하나의 요소가 있는 필드

수학에서 하나의 원소가 있는 필드는 그러한 필드가 존재할 수 있다면 하나의 원소가 있는 유한한 필드와 비슷하게 행동해야 하는 대상에 대한 암시적인 이름이다.이 물체는 프랑스어-영어 말장난으로 F 또는₁ F로_un 표기된다.^[1]고전적 추상대수학에는 원소가 하나 있는 필드가 없기 때문에 "원소가 하나 있는 필드"라는 명칭과₁ 표기 F는 외설적일 뿐이다.대신 F는₁ 추상대수의 전통적인 구성 요소인 세트와 운영을 다른, 보다 유연한 개체로 대체할 수 있는 방법이 있어야 한다는 생각을 말한다.F에₁ 대한 많은 이론들이 제안되었지만, 만약 그 이론들 중 어떤 것이 F에게₁ 원하는 모든 성질을 주는지는 명확하지 않다.이러한 이론에는 아직 단일한 요소를 가진 분야가 없지만, 특징이 하나인 필드 같은 물체가 있다.null

F의₁ 대부분의 제안된 이론들은 추상대수를 완전히 대체한다.벡터 공간이나 다항식 고리 같은 수학적인 물체는 추상적인 성질을 모방함으로써 이러한 새로운 이론으로 옮겨갈 수 있다.이를 통해 새로운 기초 위에 역행 대수학 및 대수 기하학의 개발이 가능하다.F₁ 이론의 정의적 특징 중 하나는 이러한 새로운 기초가 고전적인 추상 대수학보다 더 많은 물체를 허용한다는 것인데, 그 중 하나는 특징적인 것의 한 분야처럼 작용한다.null

F의₁ 수학 연구 가능성은 원래 1956년 Tits 1957년에 발표된 Jacques Tits에 의해 투영 기하학의 대칭과 단순 복합체의 조합학 사이의 유추에 기초하여 제시되었다.F는₁ 비확정 기하학 및 리만 가설에 대한 가능한 증거와 연결되어 있다.null

역사

1957년 자크 티츠는 대수학 집단을 추상적인 단순 콤플렉스에 관련시키는 건물 이론을 소개했다.가정 중 하나는 비교가능성 조건이다.건물이 n차원 추상적 단순화 콤플렉스인 경우, 그리고 k < n이라면, 건물의 모든 k-simplex는 적어도 3개의 n-simple에 포함되어야 한다.이는 선에 최소한 3개의 점이 포함되어야 하는 고전적 투영 기하학에서의 조건과 유사하다.그러나 선들이 단지 두 점만을 인정하는 것을 제외하고는 투영 기하학이 되기 위해 모든 조건을 만족시키는 퇴행 기하학이 있다.건물 이론에서 유사한 물체를 아파트라고 부른다.아파트는 건물 이론에서 그러한 구성적 역할을 하기 때문에 Tits는 퇴보한 기하학적 기하학이 고전적인 기하학과 동등한 위치에 있을 것이라는 투영적 기하학의 이론의 존재를 추측했다.그는 이 기하학이 특징적인 분야를 넘어 일어날 것이라고 말했다.^[2]이 비유법을 사용함으로써 F의₁ 몇 가지 기본적인 성질을 설명할 수는 있었지만, 그것을 구성하는 것은 불가능했다.null

Tits의 초기 관찰 이후, 1990년대 초까지 거의 진전이 없었다.1980년대 후반 알렉산더 스미르노프는 일련의 회담을 통해 리만 가설을 하나의 원소가 있는 분야를 넘어 하나의 곡선으로 간주함으로써 증명될 수 있다고 추측했다.1991년까지 스미르노프는 F에₁ 대한 대수적 기하학을 향한 몇 가지 조치를 취했고,^[3] F에₁ 대한 연장선들을 도입하고 그것들을 F에₁ 대한 투영 선 P를¹ 다루는데 사용했다.^[3]대수적 숫자는 이 P에¹ 대한 지도와 리만-에 대한 추측 근사치로 취급되었다.이 지도들에 대한 허위츠 공식이 제안되었다.이러한 근사치들은 abc의 추측처럼 매우 심오한 주장을 내포하고 있다.나중에 F의₁ 확장은 q = 1로ⁿ F로_q 표시되었다.스미르노프는 미하일 카프라노프와 함께 주요 특성에서 대수학과 숫자-이론적 건축물이 "성격론적 건축"에서 어떻게 보일지 탐구하기 위해 계속해 나갔고, 1995년에 발표된 미발표 작품에서 절정을 이루었다.^[4]1993년 유리 마닌은 제타 기능에 대한 일련의 강의를 하면서 F보다₁ 대수 기하학 이론을 개발하자고 제안했다.^[5]그는 F보다₁ 다양한 제타 기능에 대한 설명이 매우 간단할 것이라고 제안했고, F의₁ K 이론과 구들의 호모토피 그룹 사이의 관계를 제안했다.이것은 몇몇 사람들에게 F-Geometry에₁ 대한 노골적인 이론을 세우려고 시도하도록 자극했다.null

