오일러 시스템

수학에서 오일러 시스템은 분야별로 색인화된 갈루아 코호몰로지 그룹의 호환 가능한 요소들의 집합이다.콜리바긴(1990)이 모듈형 타원곡선의 희그너 포인트에 관한 연구로 소개한 것으로, 초기 논문 콜리바긴(1988)과 테인(1988)의 작품에서 동기부여가 되었다.오일러 시스템은 오일러 시스템의 다른 요소들과 관련된 요소들이 오일러 제품의 오일러 요소들과 유사하기 때문에 레온하드 오일러의 이름을 따서 명명된다.

오일러 시스템은 이상적인 계급 집단이나 셀머 집단의 섬멸자를 구성하기 위해 사용될 수 있으며, 따라서 그들의 명령에 한계를 부여할 수 있으며, 이는 결국 일부 테이트 샤파레비치 집단의 순결성과 같은 깊은 이론으로 이어졌다.이로써 이와사와 이론의 주요 추측에 대한 카를 루빈의 새로운 증거로 이어졌는데, 배리 마주르와 앤드류 와일즈 때문에 원론적인 증거보다 더 단순하게 여겨졌다.

정의

특수한 종류의 오일러 시스템에 대한 정의는 여러 가지가 있지만, 알려진 모든 경우를 포괄하는 오일러 시스템에 대한 정의는 공표되지 않은 것 같다.그러나 오일러 체계가 무엇인지를 대략 다음과 같이 말할 수 있다.

• 오일러 시스템은 요소 c의_F 집합에 의해 주어진다.이러한 요소들은 종종 일부 고정 숫자 필드 K를 포함하는 특정 숫자 필드 F 또는 정사각형이 없는 정수와 같은 밀접하게 관련된 어떤 것에 의해 색인화된다.원소 c는_F 일반적으로¹ H(F, T)와 같은 일부 갈루아 코호몰로지 그룹의 요소인데, 여기서 T는 K의 절대 갈루아 그룹을 p-adic적으로 나타낸다.
• 가장 중요한 조건은 두 개의 다른 필드 F ⊆ G에 대한 요소 c와_F c가_G 다음과 같은 간단한 공식에 의해 연관되어 있다는 것이다.

${\displaystyle {\rm {cor}}_{G/F}(c_{G})=\prod _{q\in \Sigma (G/F)}P(\mathrm {Fr} _{q}^{-1} {\rm {Hom}}_{O}(T,O(1));\mathrm {Fr} _{q}^{-1})c_{F}}$

여기서 "Euler factor" P(( B;x)는 O[x]의 요소로 간주되는 요소 det(1-145x B)로 정의되며, 이 경우 b에 작용하는 x는 O의 요소로 간주되는 det(1-145x B)와 같지 않다.

• c가_F 충족해야 하는 다른 조건(예: 응결 조건)이 있을 수 있다.

가토 가쓰야 가쓰야는 오일러 계통의 원소를 '제타의 산술적 도화'라고 하며 오일러 계통의 성질을 '이들 도화가 오일러 제품의 특별한 가치와 연관되어 있다는 사실을 산술적으로 반영한 것'^[1]이라고 설명한다.

예

사이클로토믹 단위

모든 제곱이 없는 양의 정수 n에 대해, m,n_n coprime에 대해 ζ_mn = ζζ을 가진 n번째 루트 =을_mn 선택한다.그 다음 사이클로토믹 오일러 시스템은 숫자 α_n = 1 - numbers의_n 집합이다.이것들이 관계를 만족시킨다.

${\displaystyle N_{Q(\zeta _{nl})/Q(\zeta _{l}}(\alpha _{nl}=\alpha _{n}^{n}-1}{n1}-1}.$

${\displaystyle {\alpha n}_{}}$ ${\displaystyle l_{}{\alpha n}_{}}$ ${\$\ \$_{n}$ modulo$$ 모두 l 위의 primes.

