\int {\displaystyle }$ v ${\displaystyle d}$ s ${\displaystyle \int$ v$\,ds}$로 정의했는데$,$ 이는 지정된 두 지점을 연결하는 모든 경로에 걸쳐 최소화하기로 되어 있었다.그러나 Maupertuis는 이 원리를 물질이 아닌 빛에만 적용했다(아래 1744 Maupertuis 참조).그는 페르마의 원리에 의해 빛이 거리가 아닌 최단 시간의 길을 따른다는 페르마의 원리에 의해 설명되어 온 빛의 굴절을 위한 스넬의 법칙을 고려함으로써 원리에 도달했다.이 말썽꾸러기 마우페르투이스는 시간과 거리가 동등한 지위에 있어야 한다고 느꼈기 때문에 다음과 같이 말했다."왜 빛은 거리보다 최단 시간의 길을 선호해야 하는가?"이에 따라 마우퍼투이스는 페르마의 원칙보다 동등하지만 더 근본적인 최소한의 행동 원칙을 더 이상 정당화하지 않고 주장하며, 이를 이용해 스넬의 법칙을 도출한다.Maupertuis는 특히 빛이 물질과 같은 법칙을 따르지 않는다고 말한다.

A few months later, well before Maupertuis's work appeared in print, Leonhard Euler independently defined action in its modern abbreviated form ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int mv\,ds\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int p$$\,dq}$을(를) 입자의 움직임에는 적용했지만 빛에는 적용하지 않았다(아래 1744 오일러 참조).오일러도 속도가 위치, 즉 총 에너지를 보존할 때에만 그 원리가 유지된다는 것을 인식했다.(행동의 질량 인자 및 에너지 절약 요건은 빛에만 관심이 있었던 마우퍼투이와는 관련이 없었다.)오일러는 이 원리를 이용하여 균일한 운동, 균일하고 불균일한 힘장, 중심 힘장 등에서 입자의 운동 방정식을 도출하였다.오일러의 접근방식은 위에서 설명한 마우페르투이스의 원리에 대한 현대적인 이해와 전적으로 일치하는데, 다만 그가 그 행동이 고정된 지점이 아니라 항상 최소한이 되어야 한다고 주장했다는 점만은 제외한다.

2년 후, Maupertuis는 오일러의 1744년 작업을 "행성의 운동에 대한 나의 원리의 아름다운 적용"으로 인용하고, 기계 평형에서 레버 문제와 완벽히 탄력적이고 완벽하게 비탄력적인 충돌에 최소한의 조치라는 원칙을 계속 적용한다(아래 1746년 간행물 참조).따라서 마우퍼투이즈는 (단순히 빛을 발하는 것이 아니라) 모든 물리적 시스템에 적용되는 일반적인 원리로 최소한의 행동의 원칙을 구현한 것으로 공로를 인정받는 반면, 역사적 증거는 오일러가 이러한 직관적인 도약을 한 장본인이었음을 시사한다.특히, 마우퍼투이(Maupertuis)가 본 논문에서 행한 행동과 그것을 최소화하기 위한 프로토콜에 대한 정의는 위에서 설명한 현대적 접근법과 일치하지 않는다.따라서 마우퍼투이스의 출판물에는 마우퍼투이스의 원리(현재 이해되고 있는 바와 같이)를 사용한 단 하나의 예가 수록되어 있지 않다.

1751년, 마우퍼투이스의 최소 행동 원리에 대한 우선 순위는 1744년 오일러가 도출한 결과와 유사한 결과를 기술한 라이프니즈로부터 1707통의 편지를 인용한 옛 지인 요한 사무엘 코에니그에 의해 인쇄(라이프치히의 노바 액타 에루디토룸)에 의해 도전받았다.그러나 마우페르투이 등은 라이브니즈가 쓴 편지임을 인증하기 위해 코에닉이 편지의 원본을 제작할 것을 요구했다.코에닉은 사본만 가지고 있었고 원본의 행방에 대해서는 아무런 실마리도 갖고 있지 않다.결과적으로, 오일러의 지시를 받은 베를린 아카데미는 이 편지가 위조된 것이라고 선언했고, 그것의 대통령인 Maupertuis는 이 원칙을 발명한 것에 대해 계속해서 우선권을 주장할 수 있다고 선언했다.코에니그는 라이프니츠의 우선권을 위해 계속 싸웠고 곧 볼테르와 프로이센 왕 프레데릭 2세가 싸움에 휘말렸다.그러나 라이프니츠의 편지에 대한 다른 독립된 사본들이 발견된 20세기가 바뀔 때까지 아무런 진전도 이루어지지 않았다.

참고 항목

• 해석역학
• 해밀턴의 원리
• 가우스의 최소 제약 원리(최소 곡률의 헤르츠 원리를 설명하기도 한다)
• 해밀턴-자코비 방정식

참조

• Pierre Louis Maupertuis, Acord de différentes loix de la nature quoiqu'ici paru 비호환성(원문 1744 프랑스어 텍스트)양립할 수 없을 것 같았던 자연의 여러 법칙들 간의 합의 (영어 번역)
• Leonhard Euler, Methodus inveniendi/Additamentum II(원문 1744 라틴어 텍스트)Methodus inveni/부록 2(영어 번역)
• Pierre Louis Maupertuis, Les loix du mouvement et du de d'un principe methodique(원래 1746 프랑스어 텍스트);형이상학적 원리에서 운동과 평형 법칙의 파생(영어 번역)
• Leonhard Euler, Exposé 관계자인 l'l'l'la letre de M. de Leibnitz(원래 1752년 프랑스어 텍스트)라이프니즈 서신 조사(영어 번역)
• König J. S. "De Universali principient a eqilibrii et motus", Nova Acta Eruditatorum, 1751, 125–135, 162–176.
• J. J. O'Connor와 E. F. Robertson, "베를린 아카데미와 위조,"(2003) 맥튜터 수학 역사 자료실에서.
• C. I. Gerhardt, (1898) "Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, I, 419–427.
• W. Kabitz, (1913) "Über eine in Gotha aufgefundene Abschrift des von S. König in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veröffentlichten, seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, II, 632–638.
• H. Goldstein, (1980) Classic Mechanics, 제2편, 애디슨 웨슬리, 페이지 362–371. ISBN0-201-02918-9
• L. D. 랜도와 E. M. 리프시츠, (1976년) 메카니즘, 3번째 에드, 페르가몬 프레스, 페이지 140–143.ISBN 0-08-021022-8(하드커버) 및 ISBN 0-08-029141-4(소프트커버)
• G. C. J. J. J코비, Vorlesungen über Dynamic, Gehalt an Universityitett Königsberg im Wintersemer 1842–1843. A. Clebsch (ed.); Remer; Berliner.290페이지의 온라인 컴플렉스 8권(Gallica Bibliothéque Nationale de France)은 Gallica-Math에서 구할 수 있다.
• H. Hertz, (1896) Mechanics의 원리, Miscellan Papers, vol.III, 맥밀런.
• V.V. Rumyantsev (2001) [1994], "Hertz's principle of least curvature", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press