F에₁ 대한 다양성의 첫 번째 출판된 정의는 1999년 크리스토프 소울레로부터 왔는데,^[6] 크리스토프 소울레는 특정 반지의 범주에 있는 복잡한 숫자와 펑커스를 넘어 알제브라를 사용하여 그것을 만들었다.^[6]2000년 주씨는 1과 1의 합이 0이 아닌 1이라는 점을 제외하면 F와₁₂ 같다고 제안했다.^[7]디트마르는 반지의 첨가 구조를 잊고 곱셈에 집중함으로써 F를₁ 찾아야 한다고 제안했다.^[8]토엔과 바퀴에는 하킴의 상대적 계략 이론에 기초하여 대칭 단면체 범주를 사용하여 F를₁ 정의하였다.^[9]그들의 건설은 나중에 베자니에 의해 디트마르와 동등한 것으로 밝혀졌다.^[10]니콜라이 두로프는 F를₁ 정류 대수 모나드로 구성했다.^[11]보거는 하강을 사용하여 유한한 들판과 정수로 그것을 구성했다.^[12]null

알랭 콘과 카테리나 Consani 새로운 범주 MR,{\displaystyle{\mathfrak{M}}{\mathfrak{R}},}그 대표적인 functor의 MRonF1-schemes 특정한 종류.{\di 정의를 만들기 위해 곱셈 monoids의 종목과 링의 범주"풀칠"에 의해 Soulé과 Deitmar의 개념을 개발했다.s $플레이스타일 {\mathfrak{M}{\mathfrak {R}}}}$ 을(를) 사용하여 ${\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}}.$ ^[13] F에₁ 대한 몇 개의 숫자-이론적 구성 개념은 물론 F에_1² 대한 체벌리 그룹 구성 개념을 간신히 제공했다.마틸드 마르콜리와 함께 콘네스와 콘사니도 F를₁ 비전투 기하학과 연결시켰다.^[14]또한 계산 복잡성 이론에서 독특한 게임 추측과 연관성이 있다고 제안되었다.^[15]null

올리버 로르셰이드는 다른 사람들과 함께 최근 세미링과 모노이드 모두를 동시에 일반화한 청사진이라는 물체를 도입함으로써 F보다₁ 체벌리 집단을 묘사하려는 티츠의 원래 목표를 달성했다.^[16]^[17]이것들은 소위 "청색 계획"을 정의하는데 사용되는데, 그 중 하나가 스펙 F이다₁.^[18]F-scheme₁ 자체가 정상적인 계략으로 확장된 Weyl 그룹이 아니라는 점에서, Lorscheid의 생각은₁ F-scheme보다 그룹의 다른 생각에서 다소 벗어난다.로르셰이드는 먼저 파란색 계략 범주의 완전한 하위 범주인 Tits 범주를 정의하고, Tits 범주에서 Set까지의 펑터인 "Weyl 확장자"를 정의한다.A Tits–Weyl model of an algebraic group ${\mathcal {G}}$ is a blue scheme G with a group operation that is a morphism in the Tits category, whose base extension is ${\mathcal {G}}$ and whose Weyl extension is isomorphic to the Weyl group of ${\mathcal {G}}.$

F-지오메트리₁(F-Geometry)는 단일 A 원소의 유한 형식 합계의 N[A]을 모노이드 반향하는 일부의 인수로 발생하며, 그 자체가 F-알제브라라는₁ 사실을 통해 열대 기하학과 연계되어 왔다.이 연결은 로르셰이드의 청사진 사용에 의해 명백하게 이루어진다.^[19]지아니라쿠사 형제는 열대 계략 이론을 구축했는데, 이 이론에 대한 그들의 범주는 토엔-바퀴에 F-schemes의₁ 범주에 해당한다.^[20]이 범주는 청색 계략의 범주에 충실하게, 그러나 완전히 포함되지는 않으며, 두로프 계략 범주의 완전한 하위 범주다.null

