페르마-카탈란 추측

수론에서 페르마-카탈란 추측은 페르마의 마지막 정리와 카탈란 추측을 일반화한 것으로, 따라서 이 이름이 붙여졌습니다.이 추측은 다음과 같이 말하고 있습니다.

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad }$

(1)

값(a^m,bⁿ,c,m,n,k)의 세 배의 뚜렷한 해(a,b,c,c^k)를 가진 유한하게 많은 해(a,b,c,c)를 갖습니다. 여기서 a,b,c는 양의 공분 정수이고 m,n,k는 양의 정수입니다.

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}$

(2)

m, n, k에 대한 부등식은 추측의 필요한 부분입니다.부등식이 없다면, 예를 들어 k = 1인 경우(임의 a, b, m, n의 경우, c = a + b의 경우) 또는 m, n, k가 모두 2인 경우(알려진 피타고라스 삼중의 경우)와 같은 무한히 많은 해가 존재할 것입니다.

알려진 해결책

2015년 현재, 식 (2)의 기준을 충족하는 식 (1)에 대한 다음과 같은 10개의 해가 알려져 있습니다.^[1]

$displaystyle 1^{m}$$}=3^{2}\;}$ (형식> ${\displaystyle$ m$>6}$으로 동일 2를 만족)

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$

${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$

${\displaystyle 9262^{3} + 15312283^{2}=113^{7}\;}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$

2002년 프레다 미흐 ă레스쿠에 의해 증명된 카탈루냐 추측에 따르면, 이들 중 첫 번째 (1 + 2 = 3)는 a, b, c 중 하나가 1인 유일한 해입니다.이 경우 (1)의 해를 무한히 많이 사용할 수 있지만 (1은 임의의 m을 > 6으로 선택할 수 있기 때문에), 이 해는 값 (a^m, bⁿ, c^k)의 세 배만 제공합니다.

부분결과

팔팅스 정리를 사용하는 다몬-그란빌 정리에 의해 알려져 있으며, 양의 정수 m, n, k 중 (2)를 만족시키는 임의의 고정된 선택에 대해 유한하게 많은 공비 삼중 (a, b,^{[2][3]: p. 64} c) 해가 존재합니다 (1).그러나 완전한 페르마-카탈란 추측은 지수 m, n, k가 변할 수 있기 때문에 더 강합니다.

abc 추측은 페르마-카탈란 추측을 암시합니다.^[4]

불가능한 지수 조합에 대한 결과 목록은 Beal 추측 #부분 결과를 참조하십시오.빌의 추측은 모든 페르마-카탈란 해가 m = 2, n = 2, 또는 k = 2인 경우에만 참입니다.

참고 항목

• 거듭제곱의 합, 이와 관련된 추측과 정리의 목록

참고문헌

외부 링크

• 퍼펙트 파워: 필라이의 작품과 그 발전.발드슈미트, M.