바샤라 2세

Bhāskara II
바샤라 2세
태어난c. 1114 CE
죽은c. 1185 CE
기타이름Bhāskarācārya
직업천문학자, 수학자
학업
시대샤카 시대
규율수학자, 천문학자, 기하학자
주요 관심사대수, 산술, 삼각법
주목할 만한 작품Siddhānta Shiromani (Līlāvatī, Bījagaṇita, Grahagaṇita and Golādhyāya), Karaṇa-Kautūhala
바스카라의 피타고라스 정리 증명.

바샤라 2세(, 1114년경 ~ 1185년)는 인도의 수학자, 천문학자, 발명가입니다. 그의 주요 작품인 싯단타 시로마니(Siddhānta Shiromani, सिद्धांतशिरोमणी)의 구절을 통해 그가 1114년 비자다비다(Vijjadavida)에서 태어나 오늘날의 마하라슈트라 칸데시 지역에 위치한 찰리스가온의 파타나 마을로 추정되는 서부 가츠의 삿푸다 산맥에서 살고 있음을 유추할 수 있습니다. 그는 기념비에 불멸의 존재가 된 유일한 고대 수학자입니다. 마하라슈트라에 있는 한 사원에는 그의 손자 창가데바가 만들었다고 추정되는 비문이 바스카라차리아의 조상 대대로부터 2대대로까지 기록되어 있습니다.[7][8] 1817년 바스카라차리아 2세의 수학 고전을 번역한 최초의 유럽인 콜브룩은 이 가족을 고다바리 강둑에 사는 마하라슈트리아 브라만이라고 말합니다.[9]

힌두 데사 브라만 가문의 학자, 수학자, 천문학자 출신인 바스카라 2세는 고대 인도의 주요 수학 중심지인 우자인에 있는 우주 관측소의 지도자였습니다.[10] 바샤라와 그의 작품들은 12세기에 수학과 천문학적 지식에 중요한 기여를 했습니다. 그는 중세 인도의 가장 위대한 수학자로 불렸습니다.[11] 그의 주요 작품 싯단타-ś리로마 ṇ(산스크리트어로 "교물의 왕관"을 의미함)는 ī라바트 ī, ī자가 ṇ타, 그라하가 ṇ타, 골라디야라고 불리는 네 부분으로 나뉘는데, 이것들은 때때로 네 개의 독립적인 작품으로도 여겨집니다. 이 네 섹션은 각각 산술, 대수학, 행성의 수학, 구를 다룹니다. 그는 또한 카라 ṇ라 카우투할라라는 이름의 또 다른 논문을 썼습니다.

날짜, 장소, 가족

바샤라는 그의 출생일과 주요 작품의 구성일을 아리아 미터의 한 구절로 제시하고 있습니다.[14]

Rasa-guṇa-pūrṇa-mahī-sama-śakanṛpa-samaye 바반 mam롯파티
Rasa-guṇa-varṣeṇa mayā siddhānta-śiromaṇī racitaḥ
[citation 필요]

이것은 그가 샤카 시대 1036년(서기 1114년)에 태어났고, 그가 36세 때 싯단타 시로마니를 작곡했다는 것을 보여줍니다.[14] 싯단타 시로마니는 서기 1150년에 완성되었습니다. 그는 또한 69세 때 (1183년) 카라 ṇ라-쿠투할라라는 또 다른 작품을 썼습니다. 그의 작품들은 브라마굽타, ś ī다라, 마하브 ī라, 파드마나바 그리고 다른 전임자들의 영향을 보여줍니다. 바스카라는 사하드리 근처의 파탄(찰리스가온) 근처에 위치한 파트나데비에 살았습니다.[15]

그는 비자다비다 근처의 데 ś라스타 리그베디 브라만 가문에서 태어났습니다. 바스카라의 시단타 시로마니(Siddhānta Shiromani)에 대한 해설가인 무니쉬바라(Munishbara, 17세기)는 그의 작품 īī카(Mar īci T īkā)에서 비자다비다의 위치에 대한 정보를 다음과 같이 밝혔습니다.

