특정 지수에 대한 페르마의 마지막 정리 증명

Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents

페르마의 마지막 정리는 수 이론의 정리로서, 원래 1637년 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 명기하고, 1995년 앤드류 와일스가 증명하였다.정리의 문장은 2보다 큰 정수 지수 n을 포함한다.그 결과의 초기 진술과 그 일반적인 증거에 앞서 수세기 동안, 다양한 증거들이 지수 n의 특정한 가치에 대해 고안되었다.이러한 증거들 중 몇 가지가 아래에 설명되어 있는데, 사례 n = 4에서 페르마의 증거를 포함하면, 이는 무한 강하 방법의 초기 사례다.

수학예선

페르마의 마지막 정리를 보면, 2보다 큰 n의 정수 값에 대해 어떤 양의 정수(a, b, c)도 an + bn = c 방정식을n 만족시킬 수 없다고 한다.(n이 1과 같은 경우, 방정식은 선형 방정식이며 가능한 모든 a, b에 대한 해법이 있다.n이 2와 같은 경우, 이 방정식은 무한히 많은 해법, 즉 피타고라스의 세 쌍을 가지고 있다.)

지수 요인

주어진 n에 대한 해법(a, b, c)은 n의 모든 요인에 대한 해법으로 이어진다: h가 n의 인자라면 n = gh와 같은 정수 g가 있다.다음 (ag, bg, cg)은 지수 h:

(ag)h + (bg)h = (cg)h

따라서 페르마의 방정식이 n > 2에 대한 해법이 없음을 증명하기 위해서는 n = 4와 모든 홀수 p에 대한 해법이 없음을 증명하기에 충분하다.

그러한 모든 홀수 지수 p의 경우, 등식pp a + b = c의pp 모든 양정수 용액은 등식p a + b + cp = 0에 대한 일반 정수 용액에 해당한다.예를 들어 (3, 5, 8)이 첫 번째 방정식을 풀면 (3, 5, 8)이 두 번째 방정식을 풀게 된다.반대로, 두 번째 방정식의 어떤 해법은 첫 번째 방정식의 해법에 해당한다.두 번째 방정식은 세 변수 a, b, c 사이의 대칭성을 더 뚜렷하게 만들기 때문에 때때로 유용하다.

원시적 해결책

만약 세 개의 숫자 중 두 개(a, b, c)를 네 번째 숫자 d로 나눌 수 있다면, 세 개의 숫자 모두 d로 나눌 수 있다.예를 들어, a와 c가 d = 13으로 분할되는 경우 b도 13으로 분할된다.이것은 방정식에서 따온 것이다.

bn = cn − an

방정식의 오른쪽을 13으로 나누면 왼쪽도 13으로 나눈다.g가 a, b, c의 가장 큰 공통점을 나타내도록 하자.그런 다음 (a, b, c)는 a = gx, b = gy, c = gz로 기록할 수 있다. 여기서 세 개의 숫자(x, y, z)는 쌍으로 조합된다.즉, 각 쌍의 최대 공통점(GCD)은 1과 같다.

GCD(x, y) = GCD(x, z) = GCD(y, z) = 1

(a, b, c)가 페르마 방정식의 해법이라면, (x, y, z)도 그렇다.

an + bn = cn = gnxn + gnyn = gnzn

방정식을 함축하다

xn + yn = zn.

쌍방향 복사용액(x, y, z)은 원시용액이라고 한다.페르마의 방정식에 대한 모든 해법은 그들의 가장 큰 공통의 divisor g로 나누어 원시적인 해법으로 축소될 수 있기 때문에, 페르마의 마지막 정리는 원시적인 해법이 존재하지 않는다는 것을 증명함으로써 증명할 수 있다.

짝수와 홀수

정수는 짝수와 홀수, 둘로 균등하게 나누어져 있는 것과 그렇지 않은 것으로 나눌 수 있다.짝수 정수는 ...이다.-4, -2, 0, 2, 4의 홀수 정수는 -3, -1, 1, 3,...정수가 짝수(짝수)인지 아닌지의 속성을 그 패리티라고 한다.두 숫자가 짝수이거나 둘 다 홀수일 경우, 동일한 패리티를 갖는다.대조적으로, 한 쪽이 짝수이고 다른 쪽이 홀수일 경우, 그들은 다른 패리티를 가진다.

