센트럴 시리즈

수학에서, 특히 집단 이론과 거짓말 이론의 분야에서, 중앙 시리즈는 일종의 정상 계열의 하위 그룹이나 리 아발그라의 일종으로, 정류자가 거의 하찮다는 생각을 표현한다.그룹의 경우 이는 그룹이 영점 그룹이라는 명시적 표현이며, 매트릭스 링의 경우, 이는 매트릭스 링이 일정하게 대각선이 있는 상위 삼각 행렬로 전적으로 구성된다는 명시적 표현이다.

이 기사는 집단 이론의 언어를 사용한다; 유사한 용어는 리 알헤브라에 사용된다.

하부 중앙 시리즈와 상부 중앙 시리즈(각각 하강 중앙 시리즈와 상승 중앙 시리즈라고도 함)는 이름에서 "중앙"에도 불구하고 그룹이 영점인 경우에만 중앙 시리즈가 된다.

정의

중심계열은 부분군의 배열이다.

\{1\}=A_{0}\triangleleleft A_{1}\triangleleleft \dots \triangleleleft A_{n}=G

such that the successive quotients are central; that is, $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}$ , where $[G,H]$ denotes the commutator subgroup generated by all elements of the form $g^{-1}h^{-1}gh$ , with g in G and h in H. Since $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ $A_{i+1}$ $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ , $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ + $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ + 1 ${\$ 1 $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$ $부분군$ $A_{i+1}$ $A_{i+1}$ + ${\$ }는 각 i에 대해 G에서 $A_{i+1}$ 정상이다.따라서 위의 '중앙' 조건을 G에서는 $A_{i}$ 이고 $A_{i}$ $,$ 각 I에서는 $G/A_{i}$ $A_{i+1}/A_{i}$ $A_{i}$ $A_{i+1}/A_{i}$ + $A_{i+1}/A_{i}$ / $A_{i+1}/A_{i}$ i {\ $displaystyle A_{i+1}/$ $A_{i}}$ 이 $A_{i+1}/A_{i}$ (가) $중심이다.$ 따라서 $A_{i+1}/A_{i}$ $A_{i+1}/A_{i}$ + 1 $A_{i+1}/A_{i}$ / $A_{i+1}/A_{i}$ $A_{i+1}/A_{i}$ ${\$ 는 $A_{i+1}/A_{i}$ 각 i에 대해 아벨리안이다.

중심계열은 Lie 이론에서 조정 작용에 의해 엄격히 보존되는 기(더 프리아틱하게, 각 원소가 엄밀히 상부의 삼각행렬로 표현되는 근거)와 유사하며, 엥겔의 정리를 비교한다.

집단은 중심 시리즈를 가질 필요가 없다.사실 집단은 영점집단일 경우에만 중심계열성을 가진다.만약 어떤 집단이 중심적인 시리즈를 가지고 있다면, 어떤 의미에서는 극한인 두 개의 중심 시리즈가 있다.A₀ = {1}이므로 중심 Z(G)는 A₁ ≤ Z(G)를 만족한다.따라서 A에₁ 대한 최대 선택은 A₁ = Z(G)이다.A가 주어진_i 가장 큰 A를_{i + 1} 선택하기 위해 이러한 방식으로 계속하면 상부 중앙 시리즈라고 불리는 것을 생산하게 된다.Dallally_n A = G이기 때문에, 정류자 부분군 [G, G]은 [G, G_n] = [G, A] ≤ A를_{n − 1} 만족시킨다.따라서 A에_{n − 1} 대한 최소한의 선택은 [G, G]이다.[G, A_{i + 1}] ≤ A가_i 하위 중앙 영상 시리즈라고 하는 것을 생산하기 위해 최소 A를_i_{i + 1} 계속 선택한다.이 시리즈는 어떤 그룹에 대해서도 구성될 수 있으며, 만약 그룹이 중심 시리즈(핵확산 그룹)를 가지고 있다면, 이러한 절차는 중심 시리즈를 산출할 것이다.

하부 중앙 시리즈

그룹 G의 아래쪽 중앙 열(또는 내림차 중앙 열)은 하위 그룹의 내림차 열이다.