सह्यकुलपर्वतान्तर्गत भूप्रदेशे महाराष्ट्रदेशान्तर्गतविदर्भपरपर्यायविराटदेशादपि निकटे गोदावर्यां नातिदूरे

पंचक्रोशान्तरे विज्जलविडम्।

이 설명은 비다르바 지역 근처이자 고다바리 강둑 근처에 있는 마하라슈트라의 비잘라비다에 위치합니다. 그러나 정확한 위치에 대해서는 학자들마다 다릅니다. 많은 학자들이 파탄인(잘가온 지역의 찰리스가온 탈루카)[17] 근처에 위치한 반면 일부 학자들은 오늘날의 비드 도시와 동일시했습니다.[1] 일부 소식통은 비잘라비다를 카르나타카비자푸르비다르로 확인했습니다.[18] 텔랑가나에서 비잘라비다와 바사르의 동일시 또한 제안되었습니다.[19]

바샤라는 중세 인도의 수학 중심지인 우자인천문 관측소의 책임자였다고 합니다. 역사는 그의 증조부가 세습직을 가진 것을 기록하고 있으며, 그의 아들과 다른 후손들도 마찬가지입니다. 그의 아버지 마헤 ś바라는 수학자, 천문학자, 점성가였으며, 나중에 그의 아들 로카사무드라에게 수학을 전수했습니다. 로카사무드라의 아들은 1207년에 바샤라의 글을 연구하기 위해 학교를 세우는 것을 도왔습니다. 그는 서기 1185년에 사망했습니다.

The Siddhānta-Śiromaṇi

ī라바트

그의 딸의 이름을 딴 첫 부분 ī라바트 ī( ṭī가 ṇ타 또는 ṅ가 ṇ타라고도 함)는 277절로 구성되어 있습니다. 계산, 진행, 측정, 순열 및 기타 주제를 다룹니다.[14]

비자가니타

2절 B ī자가 ṇ타(대수)는 213절입니다. 0, 무한, 양수와 음수, 그리고 (지금은 불리는) 펠 방정식을 포함한 불확정 방정식에 대해 논의하고, ṭṭ카 방법을 사용하여 그것을 해결합니다. 특히, 그는 수세기 후 페르마와 그의 유럽 동시대 사람들을 따돌리기 위한 + = {\displaystyle 61x^{2}+1 = y^{2}} 사례도 해결했습니다.

그라하가니타

세 번째 섹션인 Grahaga ṇita에서 그는 행성의 움직임을 다루면서 그들의 순간 속도를 고려했습니다. 그는 대략 다음과 같이 도착했습니다.[20] 451절로 구성되어 있습니다.

' - ≈ (y' - y) ⁡ y {\displaystyle \sin y'-\siprox (y'-y)\cosy} for.
(는) 가깝거나 현대식 표기법으로 다음과 같습니다.[20]
⁡y {\displaystyle {\frac {d}{dy}}siny =\cosy}.

그의 말에서:[20]

bimbārdhasya koṭijyā guṇastrijyāhāraḥ phalaṃ dorjyāyorantaram[citation 필요]

이 결과는 이전에 마나삼(Muñjalācārya, 또는 Ma sjulācārya)에 의해서도 관찰되었는데, 이것은 정어리표의 맥락에서 관찰된 것입니다.

바샤라는 또한 가장 높은 지점에서 행성의 순간 속도는 0이라고 말했습니다.[20]

수학

바스카라의 수학에 대한 공헌은 다음과 같습니다.

  • 피타고라스 정리의 증명은 같은 면적을 두 가지 다른 방법으로 계산한 다음 을 제거하여 a + b = c를 얻는 것입니다.
  • 릴라바티에서는 2차, 3차, 4차 불확정 방정식의 해가 설명됩니다.[22]
  • ( + b = y형의) 불확정 이차 방정식의 해.
  • 1차 및 2차 불확정 방정식(Ku ṭṭaka)의 정수해. 그가 주는 규칙은 17세기 르네상스 시대 유럽 수학자들이 준 규칙과 같습니다.
  • ax + bx + c = y 형태의 불확정 방정식을 풀기 위한 순환 차크라발라 방법. 이 방정식에 대한 해결책은 전통적으로 1657년 윌리엄 브로운커에게 귀속되었지만, 그의 방법은 차크라발라 방법보다 더 어려웠습니다.
  • 바스카라 2세는 문제 x - ny = 1의 해를 구하는 첫 번째 일반적인 방법(이른바 "펠의 방정식")을 제시했습니다.
  • 61x + 1 = y와 같은 2차 디오판토스 방정식의 해. 바로 이 방정식이 1657년 프랑스 수학자 피에르페르마에 의해 문제로 제기되었지만 18세기 오일러 시대까지 유럽에서는 그 해결책이 알려지지 않았습니다.[22]
  • 미지수가 둘 이상인 2차 방정식을 풀었고, 음수무리수 해를 발견했습니다.[citation needed]
  • 수학적 분석의 예비 개념입니다.
  • 무한소 미적분학의 예비 개념과 적분학에 대한 주목할 만한 기여.[24]
  • 미분적분학미분계수의 예비적인 개념들
  • 분석에서 가장 중요한 정리 중 하나인 평균값 정리의 특별한 경우인 롤의 정리를 기술했습니다. 일반적인 평균값 정리의 흔적은 그의 작품에서도 발견됩니다.
  • 삼각함수와 공식의 도함수를 계산했습니다. (아래의 미적분 섹션을 참조하십시오.)
  • 싯단타-ś리로마 ṇ디에서 바스카라는 다른 많은 삼각법 결과와 함께 구면 삼각법을 개발했습니다. (아래 삼각법 섹션을 참조하십시오.)

