봄비에리랑 추측

산술 기하학에서 봄비에리-랑 추측은 엔리코 봄비에리와 세르게 랑에 의해 일반 유형의 대수적 다양성의 이성적 점 집합의 자리스키 밀도에 대해 추측한 풀리지 않은 문제다.

성명서

표면에 대한 약한 봄비에리-랑 추측에 따르면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가$)$ 숫자 $필드{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$에 대해 정의된 일반 유형의 부드러운 표면이라면$$ X ${\displaystyle X$}의 $k{\displaystyle }${\$diski$ 위상 -rational$$ 지점이 X ${\\displaystyle X$^[1]의 Zariski 위상에서 밀도를 형성하지 않는다$$.

봄비에리-랑 추측의 일반적인 형태는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 숫자 $필드{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$에 걸쳐 정의된 일반 유형의 양차원 대수적 다양성인$$ 경우$,$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $k{\displaystyle }$ ${\diski$ 위상에 설정된 밀도가 형성되지 않는다는$$ 것이다.^[2][3][4]

봄비에리-랑 추측의 정제된 형태는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 숫자 $필드{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$에 걸쳐 정의된 일반 유형의 대수적 품종인 경우$,$ $모든{\displaystyle }$ 숫자 필드 확장 $k{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $X}$의 밀도 높은 $오픈{\displaystyle }$ 서브셋 U ${\displaystyleyledown$ U$}$이 존재한다고 명시한다.$$$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 위에 있는$$ $k'},$$$$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 $k{\displaystyle {}^{}}$′ ${\$ k$'}$ -rational$$ points 집합은 유한하다$$.^[4]

역사

봄비에리-랑 추측은 엔리코 봄비에리와 세르게 랑에 의해 독자적으로 제기되었다.1980년 시카고 대학교에서 열린 강연에서 엔리코 봄비에리는 일반 유형의 표면에 대한 합리적 점의 퇴보성에 대해 문제를 제기했다.^[1]1971년부터 시작된 일련의 논문들에서 독립적으로, 세르게 랭은 봄비에리-랑 추측의 "정화된 형태"로 공식화된 ^[1][5][6][7]이성적 점의 분포와 대수적 쌍곡성 사이의 보다 일반적인 관계를 추측했다.^[4]

일반화 및 시사점

봄비에리-랑 추측(Bombieri-Lang 추측)은 1개보다 큰 속들의 대수적 곡선은 아주 많은 이성적인 점만을 가지고 있다고 말하는 팔팅스의 정리 표면에 대한 아날로그다.^[8]

사실이라면 봄비에리-랑 추측이 에르디데스-울람 문제를 해결할 수 있을 것인데, 이는 쌍방향 거리가 모두 합리적인 유클리드 평면의 밀집 하위 집합이 존재하지 않음을 암시하기 때문이다.^[8][9]

In 1997, Lucia Caporaso, Barry Mazur, Joe Harris, and Patricia Pacelli showed that the Bombieri–Lang conjecture implies a uniform boundedness conjecture for rational points: there is a constant ${\displaystyle B_{g,d}}$ depending only on ${\displaystyle g}$ and ${\displaystyle d}$ such that the number of rational p어느 정도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $d$$}$ 숫자 필드에$$ 걸쳐$$ $있는{\displaystyle }$ 모든 속 g ${\displaystyle$ $g$$}$ $곡선$ X ${\displaystyle X}$의 연고는 최대 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {g,}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$이다$.$^[2][3]

참조