이중 부정

변환 규칙
명제 미적분학
추론 규칙
시사 소개/제거(모더스 폰) 바이콘드 도입/제거 접속사 도입/제거 분리 도입/제거 이절 / 가상 삼단논법 건설적/파괴적 딜레마 흡수/모더스 톨렌스/모더스 폰도 톨렌스 부정소개
교체규칙
연관성 동시성 분배성 이중 부정 드 모건의 법칙 전치 물질적 함축성 수출 토토로지
술어 논리학
추론 규칙
보편적 일반화/인스턴시 실존적 일반화 / 인스턴스화

명제 논리학에서 이중 부정은 "성명이 사실이라면, 그 진술이 사실이 아닌 것은 아니다"라고 진술하는 정리다. 이는 명제 A가 (A가 아닌) 논리적으로 (A가 아닌) 것과 동등하다고 말하거나, 기호 ≡이 논리적 등가성을 표현하고 기호 ~가 부정하는 공식 A ≡ ~ (~A)에 의해 표현된다.^[1]

배제된 중간의 법칙처럼 이 원리는 고전적 논리에서는 사상의 법칙으로 간주되지만 직관적 논리로서는 허용되지 않는다.^[2][3] 그 원리는 프린세스 매티카에서 러셀과 화이트헤드에 의해 명제논리의 정리로서 다음과 같이 명시되었다.

$\displaystyle \mathbf {*4\cdot 13} .\ \vdash .\ p\ \equiv \equiv \csim(\cdsim p)}$^[4]

"이것이 이중 부정의 원리, 즉 명제는 그 부정의 허위와 맞먹는다."

제거 및 소개

이중 부정 제거와 이중 부정 도입은 유효한 대체의 두 가지 규칙이다. 그들은 A가 사실이라면-A가 아닌 것, 그 반대라면-A가 사실이 아니라면-A가 사실이라는 추론이다. 그 규칙은 형식적인 증거에서 부정행위를 도입하거나 제거할 수 있도록 허용한다. 이 규칙은 예를 들어 비가 오지 않는 것은 거짓이고 비가 오고 있다.

이중 부정 도입 규칙은 다음과 같다.

P $\Rightarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ $\neg$${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg}$ $\neg$${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg}$

이중 부정 제거 규칙은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \neg}$ $\neg$${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \neg}$ $\Rightarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$P$$

여기서 "$\$ {\$displaystyle \Rightarrow$}"은 "증거로 대체할 수 있음"을 나타내는 금속학 기호다.

두 가지 규칙이 모두 있는 논리학에서 부정은 비자발적이다.

형식 표기법

이중 부정 도입 규칙은 다음과 같이 순차적 표기법으로 작성할 수 있다.

$\displaystyle P\vdash \neg \neg P}$

이중 부정 제거 규칙은 다음과 같이 작성할 수 있다.

$\displaystyle \neg \neg p\vdash P}$

규칙 형식:

${\displaystyle {\frac {P}{\neg \neg P}}$

그리고

${\displaystyle {\frac {\neg \neg P}{P}}}$

또는 tautology(직접 명제 미적분학 문장):

$\displaystyle P\to \neg \neg P}$

그리고

$\displaystyle \neg \neg p\to P}$

이것들은 단일 쌍변성 공식으로 결합될 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle P}$↔ ${\displaystyle P}$ ↔ P ${\displaystyle \neg \neg P\왼쪽$ 화살표 $P$

양분성은 등가관계이므로, 잘 형성된 공식에서 ¬A의 어떠한 인스턴스도 A로 대체될 수 있으므로 잘 형성된 공식의 진가는 변하지 않는다.

이중 음성적 제거는 고전적 논리의 정리지만, 직관적 논리나 최소한의 논리처럼 약한 논리학의 정리는 아니다. 이중 부정 도입은 intuition ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${$ ${\displaystyle A}$ {\$displaystyle \neg$ \$neg \neg A\vdash \neg$ A$\}$과 같이 $직관적$ 논리와 최소 논리의 정리다.

그들의 건설적인 성격 때문에 비가 오지 않는 것이 비보다 약한 것은 아니다와 같은 진술이 있다. 후자는 비의 증거를 요구하는 반면, 전자는 비가 모순되지 않을 것이라는 증거를 요구할 뿐이다. 이러한 구별은 또한 자연언어로도 나타난다.

교정쇄

고전 명제 미적분학에서는

명제논리에 대한 힐버트식 연역체계에서는 이중부정이 항상 공리(힐버트계 목록 참조)로 받아들여지는 것은 아니며, 오히려 정리라고 할 수 있다. 우리는 얀 우카시예비치(Jan Wukasiewicz)가 제안한 세 가지 공리 체계에서 이 정리의 증거를 설명한다.

