연속선연장

기능 분석에서 먼저 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 밀도 높은 부분 집합에서$$ $선형{\displaystyle \mathsf{}}$ 변환 T ${\$를 정의한 다음$$ T ${\$을(를) w로$$ 확장함으로써$$ 완전한 규범 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ { ${\displaysty$ X$}$에 선형 변환을 정의하는 것이 편리한 경우가 많다.아래 정리를 통해 공간을 확보한다.결과 확장은 선형 및 경계(연속)를 유지한다.

이 절차는 연속 선형 확장으로 알려져 있다.

정리

정규 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 완전한 정규 벡터 $공간{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle Y}$에 이르는$$ 모든 경계 선형 $변환{\displaystyle \stackrel{}{\mathsf{}}}$ T ${\$ {\$tilde {\mathsf {T}}$까지 고유하게 확장할 수 있다$$$$$.$$\displaystyle X}$ ~ $Y$. ${\displaystyle$ Y$.}$ 또한$$ $T{\displaystyle \stackrel{}{\mathsf{}}}$${\$의 표준이 c. ${\$$displaystyle {\tilde {\$mathsf {$T}$인 $경우$에만 $T{\displaystyle }$ {\$displaystystystyle c$$}$의 연산자 표준이 된다$.$

이 정리를 경계선 변환을 위해 B L T 정리라고 부르기도 한다.

적용

예를 들어, 리만 적분의 정의를 생각해 보자.mann integrated)의 정의를 생각해 보자.A step function on a closed interval ${\displaystyle [a,b]}$ is a function of the form: ${\displaystyle f\equiv r_{1}{\mathit {1}}_{[a,x_{1})}+r_{2}{\mathit {1}}_{[x_{1},x_{2})}+\cdots +r_{n}{\mathit {1}$}_{[x_{n-1},b]}}이 r1,…, rn{\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}진짜 숫자, a=)0<>x1개체, …<>)n− 1<>)nxb,{\displaystyle a=x_{0}<, x_{1}<, \ldots <, x_{n-1}<, x_{n}=b,}과 1S{\displaystyle{\mathit{1}}_{S}}은 의심의 인디케이터 기능을 나타낸다.있어 S.{\displaysty$le S.}$ The space of all step functions on ${\displaystyle [a,b],}$ normed by the ${\displaystyle L^{\infty }}$ norm (see Lp space), is a normed vector space which we denote by ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$ Define the integral of a step function by: ${\displaystyle \mathsf{I}(\sum _{i=1}^n{r}_i{\mathit{1}}_{[{}_{}}}$${\displaystyle {\mathsf$$}\\right)=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).$$}}$ $I$${\displaystyle \mathsf{}}${\$displaystyle${\$mathsf {I}$ $함수$는 S$${\$displaystyle${\$mathcal {S}}$에서 $.$ {\$displaystyle \mathb {R}.}($으)로의$$ 경계 선형 변환이다.

$Let{\displaystyle \mathcal{}}$ P ${\displaystyle \mathcal{C}}$ ${\$은(는) L ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$$${a$,b}$에서 오른쪽부터 ${\displaystyle \mathrm{연속}}$되는${\displaystyle }$경계가 있고 조각이 있는 연속함수의 공간을 나타낸다$$.The space ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ is dense in ${\displaystyle {\mathcal {PC}},}$ so we can apply the BLT theorem to extend the linear transformation ${\displaystyle {\mathsf {I}}}$ to a bounded linear transformation ${\displaystyle {\tilde {\mathsf {I}}}}$ from ${\disp$$laystyle {\mathcal {PC}}}$ to ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ This defines the Riemann integral of all functions in ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$; for every ${\displaystyle f\in {\mathcal {PC}},}$ ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx={\tilde {\maths$$f {I}}(f).$$}$

한-바나흐 정리

${\displaystyle 위}$의 정리를 사용하여 경계 선형 변환 $T{\displaystyle }$: S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:$$S\to Y}$ to a bounded linear transformation from ${\displaystyle {\bar {S}}=X}$ to ${\displaystyle Y,}$ if ${\displaystyle S}$ is dense in ${\displaystyle X.}$ If ${\displaystyle S}$ is not dense in ${\displaystyle X,}$ then the Hahn–Banach theorem may sometimes be used to show that연장이 있다그러나, 그 연장은 독특하지 않을 수도 있다.

참고 항목

• 연속 선형 연산자
• 한-바나흐 정리 – 경계 선형함수의 확장에 관한 정리
• 벡터 가치 한-바나흐 이론

참조

• Reed, Michael; Barry Simon (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.

각주