초기 및 단자 객체

Initial and terminal objects
"제로 오브젝트" 리디렉션 대수 구조에서 0개체는 0개 객체(알지브라)를 참조한다.
"터미널 요소"는 여기서 리디렉션된다. 프로젝트 관리 개념은 작업 분류 구조를 참조하십시오.

수학의 한 분야인 범주 이론에서 범주 C의 초기 물체는 C의 개체 I이다. 따라서 C의 모든 개체 X에 대해 정확하게 하나의 형태론 I → X가 존재한다.

이중 개념은 터미널 객체(터미널 요소라고도 함)의 개념이다. C에 있는 모든 물체 X에 대해 정확히 하나의 형태론 X → T가 존재한다면 T는 말단이다. 초기의 물체는 공동 또는 보편적 물체라고도 하며, 단자의 물체는 최종이라고도 한다.

객체가 초기 및 단자일 경우 0 객체 또는 null 객체라고 한다. 뾰족한 범주는 0개의 객체를 가진 범주다.

엄격한 초기 대상 I은 I에 대한 모든 형태론이 이형성인 것이다.

예

  • 빈 집합은 집합의 범주인 집합의 고유한 초기 객체다. 모든 원소 집합(싱글톤)은 이 범주의 단자 객체로서 0개의 객체가 없다. 마찬가지로 빈 공간은 Top에 있는 고유한 초기 객체, 위상학적 공간의 범주, 모든 원포인트 공간은 이 범주에서 터미널 객체가 된다.
  • 세트와 관계의 Rel 범주에서 빈 집합은 고유한 초기 개체, 고유한 터미널 개체, 그리고 따라서 고유한 0 개체다.
뾰족한 세트의 형태론. 영상은 대수적 영점 객체에도 적용된다.
  • 뾰족한 집합의 범주(물체가 비어 있지 않은 경우 구별되는 요소와 함께 집합; (A, a) ~ (B, b) 함수 f : A → B, f(a) = b)로 구성된 형태론에서, 모든 싱글톤은 0의 물체다. 마찬가지로 뾰족한 위상학적 공간의 범주에서 모든 싱글톤은 0개의 물체다.
  • 그룹의 범주인 Grp에서 모든 사소한 그룹은 0개 객체가 된다. 소소한 대수학도 아벨 그룹의 범주인 Ab에서 영 객체, 사이비 링의 범주 Rng, 링 위의 모듈 범주 R-Mod, 필드 위의 벡터 공간의 범주인 K-Vect에서 영 객체다. 자세한 내용은 개체 0(알지브라)을 참조하십시오. 이것이 "제로 오브젝트"라는 용어의 유래다.
  • 단결성과 단결성을 보존하는 형태성을 가진 링의 범주인 링에서 정수 Z의 링은 초기 물체다. 단일 원소 0 = 1로만 구성된 제로 링은 단자 객체다.
  • 릭스(Rig)에서, 단일성과 통일성을 보존하는 형태론을 가진 리그의 범주에서, 자연수 N의 리그는 초기 대상이다. 0 = 1 원소로 구성된 제로 링인 제로 리그는 단자 물체다.
  • 필드의 카테고리인 필드에는 초기 객체나 터미널 객체가 없다. 그러나 고정 특성 분야의 하위 범주에서 원시 영역은 초기 대상이다.
  • 일부 순서 집합(P, ≤)은 범주로 해석할 수 있다: 객체는 P의 원소로서, x ≤ y일 경우에만 x에서 y까지의 단일 형태론이 있다. 이 범주는 P가 최소 요소를 갖는 경우에만 초기 객체를 가지며, P가 최대 요소를 갖는 경우에만 터미널 객체를 가진다.
  • 형태론으로서의 펑커를 가진 작은 범주의 범주인 Cat은 초기 개체로서 0(물체도 없고 형태론도 없음)의 빈 범주를, 그리고 단자 범주 1(단일 정체성 형태론을 가진 단일 개체)를 터미널 개체로 가지고 있다.
  • 계략 범주에서 정수 링의 주요 스펙트럼인 스펙(Z)은 단자 객체다. 빈 구조(제로 링의 프라임 스펙트럼과 동일)는 초기 물체다.
  • 도표 F의 한계는 F에 대한 원추 범주의 단자 객체로서 특징지어질 수 있다. 마찬가지로 F의 콜리미트는 F의 공동 콘 카테고리에서 초기 오브젝트로 특징지어질 수 있다.