짝수와 홀수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 간단한 규칙을 따른다.짝수 두 개 또는 홀수 두 개를 더하거나 빼면 항상 짝수(예: 4 + 6 = 10, 3 + 5 = 8)가 생긴다. 반대로 홀수 및 짝수 숫자의 덧셈 또는 뺄셈은 항상 홀수(예: 3 + 8 = 11)가 된다.홀수 두 개의 곱셈은 항상 홀수지만, 짝수의 곱셈은 항상 짝수다.한 권력에 올려진 홀수는 항상 홀수이고, 권력에 올려진 짝수는 항상 짝수다.

xn + yn = z 방정식에n 대한 원시 해법(x, y, z)에서 한 숫자는 짝수이고 나머지 두 숫자는 홀수다.그들은 모두 평등할 수 없다. 그렇게 되면 그들은 서로 어울릴 수 없을 것이다. 그들은 둘로 나누어 질 수 있다.그러나 두 개의 홀수 xn + y의n 합은 결코 홀수 z가n 아니기 때문에 모두 홀수일 수는 없다.따라서 적어도 한 개의 숫자는 짝수여야 하고 한 개 이상의 숫자는 홀수여야 한다.짝수와 홀수의 합이 그 자체로 홀수이기 때문에 세 번째 숫자도 홀수라는 것이다.

프라임 인자화

산술의 기본 정리는 어떤 자연수라도 프라임 숫자의 산물로서 단 한 가지 방법(특이하게)으로 쓸 수 있다고 명시하고 있다.예를 들어 42는 소수 2×3×7의 산물이며, 7×3×2와 같은 사소한 재분배 외에 그 어떤 소수도 42와 같지 않다.이 독특한 요소화 속성은 많은 수의 이론이 성립되는 기초가 된다.

이th 고유한 요인화 속성의 한 가지 결과는 숫자의 p 검정력이 다음과 같은 제품과 같을 경우 다음과 같다.

xp = uv

그리고 u와 v가 coprime(주요 인자를 공유하지 않음)이라면 u와 v는 그 자체로 u = r과p v = s라는 두p 다른 숫자의 p 검정력이다th.

그러나 아래에 기술한 바와 같이, 일부 숫자 시스템은 고유한 요소화를 가지고 있지 않다.이 사실은 라메가 1847년 페르마의 마지막 정리라는 일반증거의 실패로 이어졌다.

두 가지 경우

주요 기사:소피 저메인의 정리

소피 제르맹 시대부터 페르마의 마지막 정리(Last Organe)는 별도로 증명된 두 가지 사례로 분리되었다.첫 번째 사례(사례 I)는 p가 제품 xyz를 나누지 않는 조건에서 xp + y = zpp 등식에 대한 원시 해법(x, y, z)이 없음을 보여주는 것이다.두 번째 사례(사례 II)는 p가 제품을 xyz로 나눈다는 조건에 해당한다.x, y, z는 쌍으로 이루어진 조합이므로 p는 세 개의 숫자 중 하나만 나눈다.

n = 4

피에르 드 페르마의 초상화.

페르마의 수학적 증명 하나만 살아남았는데, 페르마트는 정수 면이 있는 직각 삼각형의 영역이 결코 정수의 제곱과 같을 수 없다는 것을 보여주기 위해 무한 강하 기법을 사용한다.[1]이 결과는 페르마의 직삼각형 정리라고 알려져 있다.아래 보이는 바와 같이 그의 증거는 방정식을 증명하는 것과 같다.

x4 − y4 = z2

정수에 원시 해법이 없다(쌍방향 복사 해법 없음).결과적으로4, a + b4 = c 등식은44 c - b4 = (a2)로 쓸 수 있기 때문에, 사례 n = 4에 대해 페르마의 마지막 정리를 증명하기에 충분하다.2사건의 대안 제시한 nx4later[2]Frénicle 드 Bessy,[3]Euler,[4]Kausler,[5]Barlow,[6]Legendre,[7]Schopis,[8]Terquem,[9]Bertrand,[10]Lebesgue,[11]Pepin,[12]Tafelmacher,[13]Hilbert,[14]Bendz,[15]Gambioli,[16]Kronecker,[17]Bang,[18]Sommer,[19]Bottari,[20]Rychlik,[21]Nutzhorn,[22]Carmichael,[23]핸콕에 의해 개발되었다.Vrǎnceanu,[25]그랜트나 Perella,[26]Barbara,[27]고 돌란 ,[24].[28]무한 강하에 의한 한 가지 증명에 대해서는 무한2 강하# r4 + s = t의4 비솔리티를 참조한다.

오른쪽 삼각형에 응용 프로그램

페르마의 증거는 정수 면이 있는 직각 삼각형은 사각형인 영역을 가질 수 없다는 것을 보여준다.[29]오른쪽 삼각형에 면(u, v, w)을 두도록 하고, 면적이 동일한 곳에 두십시오.uv/2 및 피타고라스 정리에 의해 u2 + v2 = w2. 면적이 정수 s의 제곱과 같을 경우

uv/2 = s2

부여

2uv = 4s2
−2uv = −4s2.

이러한 방정식에 u2 + v2 = w를2 추가하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

u2 + 2uv + v2 = w2 + 4s2
u2 − 2uv + v2 = w2 − 4s2,

라고 표현할 수 있는.