산술

바스카라의 산술 텍스트 ī라바트 ī는 정의, 산술 용어, 이자 계산, 산술 및 기하학적 진행, 평면 기하학, 고체 기하학, 그노몬의 그림자, 불확정 방정식을 해결하는 방법 및 조합에 대한 주제를 다룹니다.

ī라바트 ī은 13개의 장으로 나뉘며 수학, 산술, 대수학, 기하학, 그리고 약간의 삼각법과 측정의 많은 분야를 다룹니다. 보다 구체적인 내용은 다음과 같습니다.

  • 정의들.
  • 0인 속성(분할 및 0인 작업 규칙 포함).
  • 음수서드의 사용을 포함한 더 광범위한 수치 작업.
  • π 추정.
  • 산술 용어, 곱셈 방법, 제곱.
  • 3의 역규칙과 3, 5, 7, 9, 11의 규칙.
  • 이자와 이자 계산을 포함하는 문제.
  • 불확정식(Ku ṭṭaka), 정수해(1차, 2차). 이 주제에 대한 그의 기여는 특히 중요합니다.[citation needed] 왜냐하면 그가 부여한 규칙은 17세기의 르네상스 유럽 수학자들이 부여한 규칙과 동일하지만 그의 작업은 12세기에 이루어졌기 때문입니다. 바스카라의 풀이 방법은 아리아바타와 그 이후의 수학자들의 연구에서 발견된 방법을 개선한 것이었습니다.

그의 작품은 체계화, 개선된 방법, 그리고 그가 소개한 새로운 주제들로 탁월합니다. 게다가, 릴라바티는 훌륭한 문제들을 내포하고 있었고, 바스카라의 의도는 '릴라바티'의 학생이 그 방법의 기계적인 적용에 관심을 가져야 한다는 것이었을지도 모른다고 생각됩니다.[citation needed]

대수학

의 ī자가니타 ("대수")는 12개의 장으로 이루어진 작품이었습니다. 양수가 두 제곱근(양의 제곱근과 음의 제곱근)을 갖는다는 것을 처음으로 인식한 텍스트였습니다.[25] 의 작품 ī자가니타는 대수학에 관한 논문으로 다음과 같은 주제를 포함하고 있습니다.

  • 양수와 음수.
  • 알 수 없는'(알 수 없는 양을 결정하는 것 포함).
  • 알 수 없는 수량을 확인하는 중입니다.
  • 서드(서드 및 그 제곱근 평가 포함).
  • Ku ṭṭaka (불확정 방정식과 디오판토스 방정식을 풀기 위해).
  • 단순 방정식(2차, 3차, 4차 차수 미정).
  • 미지수가 둘 이상인 단순 방정식.
  • (축 + b = y 유형의) 불확정 이차 방정식.
  • 2차, 3차, 4차의 불확정 방정식의 해.
  • 2차 방정식.
  • 미지수가 둘 이상인 이차 방정식.
  • 알 수 없는 몇 가지 제품을 사용한 작업.

Baskara는 ax + bx + c = y 형태의 불확정 이차 방정식을 풀기 위한 순환 차크라발라 방법을 도출했습니다. Nx + 1 = y 문제의 해를 구하는 바스카라의 방법(이른바 "펠의 방정식")은 상당히 중요합니다.

