반지 교환

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대수학에서 링 동형성 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:$$R\to S$ 모듈의 계수 링을 변경하는 세 가지 방법이 있다. 즉, 왼쪽 R-모듈 M과 왼쪽 S-모듈 N의 경우,

• ${\displaystyle f_{!$유도 모듈$,$$}M=S\otimes$ $_{R}M}$
• ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{Home}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (S}$, M${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{*}M=\operatorname {Hom} _{R}(S,M)},$ 코인 듀레이션 모듈.
• ${\displaystyle f^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$ 스칼라의 제한.

이들은 보조 펑커로 관련되어 있다.

$f_{!}:{\text{Mod}_{R}\좌우 이동 {\text{Mod}_{S}}f^{*}}}$

그리고

${\displaystyle f^{*}:{\text{Mod}_{S}\좌측 오른쪽 행 {\text{Mod}_{R}.f_{*}.}$

이것은 샤피로의 보조정리와도 관련이 있다.

운영

스칼라 제한

이 섹션 전체에 걸쳐 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과 S ${\displaystyle S}$을(를) 두 개의 링으로 하고$$(이 링은 역호환이거나 ID를 포함할 수 있음) $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:$$R\to$ S$}$는 동형상이다.스칼라의 제한은 S-모듈을 R-모듈로 바꾼다.대수 기하학에서는 웨일 제한의 동의어로 스칼라의 제한이라는 말이 자주 쓰인다.

정의

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 위에 있는 모듈이라고 가정하고$,$ R ${\displaystyle$ R}을$($를) 통해 작업을 수행하는$$ $R$ ${\displaystyle$ R$} 위$에 있는 모듈로 간주할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}M\time R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\ended}}}$

$여기$서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle m\cdot f(r)}$은 M ${\displaystyle M}$의 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ -module$$ 구조에 의해 정의된 작업을 의미한다$.$^[1]

펑터로서의 해석

스칼라의 제한은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ -modules에서$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -modules로$$ 가는 functor로 볼 수 있다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ -호모형성$$ $u{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle u:$$M\to N}$은(는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과(와) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 제한 사이에서 $자동$으로 R ${\displaystyle R}$ -호모피즘이$$ 된다$.$ 실제로 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystym m\in M}$과 ${\displaysty r\in R}$의 제한 사이에 있다$.$

${\displaystyle u}$( ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (}$ m )${\displaystyle f}$f (${\displaystyle r}$) =$u$ (${\displaystyle m}$ )${\displaystyle f}$f ( ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle u}$($m$) $⋅$ r ${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r$

스칼라의 제한은 스칼라의 연장선상에서 가장 적절한 것이다.

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 정수의 고리라면, 이것은 모듈에서 아벨리아 그룹에 이르는 망각적인 펑터일 뿐이다.

스칼라의 연장

스칼라의 확장은 R-모듈을 S-모듈로 바꾼다.

정의

${\displaystyle f}$: R${\displaystyle }$→ S ${\displaystyle f:$$R\to S}$ be a homomorphism between two rings, and let ${\displaystyle M}$ be a module over ${\displaystyle R}$. Consider the tensor product ${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$, where ${\displaystyle S}$ is regarded as a left ${\displaystyle R}$-module via ${\displaystyle f}$. Since ${\displaystyle S}$ is also a right module over itself, and the two actions commute, that is ${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$ for ${\displaystyle r\in R}$, ${\displaystyle s,s'\in S}$ (in a more formal language, ${\displaystyle S}$$$ is a ${\displaystyle (R,S)}$-bimodule), ${\displaystyle M^{S}}$ inherits a right action of ${\displaystyle S}$. It is given by ${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$ for ${\displaystyle m\in M}$, ${\displaystyle s,s'\in S}$. Th$모듈$은 스칼라의 확장을 통해$$ M {\$displaystyle M}$에서 얻어진다고 한다$.$

비공식적으로, 스칼라의 확장은 "링과 모듈의 텐서 제품"이며, 보다 공식적으로는 바이모듈과 모듈의 텐서 제품의 특별한 경우 -${\displaystyle }({\displaystyle R}$ , ${\displaystyle S}$) ${\디스플레이$ 스타일 $(R,S)}$ -bimodule이$$ 있는 R모듈의 텐서 제품이다.

예

가장 간단한 예 중 하나는 복잡화인데, 이것은 실제 숫자에서 복잡한 숫자로 스칼라를 확장한 것이다.보다 일반적으로는 어떤 필드 익스텐션 K < L을 고려했을 때, 스칼라를 K에서 L로 확장할 수 있다.필드의 언어에서, 필드 위의 모듈을 벡터 공간이라고 하며, 따라서 스칼라의 확장은 K를 통한 벡터 공간을 L을 통한 벡터 공간으로 변환한다.이것은 쿼터니온화(실물에서 쿼터니온으로 확장)에서와 같이 디비전 알헤브라에 대해서도 할 수 있다.

보다 일반적으로 필드 또는 정류 링 R에서 링 S에 이르는 동형성을 고려할 때 링 S는 R에 대한 연관 대수로서 생각할 수 있으며, 따라서 R-모듈에 스칼라를 연장할 때 결과 모듈은 S-모듈로, 또는 S의 대수적 표현을 갖는 R-모듈로 대안으로 생각할 수 있다(R-algee로).예를 들어, 실제 벡터 공간(R = R, S = C)을 복잡하게 만든 결과(R = R, S = C)는 복합 벡터 공간(S-module)으로 해석하거나 선형 복합 구조를 가진 실제 벡터 공간(S를 R-module로 나타내는 Algebra)으로 해석할 수 있다.