여기서 l은 n을 나누지 않는 프라임이고 F는_l F_l(ζ_n) = ζ을^l
_n 가진 프로베니우스 오토모프리즘이다. 콜리바긴은 이 오일러 시스템을 사용하여 그라스의 추측을 기초적으로 증명했다.

가우스 합계

타원 단위

히그너 포인트

콜리바긴은 타원형 곡선의 희그너 포인트로부터 오일러 시스템을 구축했고, 이것을 이용하여 경우에 따라서는 테이트-샤파레비치 집단이 유한하다는 것을 보여주었다.

카토의 오일러 제도

카토의 오일러 시스템은 모듈형 곡선의 대수학 K이론에서 발생하는 특정 원소로 구성된다.이러한 원소들 - 베일린슨(1984)에서 자신을 소개한 알렉산더 빌린슨의 이름을 딴 베일린슨 원소들 - 우리는 카토(2004)에서 가토 가즈야에 의해 타원곡선에 대한 이와사와 이론에 대한 배리 마주르의 주된 추측에서 하나의 불분명한 점을 증명하기 위해 사용된다.^[2]

메모들

참조

• Banaszak, Grzegorz (2001) [1994], "Euler systems for number fields", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Beilinson, Alexander (1984), "Higher regulators and values of L-functions", in R. V. Gamkrelidze (ed.), Current problems in mathematics (in Russian), vol. 24, pp. 181–238, MR 0760999
• Coates, J.H.; Greenberg, R.; Ribet, K.A.; Rubin, K. (1999), Arithmetic Theory of Elliptic Curves, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1716, Springer-Verlag, ISBN 3-540-66546-3
• Coates, J.; Sujatha, R. (2006), "Euler systems", Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, pp. 71–87, ISBN 3-540-33068-2
• Kato, Kazuya (2004), "p-adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms", in Pierre Berthelot; Jean-Marc Fontaine; Luc Illusie; Kazuya Kato; Michael Rapoport (eds.), Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques. III., Astérisque, vol. 295, Paris: Société Mathématique de France, pp. 117–290, MR 2104361
• Kato, Kazuya (2007), "Iwasawa theory and generalizations", in Marta Sanz-Solé; Javier Soria; Juan Luis Varona; et al. (eds.), International Congress of Mathematicians (PDF), vol. I, Zürich: European Mathematical Society, pp. 335–357, MR 2334196, retrieved 2010-08-12. 2006년 8월 22~30일 마드리드에서 열린 의회 의사록
• Kolyvagin, V. A. (1988), "The Mordell-Weil and Shafarevich-Tate groups for Weil elliptic curves", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 52 (6): 1154–1180, ISSN 0373-2436, MR 0984214
• Kolyvagin, V. A. (1990), "Euler systems", The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math., vol. 87, Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 435–483, doi:10.1007/978-0-8176-4575-5_11, ISBN 978-0-8176-3428-5, MR 1106906
• Mazur, Barry; Rubin, Karl (2004), "Kolyvagin systems", Memoirs of the American Mathematical Society, 168 (799): viii+96, doi:10.1090/memo/0799, ISBN 978-0-8218-3512-8, ISSN 0065-9266, MR 2031496
• Rubin, Karl (2000), Euler systems, Annals of Mathematics Studies, vol. 147, Princeton University Press, MR 1749177
• Scholl, A. J. (1998), "An introduction to Kato's Euler systems", Galois representations in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996), London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 254, Cambridge University Press, pp. 379–460, ISBN 978-0-521-64419-8, MR 1696501
• Thaine, Francisco (1988), "On the ideal class groups of real abelian number fields", Annals of Mathematics, Second Series, 128 (1): 1–18, doi:10.2307/1971460, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971460, MR 0951505

외부 링크

• 콜리바긴 시스템에 관한 여러 논문은 배리 마주르의 웹페이지(2005년 7월 기준)에서 구할 수 있다.