특성.

존재와 고유성

초기 및 단자 객체는 지정된 범주에 존재할 필요가 없다. 그러나 만약 그것들이 존재한다면, 그것들은 본질적으로 독특하다. 구체적으로 나와1 내가 서로2 다른 초기의 사물이라면, 그들 사이에는 독특한 이형성이 있다. 게다가 내가 초기 물체라면 어떤 물체든 I에 대한 이형체도 역시 초기 물체다. 단말 물체도 마찬가지다.

완전한 범주에 대해서는 초기 객체에 대한 존재 정리가 있다. 구체적으로, (로컬리적으로 작은) 완전한 범주 C는 (적절한 등급이 아닌) C 개체의 I-색인 패밀리(Ki)가 존재하는 경우에만 초기 객체를 가지며, C의 어떤 객체 X에 대해서는 일부 i ∈ I에 대해 적어도 하나의 형태론 Ki → X가 존재한다.

등가제식

범주 C의 터미널 객체는 고유한 빈 다이어그램 0 → C의 한계로 정의될 수도 있다. 빈 범주는 공허하게 이산형 범주가므로, 터미널 객체는 빈 제품(실제로 제품은 이산형 다이어그램 {Xi}의 한계임)으로 생각할 수 있다. 다분히 초기 물체는 빈 도표 0 → C의 콜리미트로, 빈 합계 또는 범주형 합계로 생각할 수 있다.

그것은 한계를 보존하는 모든 펑터가 터미널 객체에 터미널 객체를 가져가고, 콜리미트를 보존하는 모든 펑터는 초기 객체에 초기 객체를 가져갈 것이라는 것을 따른다. 예를 들어, 자유 객체가 있는 콘크리트 범주의 초기 객체는 빈 집합에 의해 생성된 자유 객체가 될 것이다(자유 플럭터가 세트에 대한 건망증이 심한 펑터에게 보조되고, 콜리미트를 보존함).

초기 물체와 단자 물체는 보편적 특성과 부조화 펑커 측면에서 특징지어질 수 있다. 1을 단일 객체( •에 의해 표시됨)가 있는 이산 범주로 하고 U : C → 1을 고유한 (정수) functor로 1로 한다. 그러면

  • C에서 초기 물체 I는 •부터 U까지의 보편적 형태론이다. •를 I로 보내는 functor는 U에 인접해 있다.
  • C에서 단자 객체 T는 U에서 • •까지의 범용 형태론이다. •를 T로 보내는 functor는 U에 바로 붙는다.

기타 범주형 구조와의 관계

범주 이론의 많은 자연 구조는 적절한 범주에서 초기 또는 단자 물체를 찾는 관점에서 공식화될 수 있다.

  • 개체 X에서 펑터 U까지의 범용 형태론은 콤마 범주(X x U)에서 초기 개체로 정의할 수 있다. 다달리 U에서 X까지의 보편적 형태론은 (U ↓ X)의 단자 객체다.
  • 도표 F의 한계는 원뿔(F)의 단자 객체로서, 원뿔은 F의 범주다. Dally, F의 콜리미트는 F의 원추 범주에 있는 초기 물체다.
  • F에서 Set까지의 functor F의 표현은 F의 요소 범주의 초기 객체다.
  • 최종 펑터(존중, 초기 펑터)의 개념은 최종 객체(존중, 초기 객체)의 개념을 일반화한 것이다.

기타 속성

  • 초기 또는 단자 객체 I의 내형성 단모형은 사소한 것이다: End(I) = Hom(I, I) = { idI }.
  • 범주 C가 0 객체 0을 갖는 경우, C에 있는 어떤 객체 X와 Y의 쌍에 대해 고유한 구성 X → 0 → Y는 X에서 Y까지의 제로 형태론이다.

참조

  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. The joy of cats (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001.
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
  • 이 기사는 초기 및 말단 객체의 예에 관한 PlanetMath의 기사에 부분적으로 기초하고 있다.