A1. $1{\displaystyle }$ → (${\displaystyle (}$ →${\displaystyle \varphi }$) ${\$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

${\displaystyle \mathrm{A3}}$. (${\displaystyle \neg \mathrm{}}$→ → ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$\ →${\displaystyle }$→ ) → ( ) → → ${\displaystyle \to }$ ) {\$\left(\lnot \pi \to \lnot \psi \right)\to \lto \(\psi \pi \rig)}}}$

여기서 증명된$$ 보조정리 $p{\displaystyle }$→ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to p}$를 사용하며, 이를 (L1)로 지칭하며, 다음과 같은 추가 보조보조보조장치를 여기에서 증명하였다.

(L2) $p{\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle p\to ((p\to q)\to q)}$

우리는 ${\displaystyle \mathrm{먼저}}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle p}$ → p$${\$displaystyle \neg \ng$ \p$\to p}$을(를) 증명한다$.$ 약칭으로 $q{\displaystyle }$₀${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$→ $){\displaysty q\to (r\to q)}$를 r으로 나타낸다$$. 우리는 또한 몇 가지 증명 단계를 위한 속기로 가상의 삼단법의 방법을 반복적으로 사용한다.

(1) $\phi {\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $$(A1)의 인스턴스)

(2) (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$ p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{(\neg }}$ p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ) $displaystyle (\neg \varphi _{0}\to \neg$ p$\to \ng$ p$\to$\neg \eg \$varphi _{0})($A3)의 인스턴스)

(3) ($$ ${\displaystyle p}$→${\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$→ (${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 → ${\displaystyle p}$)$${\$displaystyle (\neg p$\to $\neg \varphi _{$0}}\$to$ p)}(\$varphi _{0}\to$ p$)}($A3)의 경우)

(4) (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 0 →${\displaystyle {}_{}\mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$p ) → ${\displaystyle (\phi }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$→ p${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\neg \varphi _{0}\to \neg \p$)\to (\$varphi _{0}\to)($2) 및 (3)에 의한 가설적 삼단법률론적 메타토)

(5) $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$→ (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle {\phi \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0 →${\displaystyle \mathrm{})}$ ) ${\displaystyle p}$ )$${\$displaystyle \neg \neg$ p$\to (\neg$\neg $\varphi _{0}\to \neg$ \eg $\p)}$ $$(A1)의 인스턴스)

(6)${\displaystyle \mathrm{}}$syll ${\displaystyle \mathrm{syll}}$ p${\displaystyle }$→ (${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 →${\displaystyle p}$ )$${\$displaystyle \neg \neg$ p$\to$(\$varphi _{0}\to$ p$)}($4)와 (5)의 가상적 삼단논법 메타테오렘에 의한)

(7) ${\displaystyle {\phi \mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$→${\displaystyle }$( (${\displaystyle \phi }$ 0${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$→ p${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi _{0}\to (\varphi _{0}\to$ p$)}($의 (L2)의 인스턴스)

(8) (${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$→ p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (\varphi _{0}\to$ p$)\to p}$ $$((1) 및 (7)부터 (7)까지)

(9)${\displaystyle \mathrm{}}$syll ${\displaystyle \mathrm{syll}}$ p${\displaystyle }$→$$ {\$displaystyle \neg \neg$ p$\to$p}$$ (6) 및 (8) 가상의 삼단논법 메타테오름에 의한)

$이제{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$→ ¬${\displaystyle \mathrm{}}$¬ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$을(를) 증명한다$.$

(1) $\neg {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle p}$ → ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}${\$displaystyle \neg \ng \ng$\to $\ng p}$ $$(이제 막 증명된 정리의 첫 부분 중 하나)

(2) (${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$ p${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ p ${\displaystyle p}$ ) $displaystyle (\neg \eg \to \neg$ p$)\to (p\to \neg \eg$ p$)}$ $$(A3)의)

(3) $p{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to \neg \neg$ p$}$ $$((1) 및 (2) by modus ponens)

그리고 그 증거는 완전하다.

참고 항목

• 괴델-젠젠 음성 번역

참조

참고 문헌 목록

• 1860년 윌리엄 해밀턴, 형이상학과 논리에 대한 강의, Vol. II. 논리학; 헨리 맨젤과 존 비치, 보스턴, 굴드, 링컨이 편집했다.
• Christoph Sigwart, 1895년, 논리: 판단, 개념, 추론; 제2판, 헬렌 덴디, 맥밀란 & 코퍼레이션. 뉴욕
• 스티븐 C. 1952년 클레인, 1952년 메타매틱스 소개, 1971년 6회 수정본 재인쇄, 암스테르담 NY 노스홀랜드 출판사, ISBN0-7204-2103-9.
• 스티븐 C. 클레네, 1967년, 수학논리학, 도버판 2002년, 도버 출판사, 주식회사, 마이놀라 뉴욕 ISBN 0-486-42533-9
• Alfred North Whitehead와 Bertrand Russell, Principia Mathematica to *56, 2판 1927, 1962, University Press에서 캠브리지 인쇄.