절대 기하학
Absolute geometry
절대 기하학은 기하학적 구조를 유클리드 기하학의 병렬 또는 그것의 대안의 공리 없는 공리계에 근거한다. 전통적으로, 이것은 첫 4유클리드의 공리의를 사용합니다, 그러나 때부터 이러한 유클리드 기하학, 병렬은 공리 없는 힐베르트 공리계와 같은 다른 시스템을 사용한 이야기의 기본이 충분하지 않는 것을 의미했다.[1] 용어는 헝가리의 수학자.에 의해 1832년에 도입되었다.[2] 그것은 평행 정리에 대해 중립적입니다 그것은 때때로 중립 geometry,[3]라 한다.
특성.
절대 기하학이 다소 약한 체계라고 상상할지 모르지만 그렇지 않다. 실제로 유클리드 원소에서 최초 28개 제안과 발의안 31은 평행 가설의 사용을 피하므로 절대 기하학에서 유효하다. 또한 절대 기하학에서 외부 각도 정리(삼각형의 외부 각도가 원격 각도 중 하나보다 크다)를 증명할 수 있으며, 삼각형에서 각도의 측정 합계가 최대 180°[4]임을 명시하는 사케리-레젠드르 정리도 증명할 수 있다.
발의안 제31호는 주어진 선에 있지 않은 점을 통해 주어진 선에 평행선을 건설하는 것이다.[5] 그 증명에는 발의안 27(대체 내부 각도 정리)의 사용만을 필요로 하기 때문에 절대 기하학에서 유효한 구성이다. 더 정확히 말하면, 어떤 선 l과 어떤 점 P가 l에 있지 않은 경우, l에 평행한 P를 통과하는 선은 적어도 하나 있다. 이것은 친숙한 구조를 사용하여 증명할 수 있다: l에 없는 선 l과 점 P를 주어진다면, 수직 m을 P에서 l로 떨어뜨린 다음, m에서 P까지 수직 n을 세운다. 대체 내부 각도 정리에 의해 l는 n에 평행하다(대체 내부 각도 정리는 교차 t에 의해 선 a와 b가 절단되어 한 쌍의 일치된 대체 내부 각이 있다면 a와 b가 평행하다는 것을 명시한다). 전술한 구성과 대체 내부 각도 정리는 평행한 가정법에 의존하지 않으며 따라서 절대 기하학에서 유효하다.[6]
절대 기하학에서 같은 선에 수직인 두 선은 교차할[citation needed] 수 없다는 것도 증명할 수 있다(이 선은 평행선의 정의에 의해 두 선을 평행하게 만든다). 사케리 4각형의 정상 각도는 둔화될 수 없으며, 구면 기하학이 절대 기하학이 아니라는 것도 증명한다.
다른 기하학적 구조와의 관계
절대 기하학의 이론은 유클리드 기하학뿐만 아니라 비유클리드 기하학인 쌍곡 기하학에도 있다.[7]
절대 기하학은 타원형 기하학과 모순된다:그 이론에서, 평행선은 전혀 없지만, 평행선이 존재하는 것은 절대 기하학의 정리다. 그러나 절대 기하학에는 평행선이 없는 구형 및 타원형 기하학이 포함되도록 공리계를 수정할 수 있다.[8]
절대 기하학은 순서가 정해진 기하학의 확장이며, 따라서 순서가 정해진 기하학의 모든 이론은 절대 기하학에 있다. 그 반대는 사실이 아니다. 절대 기하학은 유클리드 공리(또는 그 등가물)의 첫 번째 4개를 어핀 기하학과 대조되는 것으로 가정하며, 유클리드 공리의 세 번째와 네 번째 공리를 가정하지 않는다. (3: "중앙과 거리 반지름을 가진 원을 묘사하기 위해.", 4: "그 모든 직각은 서로 같다.") 순서 기하학은 절대 기하학과 부속 기하학의 공통 기반이다.[9]
특수상대성의 기하학은 9개의 공리와 11개의 절대 기하학 명제를 시작으로 개발되었다.[10][11] 작가 에드윈 B. 윌슨과 길버트 N. 루이스는 이후 그들이 쌍곡선 회전을 두 개의 기준 프레임과 관련된 변환으로 도입할 때 절대 기하학을 넘어 진행한다.