동기부여

대수적 수 이론

F에₁ 대한 한 가지 동기는 대수적 숫자 이론에서 온다.유한장에 걸친 곡선에 대한 Weil의 리만 가설의 증명은 유한장 k에 대한 곡선 C로 시작되며, 유한장 k에 대한 함수장 F가 장착되어 k의 필드 확장이다.그러한 각 함수 장은 하세-웨이일 제타 함수 $ζ$ 를_F 발생시키고 유한장에 대한 리만 $가설$ 은_F of의 영점을 결정한다.그 후 Weil의 증거는 C의 다양한 기하학적 특성을 이용하여 $ζ$ 을_F 연구한다.

합리적 숫자 Q의 분야는 리만 제타 기능과 비슷한 방식으로 연결되지만 Q는 품종의 함수 분야가 아니다.대신 Q는 체계 $규격$ $Z$ 의 함수 필드다.이것은 1차원 체계(대수곡선이라고도 함)이며, 따라서 이 곡선이 놓여 있는 어떤 "베이스 필드"가 있어야 하며, 그 중 Q는 필드 확장(C는 k에 대한 곡선이고 F는 k의 확장인 것과 같은 방식으로)이 되어야 한다.F-Geometry의₁ 희망은 적절한 물체₁ F가 이 베이스 필드의 역할을 할 수 있다는 것인데, 이것은 Weil의 증거를 K 대신 F로₁ 흉내냄으로써 리만 가설을 증명할 수 있게 된다.

아라켈로프 기하학

하나의 원소가 있는 분야 위의 기하학도 아라켈로프 기하학에 의해 동기가 부여되는데, 여기서 디오판틴 방정식은 복잡한 기하학의 도구를 사용하여 연구된다.그 이론은 유한한 분야와 복잡한 숫자의 복잡한 비교를 포함한다.여기서 F의₁ 존재는 기술적 이유로 유용하다.null

기대 속성

F는₁ 필드가 아니다.

정의에 따르면 모든 필드는 첨가물 아이덴티티 0과 승수 아이덴티티 1이라는 두 개의 구별되는 요소를 포함해야 하므로 F는₁ 필드가 될 수 없다.이러한 제한을 없앤다고 해도(예를 들어 가법성, 승법성을 같은 원소가 되게 함으로써), 하나의 원소가 있는 링은 유한장처럼 작용하지 않는 제로 링이어야 한다.예를 들어, 제로 링 위의 모든 모듈은 이형성이다(그런 모듈의 유일한 요소가 제로 요소인 것처럼).그러나 F의₁ 주요 동기 중 하나는 "F-벡터₁ 공간"으로 세트를 설명하는 것이다. 유한 집합이 제로 링 위에 있는 모듈이라면 모든 유한 집합은 동일한 크기일 것이다. 이는 그렇지 않다.더구나 사소한 고리의 스펙트럼은 비어 있지만, 필드의 스펙트럼은 1점을 가지고 있다.null

기타 속성

유한 집합은 F에 대한₁ 부속 공간과 투영 공간이다.
점 집합은 F 위의₁ 벡터 공간이다.^[21]
유한장 F는_q F의₁ 양자 변형이며, 여기서 q는 변형이다.
Weyl 그룹은 F₁:보다 간단한 대수 그룹이다.
반실행 대수집단에 대한 Dynkin 도표를 볼 때, 그것의 Weyl 그룹은 F에₁ 대한 반실행 대수집단이 된다^[22].
진술 체계 Spec Z는₁ F에 대한 곡선이다.
집단은 F보다₁ 홉프 알제브라스다.보다 일반적으로, 순수하게 대수적 객체의 도표 관점에서 정의되는 모든 것은 집합 범주에 F-아날로그가₁ 있어야 한다.
집합에 대한 그룹 작용은 F에₁ 대한 G의 투영적 표현이며, 이러한 방식으로 G는 Hopf 대수 F₁[G] 그룹이다.
토릭 품종이 F-분리를₁ 결정한다.F-Geometry에₁ 대한 일부 설명에서는 F-varieties의₁ 스칼라를 Z로 확장하는 것이 고통스럽다는 의미에서 그 반대도 사실이다.^[23]F-Geometry에₁ 대한 다른 접근법은 더 넓은 종류의 예를 인정하지만, 토릭 다양성은 이론의 바로 핵심에 있는 것처럼 보인다.
P^N(F₁)의 제타 함수는 ζ(s) = s(s - 1)⋯(s - N)이어야 한다.^[6]
F의₁ m-th K 그룹은 구 스펙트럼의 m-th 안정 호모토피 그룹이어야 한다.^[6]

연산

집합의 다양한 구조는 투영 공간의 구조와 유사하며, 다음과 같은 방법으로 계산할 수 있다.

