N = 2 과적합 대수

수학물리학에서 2D N = 2 과적합성 대수학은 끈 이론과 2차원 등각장 이론에서 발생하는 초대칭과 관련된 무한차원 Lie 슈퍼algebra이다.그것은 거울 대칭에 중요한 용도를 가지고 있다.그것은 M에 의해 소개되었다.아데몰로, L. 브링크, A.U(1) 페르미온 문자열을 게이지 대수로서 D'Adda 외 연구진(1976).

정의

N = 2 Superquality 대수학이라고 하는 N = 2 Ramond 대수학, N = 2 Neveu-Schwarz 대수학이라고 하는 두 가지 약간 다른 방법이 있는데, 이는 이형이지만 표준 기준의 선택에 있어서 다르다.c야 너는 어떻n을 위해 정수들조차, 우묵한, Jn의 기준으로 그 N=2superconformal 대수는 리 superalgebra, 두고 이상한 요소 G+r, G−r, r∈ Z{\displaystyle r\in{\mathbb{Z}}}(는 라몽, 기초 위해), ∈ 12+Z{\textstyle r\in{1\over 2}+{\mathbb{Z}}}(그 Neveu–Schwarz, 기초 위해)에 의해 정의된 그 follo.날개관계:^[1]

c가 중앙에 있다

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=\왼쪽(m-n\오른쪽)L_{m+n}+{c \over 12}\왼쪽(m^{3}-m\right)\delta _{m+n,0}$

${\displaystyle [L_{m},\,J_{n}]=-nJ_{m+n}}$

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]={c \3}m\delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}\}=L_{r+s}+{1 \over 2}\왼쪽(r-s\오른쪽)J_{r+s}+{c \over 6}\left(r^{2}-{1 \over 4}\right)\delta _{r+s,0}$

${\displaystyle \{G_{r}^{+},G_{s}^{+}\}=0=\{G_{r}^{-}},G_{s}^{-}}}}}}}}}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}^{\pm }]=\좌측({m \ \over 2}-r\우측)G_{r+m}^{\pm }}}}$

${\displaystyle [J_{m},G_{r}^{\pm }}=\pm G_{m+r}^{\pm }}}}}}$

If ${\displaystyle r,s\in {\mathbb {Z} }}$ in these relations, this yields the N = 2 Ramond algebra; while if ${\textstyle r,s\in {1 \over 2}+{\mathbb {Z} }}$ are half-integers, it gives the N = 2 Neveu–Schwarz algebra.연산자 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) Virasoro 대수학에 대해 Lie 하위격자 이형체를 생성한다$$.Together with the operators ${\displaystyle G_{r}=G_{r}^{+}+G_{r}^{-}}$, they generate a Lie superalgebra isomorphic to the super Virasoro algebra, giving the Ramond algebra if ${\displaystyle r,s}$ are integers and the Neveu–Schwarz algebra otherwise.복잡한 내부 제품 공간의 연산자로 나타낼 때, $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 실제 스칼라(stal scar)에 의해 곱셈으로 작용하도록 취하며$$, 같은 문자로 표시되고 중앙 전하(central charge)라고 하며, 부선 구조는 다음과 같다.

${\displaystyle {L_{n}^{*}=L_{-n}}\,\,J_{m}^{*}}}}=J_{-m}}}}}}}\,(G_{r}^{-r}pm }^{-}^{-r}}^{\,c^{*}c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

특성.