(u + v)2 = w2 + 4s2
(u − v)2 = w2 − 4s2.

이 방정식을 곱하면 수율이 계산된다.

(u2 − v2)2 = w4 − 24s4.

그러나 페르마트가 증명했듯이 방정식에 정수 해법은 있을 수 없다.

x4 − y4 = z2

이 중 z = (u2 - v2), x = w 및 y = 2s의 특별한 경우.

페르마의 증거의 첫 번째 단계는 왼쪽 측면을[30] 고려하는 것이다.

(x2 + y2)(x2 − y2) = z2

x와 y는 동일하므로(그렇지 않으면 인자가 취소될 수 있으므로 가정할 수 있음), x22 + y와2 x - y의2 최대 공통 구분자는 2(사례 A) 또는 1(사례 B)이다.그 정리는 이 두 경우에 대해 별도로 증명된다.

사례 A에 대한 증거

이 경우 x와 y는 모두 홀수이고 z는 짝수다.(y2, z, x2)가 원시 피타고라스 3중주를 형성하기 때문에, 그들은 쓸 수 있다.

z = 2de
y2 = d2 − e2
x2 = d2 + e2

여기서 d와 e는 coprime이고 d > e > 0이다.그러므로,

x2y2 = d4 − e4

더 작은 또 다른 용액(d, e, xy)을 생산한다(0 < d < x).이전과 마찬가지로 해결책의 크기에 있어 하한선이 있어야 하는 반면, 이 주장은 항상 주어진 어떤 것보다 작은 해결책을 만들어내므로 원래의 해결책은 불가능하다.

사례 B에 대한 증거

이 경우 두 가지 요인은 복음화다.그들의 제품은 정사각형 z이므로2 각각 정사각형이어야 한다.

x2 + y2 = s2
x2 − y2 = t2

s2 + t2 = 2 x2, 짝수, x와 y는 둘 다 짝수일 수 없기 때문에 s와 t는 모두 홀수다.따라서 s와 t의 합과 차이는 마찬가지로 짝수이므로 u와 v를 u로 정의한다.

u = (s + t)/2
v = (s − t)/2

s와 t는 합성이기 때문에 u와 v도 같다; 둘 중 하나만 짝수일 수 있다.y2=2uv이기 때문에 정확히 그 중 하나가 짝수다.예를 들어, 짝수인 경우, u=2m와2 v=k로2 표기할 수 있다.(u, v, x)가 원시 피타고라스 3중주를 형성한 이래

(s2 + t2)/2 = u22 + v2 = x

그것들은 유클리드 공식으로 더 작은 정수 d와 e로 표현될 수 있다.

u = 2de
v = d2 − e2
x = d2 + e2

u = 2m2 = 2de, d와 e는 coprime이기 때문에 d = g2, e = h2 등 제곱 자체여야 한다.이렇게 하면 방정식이 나온다.

v = d2 − e2 = g4 − h4 = k2

용액(g, h, k)은 원래의 방정식에 대한 또 다른 용액이지만 더 작다(0 < g < d < x).(g, h, k)에 동일한 절차를 적용하면 여전히 더 작은 다른 용액이 생성될 것이다.그러나 자연수는 무한정 줄어들 수 없기 때문에 이것은 불가능하다.따라서 원래의 해법(x, y, z)은 불가능했다.

n = 3

야콥 에마누엘 핸드만의 레온하르트 오일러.

페르마트는 1636년, 1640년, 1657년에 n = 3을 언급한 편지를 보냈다.[31]오일러는 1753년 8월 4일 골드바흐에게 n = 3인 사건의 증거를 주는 편지를 보냈다.[32]오일러는 1760년에 완전하고 순수한 초등적인 증거를 가지고 있었다.[33]사례 n = 3은 1770년 오일러에 의해 증명되었다.[34][35][36][37]카우슬러,[5] 레전드르,[7][39] 칼졸라리,[40] 라메,[41] 태트,[42] 귄터,[43] 감비올리,[16] 크리,[44] 라이릭,[21] 스톡하우스,[45] 카마이클,[46] 반 데르 코르푸트,[47] 투,[48] 두아르테 등 [38]여러 다른 수학자들에 의해 독립적인 증거가 발표되었다.[49]

n = 3의 증명에 대한 연대순 표
날짜를 잡다 결과/실증 출판된/출판되지 않은 일을 하다 이름을 붙이다
1621 없는 출판된 디오판투스 산술의 라틴어 버전 바첼트
1630년경 유일한 결과 미발표의 산술의 한계주. 페르마
1636, 1640, 1657 유일한 결과 출판된 n = 3의 문자 페르마[31]
1670 유일한 결과 출판된 산술의 한계주. 페르마의 아들 사무엘은 페르마의 쪽지와 함께 산술집을 출판했다.
1753년 8월 4일 유일한 결과 출판된 골드바흐에게 보내는 편지 오일러[32]
1760 증빙의 미발표의 완전하고 순수한 요소적 증거. 오일러[33]
1770 증빙의 출판된 대수학 원소에서의 불완전하지만 우아한 증거. 오일러[32][34][37]