G = G₁ ⊵ G₂ ⊵ G ⋯ G_n ⋯ ,,

각 n에 대해

{\displaystyle G_{n+1}=[

G_{n},G

the subgroup of G generated by all commutators $[x,y]$ with $x\in G_{n}$ and $y\in G$ . Thus, $G_{2}=[G,G]=G^{(1)}$ , the derived subgroup of G, while ${\displaystyle G$ $_{3}=[G,G],G]}$ 등하부 중앙계열은 흔히 $\gamma _{n}(G)=G_{n}$ ( $\gamma _{n}(G)=G_{n}$ ) $\gamma _{n}(G)=G_{n}$ = $\gamma _{n}(G)=G_{n}$ n ${\$ 로 표기된다 $\gamma _{n}(G)=G_{n}$

이는 다음과 같은 조건을 가진 파생 시리즈와 혼동해서는 안 된다.

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

(

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

)

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

[

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

( n

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

-

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

)

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

,

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

(

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

- 1

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

)

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

{\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)}, G^{(n-1)}]},

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]

not $G_{n}=[G_{n-1},G]$ . The two series are related by $G^{(n)}\leq G_{n}$ . For instance, the symmetric group S₃ is solvable of class 2: the derived series is S₃ ⊵ {e, (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ {e}.그러나 그것은 nilpotent가 아니다: 그것의 하부 중앙 시리즈 S₃ ⊵ {e, (1 2 3), (1 3 2) ⊵ {e, (1 2 3 3) ⊵ ⋯은 종료되지 않는다.nilpotent 그룹은 해결 가능한 그룹이며, 파생된 길이는 nilpotency 클래스에 로그로 기록된다(Schenkman 1975, 페이지 201,216).

무한 그룹의 경우, 트랜스피니트 재귀(tranfinite recursion)를 통해 하한 중심 영상 시리즈를 무한 순서 번호로 계속 유지할 수 있다. 한계 서수 λ의 경우, 정의

G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}

G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}

=

G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}

{

G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}

G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}

:

G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}

<

>{\displaystyle G_{\lambda }=\bigcap

\{

G_{\alpha }:\alpha <\lambda

G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}

일부 서수 λ에 대해 $G_{\lambda }=1$ $G_{\lambda }=1$ $G_{\lambda }=1$ = $G_{\lambda }=1$ ${\displaystyle G_{\lambda }=$ 1}이 $($ 가) 되면 G는 저선형 그룹이라고 한다.모든 서수 λ에 대해 $G_{\lambda }=1$ $G_{\alpha }\neq 1$ $G_{\lambda }=1$ = $G_{\lambda }=1$ ${\displaystyle G_{\lambda$ $1}$ 과 같은 그룹 G가 있지만, $G_{\alpha }\neq 1$ $\alpha <\lambda$ < $G_{\alpha }\neq 1$ α < $\alpha <\lambda$ > ${\displaystyle$ $G_{\$ $alpha$ $}}\$ $neq$ $1},$ $\alpha <\lambda$ (Malcev 1949 $G_{\alpha }\neq 1$

If $\omega$ is the first infinite ordinal, then $G_{\omega }$ is the smallest normal subgroup of G such that the quotient is residually nilpotent, that is, such that every non-identity element has a non-identity homomorphic image in a nilpotent group (Schenkman 1975, p. 175,183).결합집단 이론의 분야에서 자유집단이 잔류적으로 영감(nilpotent)인 것은 중요하고 초기 결과물이다.사실 하위 중앙 시리즈의 인용구는 기본 정류자에 의해 정의된 자연적 기초를 가진 자유 아벨 그룹이다. (Hall 1959, Cho. 11)

일부 유한한 n에 $G_{\omega }=G_{n}$ G $G_{\omega }=G_{n}$ = G $G_{\omega }=G_{n}$ ${\$ ${\omega$ $}=G_{n$ $}}}이($ 가) $G_{\omega }$ 의 최소 $G_{\omega }$ 정상 부분군이며, $G_{\omega }$ {\ $displaystyle G_{\$ omega $G_{\omega }$ }}은(가) G의 nilpotent 잔차라고 한다 $G_{\omega }$ .유한집단에 대해서는 항상 그러하며, G에 대해서는 하부 피팅 시리즈에서 $F_{1}(G)$ $F_{1}(G)$ ( $F_{1}(G)$ ) $F_{1}(G)$ 용어를 $F_{1}(G)$ 정의한다.

모든 유한 n에 $G_{\omega }\neq G_{n}$ G $G_{\omega }\neq G_{n}$ ${\displaystyle G_$ {\ $omega }\neq G_{n}}}$ 이(가) 있다면 $G/G_{\omega }$ / $G/G_{\omega }$ $G/G_{\omega }$ ${\$ 은(는) nilpotent가 아니라 $G/G_{\omega }$ 잔류 nilpotent이다.