• N = 2 라몬드 및 네베우-슈바르츠 알헤브라는 슈바이머 & 세이버그(1987년)의 스펙트럼 이동 이형성 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 의해 이형성이 있다.
  $${\displaystyle \alpha(L_{n})=L_{n}+{1 \over 2}J_{n}+{c \over 24}\delta _{n,0}}$$

  
  $${\displaystyle \alpha(J_{n})=J_{n}+{c \cover 6}\delta _{n,0}}$$

  
  $${\displaystyle \alpha(G_{r}^{\pm }}=G_{r\pm{1\{1\{}}{{}}}}}}:{\pm }}}}}}}}$$

  
  반비례:
  $${\displaystyle \alpha ^{-1}(L_{n})=L_{n}-{1 \over 2}J_{n}+{c \over 24}\delta _{n,0}}$$

  
  $${\displaystyle \alpha ^{-1}(J_{n})=J_{n}-{c \cover 6}\delta _{n,0}}$$

  
  $${\displaystyle \alpha ^{-1}(G_{r}^{\pm }}=G_{r\mp{1\1\{}{{}}}이상 \}}}}}}}}}}$$

  
• N = 2 Ramond 대수학에서는 제로 모드 연산자 ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ J ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}^{}}$ $0{\displaystyle {}_{}^{}}$± ${\$ 상수가 5차원 Lie 슈퍼algebra를 형성한다$$.They satisfy the same relations as the fundamental operators in Kähler geometry, with ${\displaystyle L_{0}}$ corresponding to the Laplacian, ${\displaystyle J_{0}}$ the degree operator, and ${\displaystyle G_{0}^{\pm }}$ the ${\displaystyle \partial }$ and ${\displaystyle {\overli$$ne{\put }}$ 연산자$$.
• 스펙트럼 시프트의 정수 힘도 스펙트럼 시프트 오토메이션이라고 불리는 N = 2개의 슈퍼호환성 알제브라의 자동화를 제공한다.2주기 중 또 다른 자동형성 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \$beta }$은(는) 에 의해 주어진다$.$
  $${\displaystyle \beta(L_{m})=L_{m}}$$

  
  $${\displaystyle \beta (J_{m}=-J_{m}-{c \over 3}\delta _{m,0}}}$$

  
  $${\displaystyle \beta(G_{r}^{\pm }}=G_{r}^{\mp }}}}}$$

  
  Kahler 연산자의 관점에서 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) 복잡한 구조를 결합하는 것에 해당한다$$.Since ${\displaystyle \beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{-1}}$, the automorphisms ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ and ${\displaystyle \beta }$ generate a group of automorphisms of the N = 2 superconformal algebra isomorphic to the infinite dihedral group${\displaystyle {\m$$attb {Z} }\rtimes {\mathb {Z} }_{2$
• 트위스트 연산자 ${Ln}_{}$= L $n_{}$+ $\frac{1}{}$ $2\frac{\mathrm{}}{}$ $(n$+ $1$)${}_{}$ $n_{}$ ${\$ {$L}_{n}=$$L_{n}+{1 \over 2}(n+1)J_{n}}$은(는) 에구치&양(1990)이 도입하여 다음과$$ 같이 만족한다.
  $${\displaystyle [{\mathcal {L}_{m},{\mathcal {L}_{n}]=(m-n){\mathcal {L}_{m+n}}}}}$$

  
  이러한 연산자가 중앙 전하 0과 Virasoro 관계를 만족하도록 한다.상수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$은(는) ${\displaystyle {Jm}_{}}$ ${\$의 관계와 수정된$$ 관계에 여전히 나타난다$$.
  $${\displaystyle [{\mathcal {L}_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}+{c \c \over 6}\좌측(m^{2}+m\오른쪽)\delta _{m+n,0}$$

  
  $${\displaystyle \{G_{r}^{}^{-}\}\}=2{{{r+s}-2sJ_{r+s}+{c \over 3}\좌측(m^{2}+m\오른쪽)\delta _{m+n,0}}$$

  

시공

자유현장건설

녹색, 슈바르츠 & 위튼(1988) 하브텍스트 오류: 대상 없음: CATEREFGreen SchwarzWitten1988(도움말)은 두 개의 통근 실제 보스닉 필드$({\displaystyle n_{}}$ )${\displaystyle (a_{n}),$$$(${\displaystyle b_{}}$) ${\displaystystyle (b_{n})$를 사용하여 시공한다.