페르마트가 사례 n = 4에 대해 그랬던 것처럼 오일러는 무한 강하 기법을 사용했다.[50]증명에서는 x3 + y3 + z3 = 0이 아닌 정수 x, y, z = 0에 대한 해법(x, y, z)을 가정한다. 여기서 세 개의 0이 아닌 정수 x, y, z는 쌍으로 조합된 것이며 모두 양성이 아니다.셋 중 하나는 짝수여야 하는 반면, 다른 둘은 홀수여야 한다.일반성의 상실 없이 z는 짝수라고 가정할 수 있다.

x와 y는 둘 다 이상하므로 동등할 수 없다.x = y이면 2x3 = -z3, 즉 x가 짝수임을 의미하면 모순이다.

x와 y는 둘 다 홀수이기 때문에 합과 차이는 짝수다.

2u = x + y
2v = x − y

여기서 0이 아닌 정수 u와 v는 동시적이고 패리티가 서로 다르다(하나는 짝수, 다른 하나는 홀수).x = u + v 및 y = u - v이므로 다음과 같다.

−z3 = (u + v)3 + (u − v)3 = 2u(u2 + 3v2)

u와 v는 정반대의 패리티를 가지기 때문에 u2 + 3v는2 항상 홀수다.그러므로 z는 짝수이기 때문에 u는 짝수이고 v는 홀수다.u와 v는 coprime이기 때문에 2u와 u2 + 3v의2 가장 큰 공통점은 1(사례 A) 또는 3(사례 B)이다.

사례 A에 대한 증거

이 경우 -z의3 두 가지 요인은 복음이다.이것은 세 개의 인자가 u를 나누지 않고 두 개의 인자가 r과 s라는 두 개의 작은 숫자로 이루어진 정사각형이라는 것을 암시한다.

2u = r3
u2 + 3v2 = s3

u2+3v는2 이상하므로 s도 이상하다.결정적인 보조정리법은 s가 홀수이고 방정식 s3 = u2 + 3v를2 만족하면 e와 f의 두 정수로 쓸 수 있다는 것을 보여준다.

s = e2 + 3f2

하도록

u = e(e2 - 9f2)
v = 3f(e2 - f2)

u와 v는 coprime이기 때문에 e와 f도 coprime임에 틀림없다.너는 짝수고 v 이상하기 때문에 e는 짝수고 f는 홀수다.이후

r3 = 2u = 2e(e - 3f)(e + 3f)

2e, (e–3f ) 및 (e+3f ) 인자는 e를 나눌 수 없으므로 coprime이다: e를 3으로 나누면 3이 u를 나누어서 u와 v를 coprime으로 지정하지 않는다.오른쪽에 있는 세 가지 요인은 서로 합치되기 때문에 각각 작은 정수의 정육면체들과 같아야 한다.

−2e = k3
e − 3f = l3
e + 3f = m3

더 작은 용액 k3 + l + m33= 0을 산출한다.따라서 무한하강론에 의해 원래의 해법(x, y, z)은 불가능했다.

사례 B에 대한 증거

이 경우 2u와 u2 + 3v의2 최대 공통점수는 3이다.즉, 3은 u를 나누고, 1은 u = 3w를 더 작은 정수로 표현한다는 것을 의미한다. w. u는 4로 나누어져 있기 때문에 w; 따라서 w도 짝수다.너와 v는 합심하기 때문에, v와 w도 합심한다.그러므로 3과 4는 v를 나누지 않는다.

방정식에서 u를 w로 대체하여3 z 수율을 구함

−z3 = 6w(9w2 + 3v2) = 18w(3w2 + v2)

v와 w는 coprime이고, 3은 v를 나누지 않기 때문에 18w와 3w2 + v도2 coprime이기 때문이다.따라서 그들의 제품은 큐브이기 때문에 각각 더 작은 정수인 r과 s의 큐브다.

18w = r3
3w2 + v2 = s3

위의 보조정리법에 의해 s는 홀수이고 그것의 큐브는 3w2 + v2 형식의 숫자와 같기 때문에, 그것은 또한 더 작은 coprime 수인 e와 f로 표현될 수 있다.

s = e2 + 3f2

계산이 짧으면 을 알 수 있다.

v = e(e2 - 9f2)
w = 3f(e2 - f2)

그러므로 e는 홀수이고 f는 짝수인데, v는 홀수이기 때문이다.18w의 표현은 그 다음이 된다.

r3 = 18w = 54f (e2 - f2) = 54f (e + f) (e3 - f) = 3×2f (e + f) (e - f)

33 나누기 r은3 3 나누기 r을 가지기 때문에, (r /3)은 32f (e + f) (e - f)와 같은 정수다.e와 f는 coprime이기 때문에 2f, e+f, e-f 3요인도 마찬가지여서 각각 더 작은 정수, k, l, m의 큐브다.