삼각법

싯단타 시로마니(Siddhānta Shiromani, 1150년 작)는 바스카라의 삼각법에 대한 지식을 보여줍니다. 여기에는 사인 함수와 다른 삼각 함수 사이의 관계를 포함합니다. 그는 또한 다른 흥미로운 삼각법 결과와 함께 구면 삼각법을 개발했습니다. 특히 바스카라는 삼각법을 계산의 도구로만 보았던 전임자들보다 그들 자신을 위해 삼각법에 더 관심이 있어 보였습니다. 바스카라가 제공한 많은 흥미로운 결과 중 그의 작품에서 발견된 결과에는 18도와 36도의 사인 계산, 잘 알려진 ⁡(a \ + bright)} 및 sin ⁡(a - b) {\displaystyle \left(a - b\right)} 공식이 포함됩니다.

미적분학.

그의 작품인 시로마니 싯단타는 천문학적인 논문이며, 이전의 작품에서는 발견되지 않은 많은 이론들을 포함하고 있습니다.[citation needed] 특히 삼각법, 미분적분학, 적분적분학 등의 여러 결과물과 함께 무한소 미적분학수학적 해석의 예비 개념들이 관심을 끌고 있습니다.

증거는 바스카라가 미분적분학의 몇 가지 아이디어를 알고 있었다는 것을 암시합니다.[25] 바스카라는 또한 '미분학'에 더 깊이 들어가 미분계수가 함수의 극한값에서 사라짐을 시사하며, 이는 '무한한 시멀스' 개념에 대한 지식을 나타냅니다.[26]

  • 그의 작품에는 롤의 정리의 초기 형태에 대한 증거가 있습니다. 롤의 정리의 현대 공식은 f = f () = 0 {\displaystyle f\left(a\right) = f\left(b\right) = 0}이면, < x < b {\displaystyle \ a< x < b}인 일부 x {\displaystyle x}에 대해 f'(x ) = 0 {\displaystyle f'\left(x\right) = 0}이라고 말합니다.
  • 이 천문학적 작업에서 그는 무한소 방법의 전조처럼 보이는 한 가지 절차를 제공했습니다., ≈ y x}이면 sin ⁡ (y) - sin ⁡ (x) ≈ (y - x) cos ⁡ (y) {\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx(y-x)\cos(y)} 이며, 이는 그가 도함수에 대한 개념을 발전시키지는 않았지만 사인의 도함수입니다.
    • 바스카라는 이 결과를 이용해 일식의 시간을 정확하게 예측하는 데 필요한 양인 황도의 위치 각도를 계산합니다.
  • 행성의 순간 운동을 계산할 때, 행성들의 연속적인 위치 사이의 시간 간격은 트루티, 또는 1초 3375, 그의 속도 측정은 이 무한한 시간 단위로 표현되었습니다.
  • 그는 변수가 최댓값에 도달하면 미분이 사라진다는 것을 알고 있었습니다.
  • 그는 또한 행성이 지구에서 가장 멀거나 가장 가까울 때 중심의 방정식(행성이 균일하게 이동한다고 가정함으로써 예측되는 위치로부터 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 측정하는 척도)이 사라진다는 것을 보여주었습니다. 따라서 그는 어떤 중간 위치에서 중심 방정식의 미분은 0과 같다고 결론지었습니다.[citation needed] 이 결과에는 분석에서 가장 중요한 정리 중 하나인 일반적인 평균값 정리의 흔적이 있는데, 오늘날 이는 일반적으로 롤의 정리에서 파생됩니다. 사인의 역보간을 위한 평균값 공식은 이후 15세기에 파라메쉬바라에 의해 바스카라의 릴라바티에 대한 논평인 릴라바티 바시야에서 발견되었습니다.

마드하바(Madhava, 1340–1425)와 케랄라 학파 수학자(Parameshbara 포함)는 14세기부터 16세기까지 바스카라의 연구를 확장하고 인도의 미적분학 발전을 더욱 발전시켰습니다.[citation needed]

천문학

Bhāskara는 7세기 Brahmagupta가 개발한 천문학적 모델을 사용하여 지구가 태양 궤도를 도는 데 필요한 시간인 측면 실년의 길이를 포함한 많은 천문학적 양을 수리야시드단타와 같은 약 365.2588일로 정확하게 정의했습니다.[28] 현재 허용되는 측정값은 365.25636일로 3.5분 차이가 납니다.[29]

그의 수학천문학 본문 싯단타 시로마니는 수학천문학에 관한 첫 부분과 구면에 관한 두 부분으로 나누어져 있습니다.