${\displaystyle {[a_{m},a_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0},\,\,\,\,[b_{m},b_{n}]={m \over 2}\delta _{m+n,0}},\,\,\,\,a_{n}^{*}=a_{-n},\,\,\,\,b_{n}^{*}=b_{-n}}$

복잡한 페르미온 필드$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$) ${\displaystyle(e_{r})}$

${\displaystyle \{e_{r},e_{s}^{*}\}\}=\not_{r,s}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{e_},},}e_{s}=0.}$

${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 세 시스템 각각과 자연적으로 연관된 Virasoro 연산자의 합계에 정의된다$$.

${\displaystyle L_{n}=\sum _{m}a_{m}a_{m:\sum_{m:b_{-m+n}b_{m}b_{m}}\sum _{r}\n \{n \over 2}\right}e_{*}e_{n+r:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

보손과 페르미온에 정상적인 순서가 사용되었던 곳.

현재 연산자 ${\displaystyle {Jn}_{}}$ ${\$는 페르미온으로부터의 표준구성으로 정의된다$$.

${\displaystyle J_{n}=\sum _{r}e_{r}^{*}e_{n+r}}}$

그리고 두 개의 초대칭 연산자 $G{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle r_{}^{}}$± ${\$에 의해

${\displaystyle G_{r}^{r}^{+}=\sum(a_{-m}+ib_{-m}\cdot e_{r+m}}\cdot e_{r+m}}\\,\,\,G_{r}^{r+m}=\sum(a_{r+m}){*}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}})$

이것은 c = 3으로 N = 2 네베우-슈바르츠 대수를 산출한다.

SU(2) 초대칭 코셋 시공

Di Vecchia 외 연구진(1986)은 비라소로와 슈퍼 비라소로 대수 이산 직렬 표현에 대해 고다드, 켄트 & 올리브(1986)의 코제트 구조를 일반화하면서 N = 2의 슈퍼적합성 알제브라를 코제트로 시공했다.기본 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\${n}, F_${n}$ 레벨$$$\ell$에서 SU(2$)$의 어핀 Kac-Moody 대수 표현으로 주어진다.$H_{n}}$ 만족$$

${\displaystyle [H_{m},H_{n}]=2m\ell \delta _{n+m,0}}$

${\displaystyle [E_{m},F_{n}]=H_{m+n}+m\ell \delta _{m+n,0}}$

${\displaystyle [H_{m},E_{n}]=2E_{m+n}}$

${\displaystyle [H_{m},F_{n}]=-2F_{m+n}}$

초대칭 발전기는 다음을 통해 정의된다.

${\displaystyle G_{r}^{+}=(\ell /2+1)^{-1/2}\sum E_{-m}\cdot e_{m+r},\,\,\,G_{r}^{-}=(\ell /2+1)^{-1/2}\sum F_{r+m}\cdot e_{m}^{*}.}$

이것은 N=2 과적합 대수학 을 산출한다.

$[\displaystyle c=3\ell /(\ell +2)]$

대수학은 보스니아 연산자와 통근한다.

${\displaystyle X_{n}=H_{n}-2\sum _{r}e_{r}^{*e_{n+r}:}$

물리적 상태의 공간은 X ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 고유 벡터로 구성되며$,$ X$$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$s for positive $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 및 초충전 연산자에 의해 동시에$$ 소멸된다.