−2f = k3
e + f = l3
e − f = m3

더 작은 용액 k3 + l + m33= 0을 산출한다.따라서 무한하강론에 의해 원래의 해법(x, y, z)은 불가능했다.

n = 5

피터 구스타프 르주네 디리클레의 초상화.
Adrien-Marie Legendre(그의 유일한 생존 초상화)의 캐리커처.

페르마의 n = 5에 대한 마지막 정리에서는 세 개의 coprime 정수 x, y, z가 방정식을 만족시킬 수 없다는 것을 명시한다.

x5 + y5 + z5 = 0

이것은 1825년경 디리클레와 레전드르에 의해 독립적이거나 협력적이지 않은[51] 것으로 증명되었다.[32][52]대안적인 증거는 가우스,[54] 르베그,[55] 라메,[56] 감비올리,[16][57] 와브루소,[58] 라이클리크,[59] 판데르 코르푸트,[47] 테르자니안이 개발했다[53].[60]

디리클레트의 n = 5에 대한 증명은 소피 저메인이 정의한 두 가지 사례(사례 I과 II)로 나뉜다.I의 경우, 지수 5는 xyz로 곱을 나누지 않는다.2번 케이스에서 5는 xyz를 나눈다.

  1. case I for n = 5 는 sophie Germain의 정리(1823)에 의해 보조 prime θ = 11이면 즉시 증명할 수 있다.
  2. 사례 II는 1825년 디리클레에 의해 두 가지 사례(사례 II(i)와 사례 II(ii)로 나뉜다.사례 II(i)는 x, y, z 중 하나를 5와 2로 나눈 경우다.사례 II(ii)는 x, y, z 중 하나를 5로 나누고 x, y, z 중 하나를 2로 나누는 경우다.1825년 7월, 디리클레트는 n = 5에 대한 사례 II(i)를 증명했다.1825년 9월, 레전드레는 n = 5에 대한 사건 II(ii)를 증명했다. 레전드레의 증명 후에 디리클레트는 사건 II(i)에 대한 확장된 논거에 의해 n = 5에 대한 사건 II(ii)에 대한 증거를 완성했다.[32]
n = 5의 증명에 대한 연대표
날짜를 잡다 사례 I/II 사례 II(i/ii) 이름을 붙이다
1823 사례 1 소피 제르맹
1825년 7월 사례 II 사례 II(i) 디리클레
1825년 9월 사례 II(ii) 레전드르
1825년 9월 이후 디리클레

사례 A에 대한 증거

case A for n = 5 는 sophie Germain의 정리를 통해 보조 prime θ = 11일 경우 즉시 증명할 수 있다.좀 더 체계적인 증거는 다음과 같다.페르마의 작은 정리로는

x5 ≡ x (mod 5)
y5 ≡ y (mod 5)
z5 ≡ z(모드 5)

따라서

x + y + z ≡ 0(모드 5)

이 방정식은 세 개의 숫자 x, y, z 중 두 개를 등가 모듈로 5로 강제하는데, 이를 다음과 같이 볼 수 있다.그것들은 5로 분리될 수 없기 때문에, x, y, z는 0 modulo 5와 같을 수 없으며, 반드시 ±1 또는 ±2의 네 가지 가능성 중 하나와 같아야 한다.만약 그들이 모두 다르다면, 두 개는 반대일 것이고, 그들의 합 모듈로 5는 0이 될 것이다(다른 한 개는 0 모듈로 5일 것이라는 이 경우의 가정과는 반대로).

일반성의 상실 없이 x와 y는 2개의 등가 숫자 modulo 5로 지정할 수 있다.그 등가성은 다음을 암시한다.

x5 ≡ y5 (mod 25)(모듈로 변경 참고)
−z5 ≡ x5 + y5 ≡ 2 x5 (mod 25)

그러나 x ≡ y (mod 5) 방정식은 또한 다음을 함축한다.

−z ≡ x + y ≡ 2 x (mod 5)
−z5 ≡ 25 x5 ≡ 32 x5 (mod 25)

두 결과를 합쳐서 양쪽을 x로5 나누면 모순이 생긴다.

2 ≡ 32 (모드 25)

따라서 n = 5에 대한 사례 A가 입증되었다.