집합은 투영 공간이다.

유한장 F에_q 대한 (nⁿ⁻¹ - 1)차원 투영 공간인 P(Fⁿ
_q_q)의 요소 수는 q-integer이다^[24].

[n]_{q}:={\frac {q^{n1}-1}{q-1}{q-1}=1+q+q^{2}+\cHB +q^{n-1}.

q = 1 산출량[n]_q = n.

q-integer를 q의 힘의 합으로 확장하는 것은 투영 공간의 슈베르트 세포분해에 해당한다.null

순열은 최대 깃발이다.

원소가 n인 집합의 n! 순열과 F에는ⁿ
_q [n]!_q 최대 깃발이 있다.

[n]_{q}!:=[1]_{q}[2]_{q}\cHB[n]_{q}}

q-properties 입니다.실제로 플래그가 필터링된 벡터 공간이기 때문에 집합의 순열은 필터링된 집합으로 간주할 수 있다. 예를 들어 집합 {0,1,2}의 순서(0, 1, 2)는 {0} ⊂ {0,1} ⊂ {0,1,2}의 여과와 일치한다.

하위 집합은 하위 스페이스

이항 계수

{\frac {n!}{m!(n-m)!}}

n-모듈 집합의 m-모듈 하위 집합 수와 q-이항계수를 제공한다.

{\frac {[n]_{q}!}{{[m]_{q}![n-m]_{q}!}}

F를_q 통한 n차원 벡터 공간의 m차원 서브스페이스 수를 제공한다.null

q 이항계수를 q의 힘의 합으로 확장하는 것은 그라스만인의 슈베르트 세포분해에 해당한다.null

모노이드 방식

대부분의 다른 F-지오메트리의₁ 이론들이 모노이드 체계에 대한 설명을 포함하고 있기 때문에 디트마르의 모노이드 체계^[25] 구축은 "F-지오메트리의₁ 바로 핵심"^[16]이라고 불려왔다.도덕적으로 1950년대와 1960년대에 개발된 계략 이론을 모노이드로 대체하여 모방한다.이것의 효과는 곱셈 구조만 남기고 고리의 첨가 구조를 "잊어버리는" 것이다.이러한 이유로, 때때로 "비첨가 기하학"이라고 불린다.null

모노이드

승수 단면체는 단면체 $A$ 이며, 단면체 $A$ 의 모든 $a$ 에 대해 $0a$ = $0$ 과 같은 흡수 원소 0(단면체 1에서 간결함)도 포함한다 $.$ 그런 다음 원소가 하나 있는 필드를 두 $개$ 의₁ 원소가 있는 필드의 승수 단모형인 F $=$ ${0,1}($ 승수 모노이드 범주에서 초기).모노이드 $A$ 의 모노이드 이상은 승법적으로 닫힌 부분집합 $I$ 이며, 0을 포함하고 있으며, $그러한$ 부분집합 $IA =$ { $ra$ : $r \in$ I, a = $A}$ = $I$ 이다 $.$ $A\setminus I$ 이상은 A $A\setminus I$ $A\setminus I$ $A\setminus I$ 이 $A\setminus I$ (가) 승수적으로 닫히고 1을 포함한다면 프라임이다.

모노이드 $A$ 와 $B$ 의 경우 $,$ 단성 동형성은 다음과 $같은$ $함수$ f : A → $B$ 이다.

$f (0) = 0$ ;
$f (1)$ = 1 $및$
$f (ab)$ = $A$ 의 모든 $a$ 와 $b$ 에 대해 $f (a) f (b$ $)$

모노이드 방식

$스펙$ $A$ 로 표시된모노이드 $A$ 의 스펙트럼은 $A$ 의 주요한 이상들의 집합이다 $.$ 모노이드의 스펙트럼은 기본 오픈 세트를 정의하여 자리스키 위상(Zariski topology)을 부여할 수 있다.