적용들

이러한 일반화는 분야를 연구하는 데에도 유용하다. 특히, 한 분야에 관련된 많은 대수적 물체는 그 자체가 아니라 표현 이론에서와 같이 한 분야에 걸친 알헤브라와 같은 고리들이다.벡터 공간에서 스칼라를 확장할 수 있듯이, 그룹 알헤브라의 경우나 그룹 알헤브라의 경우 모듈에서도 스칼라를 확장할 수 있다.특히 유용한 것은 스칼라의 연장 하에서 어떻게 수정 불가능한 표현이 변화하는지와 관련된다. 예를 들어, 평면을 90° 회전함으로써 주어진 순서 4의 주기적 그룹의 표현은 2차원 실제 표현이지만 복잡한 숫자에 대한 스칼라의 확장에서는 2개의 복잡한 표현으로 분할된다.f 치수 1.이는 이 연산자의 특성 다항식인 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle$ x$^{2$}+1$,}$이(가) 실수에 대해 2도의 인자를 재확보할 수 없지만 복합수에 대해 1의 2개의 인자로 인자가 존재한다는 사실에 해당한다. 즉, 실제 고유값은 없지만 2개의 복합 고유값은 있다.

펑터로서의 해석

스칼라의 확장은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -modules에서$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ -modules로$$ 가는 functor로 해석할 수 있다.위와 같이 ${\displaystyle M^{}}$ ${\$$displaystyle$ $M^{S}$에 M {\$displaystyle$ M^}을(를$)$ 보내고, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ - 호모폴리스$$ ${\displaystyle u}$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystystyle u:$${\displaystyle {}^{}}$$\to N}$에 대한 S ${\displaystyle S}$ -homomorphism$$ $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{}}$: M ${\displaystyle S^{}}$→ ${\displaystyle N^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$${\displaystyle u^{}}$$$=${\displaystyle {}^{}u}$ =$$${\displaystyle u_{}{\text{r}}_{}}$ R ${\displaystyle {}_{}}$S {\$displaystyle u^{s}=u\otimes _{$R}{\$text{id}_{$S$$$\}\}\}\}.$

스칼라의 공동 확장(코인 모듈)

이 구간은 비어 있다.덧셈을 하면 도움이 된다.(2015년 11월)

스칼라의 연장과 스칼라의 제한 사이의 관계

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -module$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ $및{\displaystyle }$ S$$ ${\\displaystyle$S} $-module$ N$${\$displaystyle$ N$}$을(를) 고려하십시오$.$ 동형상 $u{\displaystyle {\text{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}M}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$) ${\displaystysty u\in {\text{$$홈}_{R}(M,N_{R}})$, $F{\displaystyle u}$ : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{}}$→ N ${\displaystyle Fu:$구성으로$사용$할 M$^{S$}\$to$N}

${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S{\xrightarrow {u\otimes {\text{id}}_{S}}}N_{R}\otimes _{R}S\to N}$,

여기서 마지막 지도는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \cdot }$ s ${\displaystyle$ n$\otimes s\mapsto$ n$\cdot$ s$}$이다$.$이 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Fu}$은 S ${\displaystyle$ S$}$ $-homomorphism$이며, ${\displaystyle {\text{따라서}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$: Hom R${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N_{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ S${\displaystyle {}_{}}$( M${\displaystyle {}^{}{S}^{}}$ , ${\displaystyle N}$)$${\$displaystysty$ F$:{\text${\text$}$$홈}_{R}(M,N_{R})\to {\text{$$Hom}}_{S}(M^{S},$N$$)}은(아벨 그룹의) 동형상이다.

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과 S ${\displaystyle S}$이(가) 모두 정체성을 갖는$$ 경우 $역동형성{\displaystyle }$ G${\displaystyle }$: ${\displaystyle {\text{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}M}$ ${\displaystyle S^{}}$, N${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}M}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$) ${\displaystysty G:{\text{\$text}$홈}_{S}(M^{S},N)\to {\text{$$Hom}}_{R}(M,N_{$R$\}\})$은 다음과 같이 정의된다.$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\text{Home}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle S^{}}$, ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle v\in {\text{$$홈}_{S}(M^{S},N$ 그러면 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle GV}$가 구성이다.

${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{{\text{ID}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ⊗ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{N}}${\$displaystyle M\to$ M$\otimes _{R}R{\xrightarrow$ {{\$text{id}}}_{M}\otimes f}M\otimes _{R}S{\xrigrigrightarrow$

여기서 첫 번째 지도는 표준 이형성 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m\mapsto m\otimes 1}$이다$.$

이 구조는 ${\displaystyle {\text{Home}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle M^{}}$ S${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle {\text{$$Hom}}_{S}(M^{S$},$N)}$ 및$$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}M}$, ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\text{$$홈}_{R}(M,N_{R})}$은(는) 이형이다.사실, 이러한 이형성은 동형성 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에만 의존하며$,$ 또한 functorial에도 의존한다.카테고리 이론의 언어에서, 스칼라 펑터의 확장은 스칼라 펑터의 제한에 맞추어 남겨진다.

참고 항목

• 6개 작업
• 필드의 텐서 제품
• 텐서홈접합

참조

• Dummit, David (2004). Abstract algebra. Foote, Richard M. (3 ed.). Hoboken, NJ: Wiley. pp. 359–377. ISBN 0471452343. OCLC 248917264.
• J.P. 메이, 토르와 엑스트에 관한 노트
• 니콜라스 부르바키.대수 제1장 제2장.선형대수학 제5조스칼라 링 확장; 제7조.벡터 공간.1974년 헤르만.

추가 읽기

• 표현 유도 및 코인전도