사례 B에 대한 증거

n = 7

사건 n = 7은 가브리엘 라메에 의해 1839년에 증명되었다[61].[62]그의 다소 복잡한 증거는 1840년 빅토르 아메데 르베그에 의해 단순화되었고,[63] 여전히 단순한 증명서는[64] 1864년, 1874년, 1876년에 안젤로 크러프치에 의해 출판되었다.[65]대안적인 증거는 테오필레 페핀과[66] 에드몽 메일렛에 의해 개발되었다.[67]

n = 6, 10 및 14

페르마의 마지막 정리는 또한 지수 n = 6, 10, 14에 대해 증명되었다.n = 6에 대한 교정쇄는 Kausler,[5] Thue,[68] Tafelmacher,[69] Lind,[70] Capferer,[71] Swift,[72] Breusch에 의해 출판되었다.[73]마찬가지로 디리클레트와[74] 테르자니안은[75] 각각 사례 n = 14를 증명했고, 갑페러와[71] 브레쉬는[73] 각각 사례 n = 10을 증명했다.엄밀히 말하면, 이러한 경우는 각각 n = 3, 5, 7에 대한 교정에서 따르기 때문에, 이러한 증명들은 불필요하다.그럼에도 불구하고, 이러한 고른 증거들의 추리는 이상고만한 증거들과 다르다.dirichlet의 n = 14에 대한 증명은 1832년에 발표되었는데, 그 전에 lamé가 n = 7에 대한 1839년 증명이 발표되었다.