U_{h}=\{{\mathfrac {p}\in {\text{Sp}A:h\notin {\mathfrak {p}}},

$A$ 의각 $h마다$ 모노이드 공간은 구조물의 모노이드라고 불리는 승법 모노이드와 함께 위상학적 공간이다.아핀 단면체계는 단면체의 스펙트럼에 이형화된 단면체 공간이며, 단면체계는 단면체계에 의해 덮개가 열린 모노이드의 층이다.null

Monoid schemes can be turned into ring-theoretic schemes by means of a base extension functor $-\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ which sends the monoid A to the Z-module (i.e. ring) $\mathbf {Z} [A]/\langle 0_{A}\rangle ,$ and a monoid homomorphism $f$ : $A$ → $B$ 는 $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ 동형상 $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ Z $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ : $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ F $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ → $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ ${\$ $A\otimes _{\mathbf {F} _{1}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}\mathbf {Z}}}$ 에 Z-module 동형상으로서 선형인 것이다 $f_{\mathbf {Z} }:A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} \to B\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z}$ .단면체 구성의 기본 확장은 다음 공식을 통해 정의된다.

\operatorname {Spec} (A)\times _{\operatorname {Spec} (\mathbf {F} _{1})}\operatorname {Spec} (\mathbf {Z} )=\operatorname {Spec} {\big (}A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} {\big )},

이는 일반적인 단면체 계획의 기본 확장을 정의한다.null

결과들

이 구조는 F-지오메트리₁(F-Geometry)의 원하는 특성 중 많은 것을 달성한다: $Specification$ $F$ 는₁ 단일 점으로 구성되므로 재래식 기하학에서 필드의 스펙트럼과 유사하게 작용하며, 부착 모노이드 체계의 범주는 결합 체계와 정류 링의 이중성을 미러링하여 승법 모노이드 범주에 이중으로 작용한다.또한, 이 이론은 이전 절에서 언급된₁ F의 예상되는 결합 특성을 만족시킨다. 예를 들어, 단면체 구조로서 치수 $n$ 의 $F$ 에₁ 대한 투영 공간은 건물로 묘사될 때 치수 $n$ 의 $F$ 에_q 대한 투영 공간 아파트와 동일하다.null

그러나 단조로운 체계의 유사성을 가진 유일한 품종이 토릭 품종이기 때문에 단조로운 체계는 F-지오메트리₁ 이론의 모든 기대 특성을 충족시키지 못한다.^[26]좀 더 정확히 $말하면$ , X가 유한형의 평평하고 분리되고 연결된 구조인 모노이드 체계라면, $X$ 의 베이스 확장은 토릭 버라이어티다.Connes-Consani와 같은 F-Geometry의₁ 다른 개념은 이 모델을 기반으로 하며,^[27] 이 모델에는 토릭하지 않은 F-varieties를₁ 설명한다.null

필드 확장자

한 가지 요소로 밭의 확장을 통합의 뿌리의 집단으로, 또는 더 정교하게(기하학적 구조로) 통합의 뿌리의 집단 구성으로 정의할 수 있다.이것은 자연적으로 n 순서의 순환 그룹에 비자연적으로 이형적인 것이며, 단결의 원시적 뿌리의 선택에 따라 이형적인 것이다.^[28]

\mathbf {F} _{1^{n}=\mu_{n}.

따라서 F에_1ⁿ 대한 차원 d의 벡터 공간은 통일의 뿌리가 기점과 함께 자유롭게 작용하는 유한한 순서 dn의 집합이다.null

이러한 관점에서 유한 필드 F는_q q - 1의 인자인 n에 대한 치수 d = (q - 1)/n의 F에_1ⁿ 대한 대수(예: n = q - 1 또는 n = 1)이다.이는 유한장 F_q(q - 1 비 영점 원소인 q - 1)의 단위 집단이 q - 1의 주기적 집단으로, q - 1을 나누는 모든 주기적 질서의 집단이 자유롭게 작용(힘으로 상승)하며, 필드의 0 원소가 기준점이라는 사실에 해당한다.null

마찬가지로, 실수 R은_1² F에 대한 대수, 무한 차원에 대한 대수로서, 실수는 ±1을 포함하지만, 다른 통합의 뿌리는 포함되지 않으며, 복잡한 숫자 C는 다시 무한 차원에 대한 모든 n에 대한 대수, 즉 모든 무한 차원에 대해 F에_1ⁿ 대한 대수다.null