하이퍼센터(아래)와 유사하게, 트랜스핀라이트 하부 중앙 시리즈의 모든 용어의 교차점에 대한 일반 용어는 없다.

상부중앙계 전동차

그룹 G의 상위 중심계열(또는 오름차순 중심계열)은 부분군의 순서다.

1=Z_{0}\triangleleleft Z_{1}\triangleleleft \cdots \triangleleleft Z_{i}\triangleleleft \cdots ,

각 연속 그룹이 정의되는 경우:

Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}}}

G의 ith 중심(존중, 제2의 중심, 제3의 중심 등)이라고 한다.이 경우 $Z_{1}$ ${\$ }는 G의 중심이며 $Z_{1}$ , 각각의 연속 그룹에 대해 인자 그룹 $Z_{i+1}/Z_{i}$ $Z_{i+1}/Z_{i}$ + 1 $Z_{i+1}/Z_{i}$ / $Z_{i+1}/Z_{i}$ $Z_{i+1}/Z_{i}$ ${\$ 는 G $G/Z_{i}$ / ${\$ 의 중심이며 $Z_{i+1}/Z_{i}$ $G/Z_{i}$ 상위 시리즈 인용이라고 불린다.

무한 그룹의 경우, 트랜스피니트 재귀(tranfinite reursion)를 통해 상위 중앙 영상 시리즈를 무한 순서 번호로 계속 유지할 수 있다. 한계 서수 λ의 경우, 정의

Z_{\lambda }(G)=\빅컵 _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).

이 프로세스의 한계(상위 센터의 결합)를 집단의 하이퍼센터라고 한다.

트랜스피나이트 상부 중앙 시리즈가 그룹 전체에서 안정화되면, 그 그룹을 하이퍼센트럴이라고 부른다.하이퍼센트럴 그룹은 노멀라이저 조건(적절한 서브그룹의 정규기가 하위그룹을 적절히 포함함), 코프리미어 오더 통근의 요소, 주기적인 하이퍼센트럴 그룹은 그들 시로우 p 서브그룹(Schenkman 1975, Che. VI.3)의 직접적인 합과 같은 영량 그룹의 많은 속성을 즐긴다.모든 서수 λ에 대해_λ, Z(G) = G를 갖는 그룹 G가 있지만, α < λ, (Glushkov 1952) 및 (McLain 1956)에 대해서는_α Z(G) ≠ G가 있다.

하부 중앙 영상 시리즈와 상부 중앙 영상 시리즈 사이의 연결부

하부 중앙 시리즈(LCS)와 상부 중앙 시리즈(UCS) 사이에는 다양한 연결이 있으며, 특히 영점 그룹에 대해서는 더욱 그러하다.

가장 간단히 말해서, 한 그룹은 첫 번째 단계에서 LCS가 종료되는 경우(커뮤니케이터 하위 그룹은 사소한 경우)에만 UCS가 첫 번째 단계에서 안정화되는 경우(중앙은 전체 그룹)에만 아벨리안이다.보다 일반적으로 영점 그룹의 경우 LCS의 길이와 UCS의 길이가 일치한다(그리고 그룹의 영점 등급이라고 한다).단, 영점 그룹의 LCS와 UCS가 반드시 같은 조건을 갖는 것은 아닐 수 있다.For example, while the UCS and LCS agree for the cyclic group C₂ and quaternion group Q₈ (which are C₂ ⊵ {e} and Q₈ ⊵ {1, −1} ⊵ {1} respectively), the UCS and LCS of their direct product C₂ × Q₈ do not: its lower central series is C₂ × Q₈ ⊵ {e} × {−1, 1} ⊵ {e} × {1}, while the upper central series is C₂ × Q₈ ⊵ C₂ × {−1, 1} ⊵ {e} × {1}.

단, LCS는 완전하다면 제로스 단계에서 안정화되는 반면 UCS는 별개의 개념인 중심이 없는 경우에만 제로스 단계에서 안정화되며, LCS와 UCS의 길이(안정화 전 길이를 의미하는 것으로 해석됨)는 일반적으로 일치할 필요가 없다는 것을 보여준다.