메모들

  1. ^ Freeman L. "Fermat's One Proof". Retrieved 2009-05-23.
  2. ^ 리벤보임, 페이지 15-24.
  3. ^ Frenicle de Bessy, Detectureé des Triangles en Nombres, vol.나, 1676년 파리Mem에서 다시 인쇄됨. 아카드. 로이. 과학 5, 1666–1699 (1729)
  4. ^ 오페라 옴니아Euler L (1738). "Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes". Comm. Acad. Sci. Petrop. 10: 125–146., 세르. 나, "산수화", vol.나, 페이지 38-58, 라이프치히:터브너(1915년).
  5. ^ a b c Kausler CF (1802). "Nova demonstratio theorematis nec summam, nec differentiam duorum cuborum cubum esse posse". Novi Acta Acad. Petrop. 13: 245–253.
  6. ^ Barlow P (1811). An Elementary Investigation of Theory of Numbers. St. Paul's Church-Yard, London: J. Johnson. pp. 144–145.
  7. ^ a b Legendre AM (1830). Théorie des Nombres (Volume II) (3rd ed.). Paris: Firmin Didot Frères. A에 의해 1955년에 다시 인쇄되었다.블랜차드(파리).
  8. ^ Schopis (1825). Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik. Gummbinnen: Programm.
  9. ^ Terquem O (1846). "Théorèmes sur les puissances des nombres". Nouv. Ann. Math. 5: 70–87.
  10. ^ Bertrand J (1851). Traité Élémentaire d'Algèbre. Paris: Hachette. pp. 217–230, 395.
  11. ^ Lebesgue VA (1853). "Résolution des équations biquadratiques z2 = x4 ± 2my4, z2 = 2mx4 − y4, 2mz2 = x4 ± y4". J. Math. Pures Appl. 18: 73–86.
    Lebesgue VA (1859). Exercices d'Analyse Numérique. Paris: Leiber et Faraguet. pp. 83–84, 89.
    Lebesgue VA (1862). Introduction à la Théorie des Nombres. Paris: Mallet-Bachelier. pp. 71–73.
  12. ^ Pepin T (1883). "Étude sur l'équation indéterminée ax4 + by4 = cz2". Atti Accad. Naz. Lincei. 36: 34–70.
  13. ^ Tafelmacher WLA (1893). "Sobre la ecuación x4 + y4 = z4". Ann. Univ. Chile. 84: 307–320.
  14. ^ Hilbert D (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 4: 175–546. 1965년 게사멜테 압한들룬겐에서 재판 인쇄. 나는 뉴욕으로 간다.첼시.
  15. ^ Bendz TR (1901). Öfver diophantiska ekvationen xn + yn = zn. Uppsala: Almqvist & Wiksells Boktrycken.
  16. ^ a b c Gambioli D (1901). "Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat". Period. Mat. 16: 145–192.
  17. ^ Kronecker L (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. I. Leipzig: Teubner. pp. 35–38. 뉴욕에 의해 다시 인쇄됨:1978년 스프링거-베를라크.
  18. ^ Bang A (1905). "Nyt Bevis for at Ligningen x4 − y4 = z4, ikke kan have rationale Løsinger". Nyt Tidsskrift Mat. 16B: 35–36.
  19. ^ Sommer J (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie. Leipzig: Teubner.
  20. ^ Bottari A. "Soluzione intere dell'equazione pitagorica e applicazione alla dimostrazione di alcune teoremi dellla teoria dei numeri". Period. Mat. 23: 104–110.
  21. ^ a b Rychlik K (1910). "On Fermat's last theorem for n = 4 and n = 3 (in Bohemian)". Časopis Pěst. Mat. 39: 65–86.
  22. ^ Nutzhorn F (1912). "Den ubestemte Ligning x4 + y4 = z4". Nyt Tidsskrift Mat. 23B: 33–38.
  23. ^ Carmichael RD (1913). "On the impossibility of certain Diophantine equations and systems of equations". Amer. Math. Monthly. 20 (7): 213–221. doi:10.2307/2974106. JSTOR 2974106.
  24. ^ Hancock H (1931). Foundations of the Theory of Algebraic Numbers, vol. I. New York: Macmillan.
  25. ^ Vrǎnceanu G (1966). "Asupra teorema lui Fermat pentru n=4". Gaz. Mat. Ser. A. 71: 334–335. 1977년 4권 202-205 부쿠레슈티:편집.아카드. Soc. Romana 의원.
  26. ^ 그랜트, 마이크, 페렐라, 말콤, "비이성적인 자에게 전함", 수학 가제트 83, 1999년 7월, 페이지 263-267.
  27. ^ 바바라, 로이, "페르마트의 사건에서의 마지막 정리 n=4", 2007년 7월, 수학 가제트 91, 260-262.
  28. ^ Dolan, Stan, "Fermat's downe infinie" , Mathematical Gazette 95, 2011년 7월, 269-271.
  29. ^ 페르마트 P. "Ad Purmata XX commentarii in 최후통첩 질문 Mathalorum Diopanti.면적 삼각형(숫자: non potest esse quadratus)", Oeuvres, vol.I, 페이지 340 (라틴어), vol.III, 페이지 271–272(프랑스어).파리:1891년, 1896년 가시에 빌라르.
  30. ^ 리벤보임, 페이지 11-14.
  31. ^ a b 딕슨(2005년, 페이지 546년)
  32. ^ a b c d e 오코너&로버슨(1996)
  33. ^ a b 베르그만 (1966년)
  34. ^ a b 오일러 L (1770) 볼슈타디게 안레이퉁 주르 대수, 로이.아카데미상트페테르부르크의 과학상
  35. ^ Freeman L. "Fermat's Last Theorem: Proof for n = 3". Retrieved 2009-05-23.
  36. ^ J. J. Mačys (2007). "On Euler's hypothetical proof". Mathematical Notes. 82 (3–4): 352–356. doi:10.1134/S0001434607090088. MR 2364600.
  37. ^ a b 오일러(1822, 페이지 399, 401–402)
  38. ^ 리벤보임, 페이지 33, 37–41.
  39. ^ Legendre AM (1823). "Recherches sur quelques objets d'analyse indéterminée, et particulièrement sur le théorème de Fermat". Mém. Acad. Roy. Sci. Institut France. 6: 1–60. 1825년 에사이 수르 라 테오리 데 눔브레스, 쿠르시어(파리) 제2판 인쇄를 위해 "제2의 서플레먼트"로 재인쇄되었다.1909년 스핑크스-오에디페에서도 다시 인쇄되었는데, 4, 97–128이었다.
  40. ^ Calzolari L (1855). Tentativo per dimostrare il teorema di Fermat sull'equazione indeterminata xn + yn = zn. Ferrara.