이러한 관점에서, 단결의 뿌리를 가진 분야에만 의존하는 모든 현상은 F에서₁ 비롯된다고 볼 수 있다. 예를 들어, 이산 푸리에 변환(복제 값)과 관련 숫자-기상 변환(Z/nZ 값)이 그것이다.null

참고 항목

메모들

^ 'un'은 'one'을 뜻하는 프랑스어, 'fun'은 장난기 많은 영어 단어다.이 표기법의 예는 르 브루윈(2009년) 또는 르 브루윈, 콘네스, 콘사니 등의 링크를 참조한다.
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참고 문헌 목록

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Scholze, Peter (2017), p-adic geometry, p. 13, arXiv:1712.03708
Smirnov, Alexander (1992), "Hurwitz inequalities for number fields" (PDF), Algebra i Analiz (in Russian), 4 (2): 186–209
Soulé, Christophe (1999), On the field with one element (exposé à l'Arbeitstagung, Bonn, June 1999) (PDF), Preprint IHES
Soulé, Christophe (2003), Les variétés sur le corps à un élément (in French), arXiv:math/0304444, Bibcode:2003math......4444S
Tits, Jacques (1957), "Sur les analogues algébriques des groupes semi-simples complexes", Colloque d'algèbre supérieure, tenu à Bruxelles du 19 au 22 décembre 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Louvain, Paris: Librairie Gauthier-Villars, pp. 261–289
Toën, Bertrand; Vaquié, Michel (2005), Au dessous de Spec Z, arXiv:math/0509684
Vezzani, Alberto (2010), "Deitmar's versus Toën-Vaquié's schemes over F₁", Mathematische Zeitschrift, 271: 1–16, arXiv:1005.0287, doi:10.1007/s00209-011-0896-5, S2CID 119145251

외부 링크

존 배즈의 이번 주 수학 물리학 발견:259주
n-카테고리 카페에서 하나의 요소가 있는 필드
비밀 블로그 세미나에서 한 가지 요소가 있는 분야
F와_un F 민속을_un 찾고 있는 리븐 르 브뤼앵.
매핑 F_1-land:한 요소인 하비에르 로페스 페냐, 올리버 로르셰이드가 있는 필드 위의 기하학적 구조 개요
F수학_un, 리벤 르 브뤼윈, 코엔 타스
단일 요소(일정표)가 있는 필드에서 비전속 지오메트리 및 지오메트리에 대한 Vanderbilt 컨퍼런스
NCG와 F_un, Alain Connes와 K.Consani: 대화 및 슬라이드 요약

[1] 'un'은 'one'을 뜻하는 프랑스어, 'fun'은 장난기 많은 영어 단어다.이 표기법의 예는 르 브루윈(2009년) 또는 르 브루윈, 콘네스, 콘사니 등의 링크를 참조한다.

[2] 가슴(1957년).

[Smirnov_1992-3] 스미르노프 (1992년)

[4] 카프라노프 & 스미르노프(1995)

[5] 마닌(1995년).

[Soule1999-6] 소울레(1999년)

[7] 레스코트(2009년).

[8] 디트마르(2005년).

[9] 토엔&바퀴에(2005년).

[10] 베자니 (2010)

[11] 두로프(2008)

[12] 보거(2009년).

[13] Connes & Consani(2010년).

[14] Connes, Consani & Marcolli(2009)

[15] Kalai, Gil (10 January 2018), "Subhash Khot, Dor Minzer and Muli Safra proved the 2-to-2 Games Conjecture", Combinatorics and more

[:0-16] 로르셰이드 (2018a)

[17] (Lorscheid 2018b)

[18] 로르셰이드 (2016년)

[19] 로르셰이드(2015년)

[20] 잔시라쿠사 & 잔시라쿠사(2016년)

[21] 노아 스나이더, 2007년 8월 14일 비밀 블로깅 세미나.

[22] 금주의 수학 물리학 발견, 187주

[23] 디트마르(2006년).

[24] 금주 수학물리학 발견, 183주, q-산술

[25] 디트마르(2005)

[26] 디트마르(2006)

[27] Connes & Consani(2010년)

[28] 미하일 카프라노프, The F_un 민속촌에서 링크됨

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