제1부의 12장은 다음과 같은 주제를 다루고 있습니다.

  • 행성들의 평균 경도.
  • 행성들의 진정한 경도.
  • 일주 회전의 세 가지 문제.일주 운동은 지구 주위, 더 정확하게는 두 개의 천체 극 주위의 항성들의 겉보기 일일 운동을 가리키는 천문학 용어입니다. 지구의 자전축에 의한 것이므로, 모든 별은 겉보기에는 일주성이라고 불리는 원을 따라 움직이는 것으로 보입니다.)
  • 시지즈.
  • 월식.
  • 일식.
  • 행성들의 위도.
  • 일출방정식
  • 초승달.
  • 행성들을 서로 연결하는 것입니다.
  • 고정된 별들과 행성들의 연결.
  • 해와 달의 길.

두 번째 부분은 구면에 대한 13개의 장으로 구성되어 있습니다. 다음과 같은 주제를 다룹니다.

공학 기술

영구 운동 기계에 대한 최초의 언급은 1150년으로 거슬러 올라가는데, 이때 바샤라 2세는 그가 영원히 달릴 것이라고 주장한 바퀴를 기술했습니다.[30]

바샤라 2세는 ṣṭ얀트라가 발명한 다양한 악기들을 발명했습니다. 이 장치는 단순한 스틱에서 보정된 눈금을 사용하여 각도를 결정하기 위해 특별히 설계된 V형 스탭까지 다양할 수 있습니다.[31]

전설들

그의 책 릴라바티에서 그는 "수가 0인 이 양에서도 많은 양이 들어가거나 나와도 변화가 없습니다. 마치 수많은 피조물들이 [그의] 안으로 들어갔다 나올 때와 마찬가지로, 무한하고 변하지 않는 [비슈누] 안에도 변화가 없습니다."[32]라고 설명합니다.

"보류!"

몇몇 저자들은 바스카라 2세가 도표를 그리고 "베홀드!"[33][34]라는 단일 단어를 제공함으로써 피타고라스 정리를 증명했다고 언급했습니다. 때때로 바스카라의 이름은 생략되고 이것은 학생들에게 잘 알려진 힌두교의 증명으로 언급됩니다.[35]

그러나 수학 역사가 킴 플로프커가 지적한 바와 같이, 바스카라 2세는 계산된 예를 제시한 후 피타고라스 정리를 다음과 같이 진술합니다.

따라서 간결함을 위해 팔과 직립의 제곱의 합의 제곱근이 빗변입니다. 따라서 이를 증명합니다.[36]

그 다음은 다음과 같습니다.

그리고 그렇지 않으면, 그림의 그 부분들을 거기에 놓았을 때, 그것으로 충분하다는 것을 알게 됩니다.[36]

플로프커는 이 추가적인 진술이 널리 퍼진 "보류하라!" 전설의 궁극적인 근원이 될 수 있다고 제안합니다.

레거시

푸네의 바스카라차리야 프라티쉬타나, 델리의 바스카라차리야 응용과학대학, 간디나가르의 바스카라차리야 우주응용 지리정보학 연구소를 포함하여 인도의 많은 기관과 대학들이 그의 이름을 따서 지어졌습니다.

1981년 11월 20일, 인도 우주 연구 기구(ISRO)는 수학자이자 천문학자를 기리는 바스카라 2호 위성을 발사했습니다.[37]

인비시스 멀티미디어는 2015년에 그 수학자에 대한 인도 다큐멘터리 단편인 바스카라차리아를 발표했습니다.[38][39]