  41. ^ Lamé G (1865). "Étude des binômes cubiques x3 ± y3". C. R. Acad. Sci. Paris. 61: 921–924, 961–965.
  42. ^ Tait PG (1872). "Mathematical Notes". Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 7: 144.
  43. ^ Günther S (1878). "Über die unbestimmte Gleichung x3 + y3 = z3". Sitzungsberichte Böhm. Ges. Wiss.: 112–120.
  44. ^ Krey H (1909). "Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes". Math. Naturwiss. Blätter. 6: 179–180.
  45. ^ Stockhaus H (1910). Beitrag zum Beweis des Fermatschen Satzes. Leipzig: Brandstetter.
  46. ^ Carmichael RD (1915). Diophantine Analysis. New York: Wiley.
  47. ^ a b van der Corput JG (1915). "Quelques formes quadratiques et quelques équations indéterminées". Nieuw Archief Wisk. 11: 45–75.
  48. ^ Thue A (1917). "Et bevis for at ligningen A3 + B3 = C3 er unmulig i hele tal fra nul forskjellige tal A, B og C". Arch. Mat. Naturv. 34 (15). 엄선된 수학 논문(1977), 오슬로:Universitetsforlaget, 페이지 555–559.
  49. ^ Duarte FJ (1944). "Sobre la ecuación x3 + y3 + z3 = 0". Ciencias Fis. Mat. Naturales (Caracas). 8: 971–979.
  50. ^ 리벤보임, 페이지 24-49.
  51. ^ Freeman L. "Fermat's Last Theorem: Proof for n = 5". Retrieved 2009-05-23.
  52. ^ 리벤보임, 페이지 49.
  53. ^ 리벤보임, 55-57쪽
  54. ^ Gauss CF (1875, posthumous). "Neue Theorie der Zerlegung der Cuben". Zur Theorie der complexen Zahlen, Werke, vol. II (2nd ed.). Königl. Ges. Wiss. Göttingen. pp. 387–391. {{cite book}}:날짜 값 확인: year=(도움말)
  55. ^ Lebesgue VA (1843). "Théorèmes nouveaux sur l'équation indéterminée x5 + y5 = az5". J. Math. Pures Appl. 8: 49–70.
  56. ^ Lamé G (1847). "Mémoire sur la résolution en nombres complexes de l'équation A5 + B5 + C5 = 0". J. Math. Pures Appl. 12: 137–171.
  57. ^ Gambioli D (1903/4). "Intorno all'ultimo teorema di Fermat". Il Pitagora. 10: 11–13, 41–42. {{cite journal}}:날짜 값 확인: year=(도움말)
  58. ^ Werebrusow AS (1905). "On the equation x5 + y5 = Az5 (in Russian)". Moskov. Math. Samml. 25: 466–473.
  59. ^ Rychlik K (1910). "On Fermat's last theorem for n = 5 (in Bohemian)". Časopis Pěst. Mat. 39: 185–195, 305–317.
  60. ^ Terjanian G (1987). "Sur une question de V. A. Lebesgue". Annales de l'Institut Fourier. 37 (3): 19–37. doi:10.5802/aif.1096.
  61. ^ 리벤보임, 57-63페이지.
  62. ^ Lamé G (1839). "Mémoire sur le dernier théorème de Fermat". C. R. Acad. Sci. Paris. 9: 45–46.
    Lamé G (1840). "Mémoire d'analyse indéterminée démontrant que l'équation x7 + y7 = z7 est impossible en nombres entiers". J. Math. Pures Appl. 5: 195–211.
  63. ^ Lebesgue VA (1840). "Démonstration de l'impossibilité de résoudre l'équation x7 + y7 + z7 = 0 en nombres entiers". J. Math. Pures Appl. 5: 276–279, 348–349.
  64. ^ Freeman L. "Fermat's Last Theorem: Proof for n = 7". Retrieved 2009-05-23.
  65. ^ Genocchi A (1864). "Intorno all'equazioni x7 + y7 + z7 = 0". Ann. Mat. Pura Appl. 6: 287–288.
    Genocchi A (1874). "Sur l'impossibilité de quelques égalités doubles". C. R. Acad. Sci. Paris. 78: 433–436.
    Genocchi A (1876). "Généralisation du théorème de Lamé sur l'impossibilité de l'équation x7 + y7 + z7 = 0". C. R. Acad. Sci. Paris. 82: 910–913.
  66. ^ Pepin T (1876). "Impossibilité de l'équation x7 + y7 + z7 = 0". C. R. Acad. Sci. Paris. 82: 676–679, 743–747.
  67. ^ Maillet E (1897). "Sur l'équation indéterminée axλt + byλt = czλt". Assoc. Française Avanc. Sci., St. Etienne. Série II. 26: 156–168.
  68. ^ Thue A (1896). "Über die Auflösbarkeit einiger unbestimmter Gleichungen". Det Kongel. Norske Videnskabers Selskabs Skrifter. 7. 엄선된 수학 논문, 19-30페이지, 오슬로:Universitetsforlaget(1977년).
  69. ^ Tafelmacher WLA (1897). "La ecuación x3 + y3 = z2: Una demonstración nueva del teorema de fermat para el caso de las sestas potencias". Ann. Univ. Chile, Santiago. 97: 63–80.
  70. ^ Lind B (1909). "Einige zahlentheoretische Sätze". Arch. Math. Phys. 15: 368–369.
  71. ^ a b Kapferer H (1913). "Beweis des Fermatschen Satzes für die Exponenten 6 und 10". Arch. Math. Phys. 21: 143–146.
  72. ^ Swift E (1914). "Solution to Problem 206". Amer. Math. Monthly. 21: 238–239. doi:10.2307/2972379.
  73. ^ a b Breusch R (1960). "A simple proof of Fermat's last theorem for n = 6, n = 10". Math. Mag. 33 (5): 279–281. doi:10.2307/3029800. JSTOR 3029800.
  74. ^ Dirichlet PGL (1832). "Démonstration du théorème de Fermat pour le cas des 14e puissances". J. Reine Angew. Math. 9: 390–393. 베르케에서 다시 인쇄됨, vol.나, 페이지 189–194, 베를린:G.리머 (1889); 뉴욕 재인쇄신:첼시(1969년).
  75. ^ Terjanian G (1974). "L'équation x14 + y14 = z14 en nombres entiers". Bull. Sci. Math. Série 2. 98: 91–95.

참조

추가 읽기

외부 링크