퍼펙트 그룹

수학에서, 더 구체적으로, 집단 이론에서, 집단은 자신의 정류자 부분군과 같거나, 집단이 비삼위적인 아벨의 인용구가 없다면 동등하게 완벽하다고 한다(동등하게, 보편적인 아벨의 인용인 그것의 아벨리아화는 하찮은 것이다).기호에서 완벽한 그룹은 G⁽¹⁾ = G( 정류자 하위 그룹은 그룹과 같음) 또는 동등하게 G^ab = {1}(그들의 아벨리아화는 사소한 것임)과 같은 그룹이다.

예

가장 작은 (비경쟁)완벽한 그룹은 교대 그룹₅ A이다.더 일반적으로는, 정류자 부분군이 아벨의 몫이 있는 정상 부분군이기 때문에, 어떤 비아벨라 단순 집단은 완벽하다.반대로 완벽한 집단은 단순할 필요가 없다. 예를 들어, 5개의 원소를 가진 필드 위의 특수 선형 집단은 완벽하지만 단순하지 않다( - 1 $\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)$ - $\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)$ ) $\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)$ = ( $\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)$ - 1 ) = $\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)$ ( 4 $\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)$ ) ${\$ ) $({\\\smallmatrix}-1&#0&#1\end{smallmatrix}\right)=\\left\nd{smallmatrix}4&#0\nd{smallmatrix}\right)}).$

두 개의 간단한 그룹의 직접 생산물은 완벽하지만 단순하지는 않다. 두 요소의 정류자는 [(a,b), (c,d)] = (a,c,[b,d]이다.각 단순 그룹의 정류자가 생성 세트를 형성하므로, 정류자 쌍은 직접 제품의 생성 세트를 형성한다.

보다 일반적으로 비종교적 확장(따라서 단순한 그룹 자체가 아님)인 준실행 그룹(단순 그룹의 완벽한 중앙 확장)은 완벽하지만 단순하지 않다. 여기에는 투영적 특수 선형 그룹 PSL(n,q)의 확장이 extensio이기 때문에 모든 불용성 비단순 유한 선형 그룹 SL(n,q)이 포함된다.n의 PSL(2,5), A에 대해₅ 이형성인 경우.마찬가지로 실제와 복잡한 숫자에 대한 특수 선형 그룹은 완벽하지만 일반 선형 그룹 $\mathbb {F} _{2}$ 은 절대 완벽하지 않다(사소하거나 F $\mathbb {F} _{2}$ ${\$ 특수 선형 그룹과 동일한 경우 제외). 결정 인자가 비직렬 아벨리아화를 제공하고 실제로 정류자 하위 그룹은 SL이다..

그러나 비종교적 완벽 집단은 반드시 해결할 수 없으며, 4는 그 순서를 나눈다(한정된 경우), 더욱이 8은 순서를 나누지 않으면 3이 된다.^[1]

모든 반복군들은 완벽하지만, 그 반전은 사실이 아니다.A는₅ 완벽하지만 반복적이지 않다(사실, 심지어 슈퍼퍼펙트도 아니다), 참조하라(Berrick & Hillman 2003).In fact, for $n\geq 5$ the alternating group $A_{n}$ is perfect but not superperfect, with $H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2$ for $n\geq 8$ .

완벽한 집단의 어떤 지수도 완벽하다.단순하지 않은 비경쟁적 유한 완벽 그룹은 적어도 하나의 더 작은 비-아벨리안 그룹의 확장이어야 한다.그러나 그것은 둘 이상의 단순한 집단의 연장일 수 있다.사실 퍼펙트 그룹의 직접적인 산물도 완벽하다.

모든 완벽한 그룹 G는 다른 완벽한 그룹 E(그들의 보편적인 중심 확장자)를 결정하는데, 이 속성에서 f가 보편적인 것과 같이, 커널이 E의 중심에 있는 추측 f: E → G.f의 낟알은 1904년 잇사이 슈르에 의해 처음 연구되었기 때문에 G의 슈르 승수라고 불린다 $.$ homology $H_{2}(G)$ H $H_{2}(G)$ ( G $H_{2}(G)$ ) {\ $displaystyle$ H_{2}( $G)}$ 에 이형성이다 $H_{2}(G)$

In the plus construction of algebraic K-theory, if we consider the group $\operatorname {GL} (A)={\text{colim}}\operatorname {GL} _{n}(A)$ for a commutative ring $A$ , then the subgroup of elementary matrices $E(R)$ forms a perfect subgr웁

오석의 추측

정류자 하위 그룹은 정류자에 의해 생성되므로, 완벽한 그룹은 정류자의 산물이지만 그 자체가 아닌 정류자의 요소를 포함할 수 있다.외이스테인 오레는 1951년 5개 이상의 원소에 있는 교대집단들이 교대자만을 포함하고 있다는 것을 증명했고, 이것이 모든 유한한 비아벨리안 단순집단들을 위한 것이라고 추측했다.오석의 추측이 마침내 2008년에 증명되었다.그 증거는 분류 정리에 의존한다.^[2]

그룬 보조정리

완벽한 집단에 대한 기본적인 사실은 (그룬 1935, Satz ^{[note 1]}4, 페이지 3)의 그룬의 보조정리법이다: 그 중심에 의한 완벽한 집단의 지분은 중심(소소한 중심)이 없다.