힐베르트 비행기
힐베르트의 입사, 베일리스, 콘그루언스 공리를 만족시키는 평면을 힐버트 평면이라고 한다.[12] 힐버트 평면은 절대 기하학의 모델이다.[13]
불완전성
절대기하학은 공리계를 일관성이 없게 하지 않고 특별히 독립적인 공리를 추가할 수 있다는 점에서 불완전한 공리 체계다. 평행선에 대한 서로 다른 공리를 더하면 절대 기하학을 확장할 수 있고, 양립불가능하지만 일관된 공리계를 갖게 되어 유클리드나 쌍곡 기하학을 발생시킬 수 있다. 그러므로 절대 기하학의 모든 정리는 쌍곡 기하학과 유클리드 기하학의 정리다. 그러나 그 반대는 사실이 아니다.
참고 항목
메모들
- ^ 파버 1983, 페이지 131
- ^ "우주의 절대과학을 보여주는 부록: 유클리드 악시오름 XI의 진실이나 거짓과는 무관함"(Faber 1983, 페이지 161)
- ^ 그린버그는 유클리드 평행 자세에 의존하지 않는 유클리드 기하학의 그 부분을 언급하기 위해 중립 기하학이라는 용어를 사용했다고 W. Farnowitz와 M. Jordan(그린버그, 페이지 16)을 인용한다. 그는 절대 기하학에서 절대적이라는 단어는 다른 모든 기하학들이 그것에 의존한다는 것을 오해할 수 있다고 말한다.
- ^ 후자 이론에서 모든 삼각형은 180°보다 큰 각도 합을 가지기 때문에 절대 기하학과 타원 기하학의 비호환성을 볼 수 있다.
- ^ 파버 1983 페이지 296
- ^ 그린버그 2007년 페이지 163
- ^ 사실 절대 기하학은 쌍곡 기하학과 유클리드 기하학의 교차점이며, 이것들은 명제의 집합으로 간주된다.
- ^ Ewald, G. (1971), Geometry: An Introduction, Wadsworth
- ^ Coxeter 1969, 페이지 175-6
- ^ 에드윈 B. 윌슨 & 길버트 N. 루이스(1912년) "공간 시간 상대성 다지관. 미국예술과학아카데미의 비유클리드기하학 및 전자기학" 48:387–507
- ^ 윌슨과 루이스에 의해 사용된 공리와 이론의 요약인 합성 스페이시타임이 증명되었다. WebCite에 의해 보관됨
- ^ Hartshorne 2005, 페이지 97
- ^ 그린버그 2010 페이지 200
참조
- Coxeter, H. S. M. (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons
- Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
- Greenberg, Marvin Jay (2007), Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History (4th ed.), New York: W. H. Freeman, ISBN 0-7167-9948-0
- Greenberg, Marvin Jay (2010), "Old and New Results in the Foundations of Elementary Plane Euclidean and Non-Euclidean Geometries" (PDF), Mathematical Association of America Monthly, 117: 198–219
- Hartshorne, Robin (2005), Geometry: Euclid and Beyond, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98650-2
- Pambuchain, Victor Axiomatization of 쌍곡 기하학 및 절대 기하학, in: 비유클리드 기하학(A. Prékopa and E) 몰나르, 에드. 얀노스 볼라이 기념물. 2002년 7월 6일부터 12일까지 헝가리 부다페스트의 쌍곡 기하학에 관한 국제 회의의 논문. 뉴욕, 뉴욕: 스프링거, 119–153, 2006.
외부 링크
Wikimedia Commons의 절대 기하학과 관련된 미디어- Weisstein, Eric W. "Absolute Geometry". MathWorld.