완벽한 그룹을 위해 UCS는 항상 그룬의 보조정리라고 불리는 사실인 첫 번째 단계에 의해 안정화된다.그러나 중앙이 없는 집단은 매우 긴 중앙집합집단을 가질 수 있다. 즉, 두 개 이상의 발전기에 있는 자유집단은 중심집합집단이 없지만, 중앙집합집단의 하부집합은 첫 번째 무한서수일 때까지 안정화되지 않는다.

정제중앙계열

p-그룹에 대한 연구에서는 더 긴 중앙 시리즈를 사용하는 것이 중요한 경우가 많다.그러한 중앙 시리즈의 중요한 클래스는 지수-p 중앙 시리즈이다. 즉, 기본 아벨리아 그룹 또는 동일한 것이 지수 p를 갖는 중앙 시리즈가 그것이다.다음과 같이 정의되는 하위 지수-p 중앙 시리즈인 이러한 시리즈는 가장 빠르게 하강하는 독특한 것이 있다.

\lambda _{1}(G)=G

\lambda _{1}(G)=G

(

\lambda _{1}(G)=G

)

\lambda _{1}(G)=G

=

\lambda _{1}(G)=G

\lambda _{1}(G)=G

및

{\

^{p}}

.

두 번째 용어인 $\lambda _{2}(G)$ $\lambda _{2}(G)$ ( $\lambda _{2}(G)$ ) ${\displaystyle \lambda _{2}(G$ 는 Frattini 하위 그룹인 $[G,G]G^{p}=\Phi (G)$ , $[G,G]G^{p}=\Phi (G)$ $[G,G]G^{p}=\Phi (G)$ $[G,G]G^{p}=\Phi (G)$ = $[G,G]G^{p}=\Phi (G)$ ( $[G,G]G^{p}=\Phi (G)$ G ) $[G,G]^{p}=\Phi (G)$ 와 같다.하부 지수-p 중심 영상 시리즈를 p-중앙 영상 시리즈라고 부르기도 한다.

다음과 같이 정의되는 상위 지수-p 중심 영상 시리즈 S인 이러한 영상 시리즈는 가장 빠르게 상승한다.

S₀(G) = 1

S_n+1(G)/S_n(G) = Ω(Z(G/S_n(G)))

여기서 Ω(Z(H)는 p를 나누는 순서의 H의 중심 요소 집합에 의해 생성되는 부분군을 의미한다.첫 번째 용어인 S₁(G)는 최소 정규 부분군에 의해 생성된 부분군이며, 따라서 G의 소클과 같다.이러한 이유로 상위 지수-p 중심 영상 시리즈는 소클 시리즈 또는 심지어 로위 시리즈로 알려져 있지만, 일반적으로 하강 영상 시리즈를 나타내기 위해 사용된다.

때로는 다음과 같이 정의한 제닝스 시리즈 κ과 같이 중앙 시리즈의 다른 정교함이 유용하다.

κ₁(G) = G, 그리고

κ_{n + 1}(G) = [G, κ_n(G)] (κ_i) (κ)),^p 여기서 i는 n/p보다 크거나 같은 가장 작은 정수다.

제닝스 시리즈는 p-그룹의 모듈형 그룹 링의 로위 시리즈를 묘사하기 위해 이 시리즈를 사용한 스테판 아서 제닝스의 이름을 따서 명명되었다.

참고 항목

해결 가능한 그룹에 대한 유사 개념인 Nilpotent 시리즈
다양한 종류의 중앙 시리즈에 의해 정의된 유한 p-그룹에 대한 상위-하위 관계
전능집단

참조

Ellis, Graham (October 2001), "On the Relation between Upper Central Quotients and Lower Central Series of a Group", Transactions of the American Mathematical Society, 353 (10): 4219–4234, doi:10.1090/S0002-9947-01-02812-4, JSTOR 2693793
Gluškov, V. M. (1952), "On the central series of infinite groups", Mat. Sbornik, New Series, 31: 491–496, MR 0052427
Hall, Marshall (1959), The theory of groups, Macmillan, MR 0103215
Malcev, A. I. (1949), "Generalized nilpotent algebras and their associated groups", Mat. Sbornik, New Series, 25 (67): 347–366, MR 0032644
McLain, D. H. (1956), "Remarks on the upper central series of a group", Proc. Glasgow Math. Assoc., 3: 38–44, doi:10.1017/S2040618500033414, MR 0084498
Schenkman, Eugene (1975), Group theory, Robert E. Krieger Publishing, ISBN 978-0-88275-070-5, MR 0460422, 특히 6장.

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