증명: G가 완벽한 그룹이라면, Z와₁ Z가₂ G의 상위 중심 시리즈의 처음 두 용어를 나타내도록 하라(즉, Z는₁ G의 중심이고 Z/Z는₂₁ G/Z의₁ 중심이다).H와 K가 G의 부분군인 경우 [H, K]로 H와 K의 정류자를 나타내며 [Z₁, G] = 1과 [Z₂, G] ⊆ Z, 그리고₁ 결과적으로 [X, Y, Z] = [X, Y] = [X, Y] = [X, Y], Z], [Z]라는 관행이 따른다.
$[Z_{2},G,G]=[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1$

$[G,Z_{2},G]=[G,Z_{2},G]=[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1.$
3개 부분군 보조정리(또는 동등하게 홀 위트 정체성에 의해)에 의해, [G, Z] = [G₂, G₂, Z₂] = [G, G, Z] = {1}.따라서₁ Z₂ ⊆ Z = Z(G)이며, G / Z(G)의 중심은 사소한 그룹이다.

결과적으로, 완벽한 그룹의 모든 상위 중심(즉, 상위 중앙 시리즈의 상위 용어)은 중심과 동일하다.

집단 호몰로지

집단 호몰로지 측면에서 완벽한 집단은 정확히₁ H(G, Z) = 0으로, 집단의 첫 번째 호몰로지 집단은 정확히 집단의 아벨리아화(abelianization)이며, 완벽하다는 것은 사소한 아벨리아화를 의미한다.이 정의의 장점은 다음과 같은 강화를 인정한다는 것이다.

슈퍼퍼펙트 그룹은 H $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$ ( $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$ , $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$ ) $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$ = $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$ $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$ ( G $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$ , $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$ ) $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$ = 0 $H_{1}(G,\mathb {Z} )=H_{2}(G,\mathb {Z} )=0$ 의 첫 두 호몰로지 그룹이 사라지는 그룹이다 $H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0$
Acyclic 그룹은 ${\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.$ ~ i ${\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.$ ( ${\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.$ ; Z ${\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.$ ) ${\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.$ = ${\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.$ ${\displaystyle {\tilde{H}_{i}(G;\mathb {Z})=0.}($ $H_{0}$ 은 H $H_{0}$ 0 {\ $displaystyle H_{$ 0}}}}을 $H_{0}$ 제외한 모든 호몰로지 그룹과 동등하다.)

준완벽군

특히 대수학 K이론 분야에서는 정류자 부분군이 완벽하면 그룹이 준완벽하다고 하는데, 기호에서 준완벽군은 G⁽¹⁾ = G⁽²⁾(교정자 부분군의 정류자는 정류자 부분군), 완벽한 그룹은 G⁽¹⁾ = G(교정자 부분군은 전체 그룹)와 같은 그룹이다.(Karoubi 1973, 페이지 301-411) 및 (Inassaridze 1995, 페이지 76)을 참조하십시오.

메모들

^ 사츠는 "테오렘"을 뜻하는 독일어다.

참조

^ "an answer". mathoverflow. 7 July 2015. Retrieved 7 July 2015.
^ Liebeck, Martin; Shalev, Aner (2010). "The Ore conjecture" (PDF). Journal of the European Mathematical Society . 12: 939–1008. doi:10.4171/JEMS/220.

Berrick, A. Jon; Hillman, Jonathan A. (2003), "Perfect and acyclic subgroups of finitely presentable groups", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 68 (3): 683–98, doi:10.1112/s0024610703004587, MR 2009444
Grün, Otto (1935), "Beiträge zur Gruppentheorie. I.", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German), 174: 1–14, ISSN 0075-4102, Zbl 0012.34102
Inassaridze, Hvedri (1995), Algebraic K-theory, Mathematics and its Applications, vol. 311, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-3185-8, MR 1368402
Karoubi, Max (1973), Périodicité de la K-théorie hermitienne, Hermitian K-Theory and Geometric Applications, Lecture Notes in Math., vol. 343, Springer-Verlag
Rose, John S. (1994), A Course in Group Theory, New York: Dover Publications, Inc., p. 61, ISBN 0-486-68194-7, MR 1298629

외부 링크

[3] 사츠는 "테오렘"을 뜻하는 독일어다.

[1] "an answer". mathoverflow. 7 July 2015. Retrieved 7 July 2015.

[2] Liebeck, Martin; Shalev, Aner (2010). "The Ore conjecture" (PDF). Journal of the European Mathematical Society . 12: 939–1008. doi:10.4171/JEMS/220.

[1]

[2]

[note 1]

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