${\displaystyle Q}$= ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$/ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$- ${\displaystyle 1_{}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$- ${\$네베우-슈워즈)

${\displaystyle Q}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}}$G ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$-${\displaystyle {}_{}^{}}$. ${\displaystyle Q=G_{0}^{+}+G_{0}^{$0}}}($$라몬드)

초충전 연산자는 아핀 웨일 그룹의 작용으로 통근하고 물리적 상태는 이 그룹의 단일 궤도에 놓여 있는데, 이는 Weyl-Kac 문자 공식을 내포하고 있다.^[2]

카자마-스즈키 초대칭 코제트 건설

카자마&스즈키(1989년)어떤 한쌍은 희미하게 추가 조건과 심플한 소형 매복하여 그룹 G{G\displaystyle}과 최대 지위의 폐쇄적인 서브 그룹 H{H\displaystyle}, 즉 G{G\displaystyle}의 최대 원환체 T{T\displaystyle}이 포함으로 구성된 그 SU(2)잉여류 건설을 싸잡아ensi$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 중심은 0이 아니다$$.In this case the compact Hermitian symmetric space ${\displaystyle G/H}$ is a Kähler manifold, for example when ${\displaystyle H=T}$. The physical states lie in a single orbit of the affine Weyl group, which again implies the Weyl–Kac character formula for the affine Kac–Moody algebra of ${\displaystyle G}$.^[3]

참고 항목

• 비라소로 대수
• 슈퍼 비라소로 대수
• 코제트 건설
• IIB 문자열 이론

메모들

참조

• Ademollo, M.; Brink, L.; D'Adda, A.; D'Auria, R.; Napolitano, E.; Sciuto, S.; Giudice, E. Del; Vecchia, P. Di; Ferrara, S.; Gliozzi, F.; Musto, R.; Pettorino, R. (1976), "Supersymmetric strings and colour confinement", Physics Letters B, 62 (1): 105–110, Bibcode:1976PhLB...62..105A, doi:10.1016/0370-2693(76)90061-7
• Boucher, W.; Freidan, D; Kent, A. (1986), "Determinant formulae and unitarity for the N = 2 superconformal algebras in two dimensions or exact results on string compactification", Phys. Lett. B, 172 (3–4): 316–322, Bibcode:1986PhLB..172..316B, doi:10.1016/0370-2693(86)90260-1
• Di Vecchia, P.; Petersen, J. L.; Yu, M.; Zheng, H. B. (1986), "Explicit construction of unitary representations of the N = 2 superconformal algebra", Phys. Lett. B, 174 (3): 280–284, Bibcode:1986PhLB..174..280D, doi:10.1016/0370-2693(86)91099-3
• Eguchi, Tohru; Yang, Sung-Kil (1990), "N = 2 superconformal models as topological field theories", Mod. Phys. Lett. A, 5 (21): 1693–1701, doi:10.1142/S0217732390001943
• Goddard, P.; Kent, A.; Olive, D. (1986), "Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras", Comm. Math. Phys., 103 (1): 105–119, Bibcode:1986CMaPh.103..105G, doi:10.1007/bf01464283, S2CID 91181508
• Green, Michael B.; Schwarz, John H.; Witten, Edward (1988a), Superstring theory, Volume 1: Introduction, Cambridge University Press, ISBN 0-521-35752-7
• Green, Michael B.; Schwarz, John H.; Witten, Edward (1988b), Superstring theory, Volume 2: Loop amplitudes, anomalies and phenomenology, Cambridge University Press, Bibcode:1987cup..bookR....G, ISBN 0-521-35753-5
• Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), "New N = 2 superconformal field theories and superstring compactification", Nuclear Physics B, 321 (1): 232–268, Bibcode:1989NuPhB.321..232K, doi:10.1016/0550-3213(89)90250-2
• Schwimmer, A.; Seiberg, N. (1987), "Comments on the N = 2, 3, 4 superconformal algebras in two dimensions", Phys. Lett. B, 184 (2–3): 191–196, Bibcode:1987PhLB..184..191S, doi:10.1016/0370-2693(87)90566-1
• Voisin, Claire (1999), Mirror symmetry, SMF/AMS texts and monographs, vol. 1, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1947-X
• Wassermann, A. J. (2010) [1998]. "Lecture notes on Kac-Moody and Virasoro algebras". arXiv:1004.1287.
• West, Peter C. (1990), Introduction to supersymmetry and supergravity (2nd ed.), World Scientific, pp. 337–8, ISBN 981-02-0099-4