참고 항목

참고문헌

  1. ^ a b Victor J. Katz, ed. (10 August 2021). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University press. p. 447. ISBN 978-0691114859.
  2. ^ 인도과학사학회지, 35권, 인도국립과학원, 2000, 77쪽
  3. ^ a b M. S. Mate; G. T. Kulkarni, eds. (1974). Studies in Indology and Medieval History: Prof. G. H. Khare Felicitation Volume. Joshi & Lokhande Prakashan. pp. 42–47. OCLC 4136967.
  4. ^ K. V. Ramesh; S. P. Tewari; M. J. Sharma, eds. (1990). Dr. G. S. Gai Felicitation Volume. Agam Kala Prakashan. p. 119. OCLC 464078172.
  5. ^ 인도사학회, 인도사학회, 40권, 인도사학회, 1979, 71쪽
  6. ^ T. A. Saraswathi (2017). "Bhaskaracharya". Cultural Leaders of India - Scientists. Publications Division Ministry of Information & Broadcasting. ISBN 9788123024851.
  7. ^ गणिती (수학자를 뜻하는 마라티어) Achyut Godbole과 Dr. 타쿠르데사이, 마노비카스, 초판 2013년 12월 23일 34페이지
  8. ^ 킴 플로프커, 프린스턴 대학 출판부, 2009, p. 182
  9. ^ 브람메굽타와 바스카라의 산스크리트로부터 산술과 계산을 가진 대수학, 바스카라의 학자 헨리 콜브룩. xxvii
  10. ^ 산이 2019, 50쪽.
  11. ^ 1982년 초프라, 52-54쪽.
  12. ^ Plofker 2009, 71쪽.
  13. ^ Poulose 1991, 79쪽.
  14. ^ a b c d e f g h i j k l m n S. Balachandra Rao (13 July 2014), ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, Vijayavani, p. 17[unre신뢰할 수 있는 출처?]
  15. ^ a b 핑리 1970, 299쪽.
  16. ^ The Illustrated Weekly of India, Volume 95. Bennett, Coleman & Company, Limited, at the Times of India Press. 1974. p. 30. Deshasthas have contributed to mathematics and literature as well as to the cultural and religious heritage of India. Bhaskaracharaya was one of the greatest mathematicians of ancient India.
  17. ^ Bhau Daji (1865). "Brief Notes on the Age and Authenticity of the Works of Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhattotpala and Bhaskaracharya". Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland. pp. 392–406.
  18. ^ "1.APJ Abdul Kalam의 Ignated minds 39쪽, 2 Sudakara Divedi 교수 (1855-1910), 3. BA Salethor 박사 (인도 문화), 4. 카르나타카 출판사 정부, 5.Nararajan 박사 (Lilavati 1989), 6.Sinivas 교수의 세부사항(Ganitashatra Chithra by 1955,7).알루르 벤카라야루(카르나타 가트비바야 1917, 2018, 9 사라와드에서 8 총리 언론 성명서). 바수데프 허칼 (수카타 카르나타카 기사), 10. Manjunath sulali (Deccan Herald 19/04/2010, 11 인도 고고학 1994-96 A Review 32페이지, R K Kulkarni 박사 (기사)"
  19. ^ B.I.S.M 분기별, Poona, Vol. 63, No.1, 1984, pp 14-22
  20. ^ a b c d e Scientist (13 July 2014), ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, Vijayavani, p. 21[unre신뢰할 수 있는 출처?]
  21. ^ 비자가니타 플로프커 2007, pp. 476–477절 128, 129절
  22. ^ a b 전근대 인도 수학자 폰 T.K 푸타스와미의 수학적 성과
  23. ^ a b 스틸웰 2002, 페이지 74.
  24. ^ 학생 & Britannica India. 1. Indu Ramchandani의 A to C.
  25. ^ a b c 50 타임리스 과학자 폰 K.크리슈나 머티
  26. ^ Shukla 1984, 95-104쪽.
  27. ^ Cook 1997, pp. 213–215.
  28. ^ "The Great Bharatiya Mathematician Bhaskaracharya ll". The Times of India. ISSN 0971-8257. Retrieved 24 May 2023.
  29. ^ IERS EOP PC 유용 상수. SI 일 또는 평균 태양일은 86400 SI 초입니다. 평균 경도에서 평균 황도 및 분점 J2000은 사이먼, J. L. et al., "월과 행성의 세차 공식 및 평균 요소에 대한 수치식" 천문학천체 물리학 282 (1994), 663–683. [1]
  30. ^ 화이트 1978, pp. 52–53.
  31. ^ 셀린 2008, 269-273쪽.
  32. ^ 콜브룩 1817년.
  33. ^ 1990년 이브, 228쪽
  34. ^ 버튼 2011, 페이지 106
  35. ^ Majur 2005, pp. 19–20
  36. ^ a b Plofker 2007, 페이지 477
  37. ^ 바스카라 나사 2017년 9월 16일
  38. ^ "Anand Narayanan". IIST.
  39. ^ "Great Indian Mathematician - Bhaskaracharya". indiavideodotorg. 22 September 2015. Archived from the original on 12 December 2021.

서지학

더보기

외부 링크